讓教學(xué)更具生長(zhǎng)的力量
——《釘子板上的多邊形》教學(xué)實(shí)錄與思考

陳 晨

【教學(xué)內(nèi)容】

蘇教版五年級(jí)上冊(cè)第108～109頁(yè)。

【教學(xué)過(guò)程】

一、問(wèn)題引入，誘發(fā)生長(zhǎng)

（課件出示幾個(gè)簡(jiǎn)單的圖形）

談話：同學(xué)們，咱們來(lái)玩一個(gè)競(jìng)答游戲。請(qǐng)快速求出屏幕上平面圖形的面積。

提問(wèn)：你是怎么求的？

生：根據(jù)圖形的面積公式算出來(lái)的。

生：數(shù)的方法，先數(shù)整格，再數(shù)半格，兩者的結(jié)果相加。

（課件出示較復(fù)雜的圖形）

追問(wèn)：你能快速求得這個(gè)圖形的面積嗎？

（學(xué)生紛紛表示有困難）

二、分層探索，自然生長(zhǎng)

1.起：從“a=1”開(kāi)始。

提問(wèn)：你能求出這四個(gè)多邊形的面積嗎？

追問(wèn)：觀察一下，釘子板上多邊形的面積可能和什么有關(guān)？

生∶可能跟釘子數(shù)有關(guān)。

生：釘子數(shù)越多，面積越大。

師：你們感覺(jué)和釘子板上的釘子數(shù)有關(guān)，這是一種非常好的感覺(jué)，但學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不能只靠感覺(jué)，今天我們就要通過(guò)學(xué)習(xí)活動(dòng)，來(lái)探討釘子板上多邊形的面積與釘子數(shù)到底有怎樣的關(guān)系。請(qǐng)同學(xué)們數(shù)一數(shù)多邊形邊上的釘子數(shù)。

提問(wèn)：將數(shù)據(jù)整理在表格中，發(fā)現(xiàn)了嗎？

師：為了更簡(jiǎn)潔、方便地表示出這個(gè)規(guī)律，我們可以用字母來(lái)表示。如果用S表示多邊形的面積，n表示多邊形邊上的釘子數(shù)，那發(fā)現(xiàn)的這個(gè)規(guī)律可以怎樣表示？（板書(shū)：S=n÷2）

（課件出示圖形內(nèi)有多個(gè)釘子的情況）

提問(wèn)：這一發(fā)現(xiàn)是否適用于釘子板上的任何一個(gè)圖形呢？

生：（齊）不適合。

追問(wèn)：那此刻，咱們回過(guò)頭來(lái)仔細(xì)觀察上面四個(gè)多邊形，你有什么話想說(shuō)？

生：上面四個(gè)圖形中間都只有一個(gè)釘子。

師：當(dāng)規(guī)律被否定之后，我們?cè)倏磮D時(shí)，就要從這四個(gè)不同的多邊形中找到它們的相同點(diǎn)。

生：也就是說(shuō)要使這個(gè)發(fā)現(xiàn)成立的話，它必須得有一個(gè)前提。

師：如果用a表示多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)，那當(dāng)a等于幾時(shí)，規(guī)律成立？（板書(shū)：a=1）

小結(jié)：多邊形的面積不僅和邊上的釘子數(shù)有關(guān)，還和多邊形內(nèi)的釘子數(shù)有關(guān)。

【思考：給學(xué)生提供一個(gè)安全自由、真誠(chéng)包容的學(xué)習(xí)氛圍，是建構(gòu)生長(zhǎng)型課堂的必備基礎(chǔ)。在探究多邊形內(nèi)部一枚釘子的情況時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想釘子板上多邊形的面積可能與什么有關(guān)，學(xué)生猜想出與釘子數(shù)有關(guān)，肯定學(xué)生的猜想后，引導(dǎo)學(xué)生有序地?cái)?shù)出各多邊形邊上的釘子數(shù)，并將數(shù)據(jù)整理到表格中，繼而發(fā)現(xiàn)了規(guī)律。整個(gè)過(guò)程賞識(shí)、激勵(lì)學(xué)生沿著正確的方向共同探究。此時(shí)，課堂成了“氧吧”，師生都能在“氧吧”里自由地呼吸、自由地生長(zhǎng)?！?/p>

2.承：在“a=2”中發(fā)現(xiàn)。

師：同學(xué)們，咱們已經(jīng)研究過(guò)多邊形內(nèi)有一枚釘子的情況了，而且找出了一般規(guī)律，下面你們想研究什么呢？

生：多邊形里面有2枚、3枚、4枚……釘子的情況。

師：我們先從簡(jiǎn)單的入手，研究多邊形里有2枚釘子的情況。小組合作，由組長(zhǎng)制定研究方法。

過(guò)程指導(dǎo)：我們剛才已經(jīng)知道，這里的面積不等于n÷2，但和n÷2有什么關(guān)系嗎？

（根據(jù)小組匯報(bào)，板書(shū)：S=n÷2+1）

【思考：好的問(wèn)題是引領(lǐng)學(xué)生繼續(xù)生長(zhǎng)的重要前提，同時(shí)，好的問(wèn)題應(yīng)具有一定的啟示意義，有利于更大程度地發(fā)揮學(xué)生的思考力和創(chuàng)造力。在探究出多邊形內(nèi)部一枚釘子的情況后，追問(wèn)“你們接下來(lái)想研究什么”，此問(wèn)題的提出，更大限度地調(diào)動(dòng)了學(xué)生探究的積極性，使學(xué)生愿意并且主動(dòng)嘗試解決問(wèn)題。此時(shí)，知識(shí)的生長(zhǎng)，必定是它自主的生長(zhǎng)，而非被動(dòng)地接受或強(qiáng)加?！?/p>

3.轉(zhuǎn)：向“a=3，a=4……；a=0”拓展。

提問(wèn)：通過(guò)探究，我們發(fā)現(xiàn)了S=n÷2和 S=n÷2+1這兩個(gè)規(guī)律，請(qǐng)你大膽推測(cè)一下，當(dāng)多邊形內(nèi)有3枚釘子時(shí)怎么求面積呢？4枚呢？10枚呢？……那如果里面沒(méi)有釘子呢？

（各小組自由選擇研究?jī)?nèi)容，然后自主開(kāi)展探究活動(dòng)，最后展開(kāi)交流）

【思考：知識(shí)的生長(zhǎng)，不是一蹴而就的，而是緩慢、平和、漸進(jìn)的。在這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)把握住教學(xué)的重點(diǎn)，分散教學(xué)的難點(diǎn)，沒(méi)有將過(guò)多的知識(shí)點(diǎn)（內(nèi)部2枚以及多于2枚釘子的情況）放在一起進(jìn)行教學(xué)，保證學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中“吃得好”“吃得了”。在探究多邊形內(nèi)部3枚、4枚、5枚……以及沒(méi)有釘子的情況時(shí)，組織各小組自由選擇研究?jī)?nèi)容，自主開(kāi)展探究活動(dòng)。這個(gè)設(shè)計(jì)可以采集到諸多不同的研究?jī)?nèi)容，并為后續(xù)歸納規(guī)律提供更多的“佐證”。從而兼顧了知識(shí)生長(zhǎng)中的“全面性”，使學(xué)生對(duì)釘子板上多邊形的面積規(guī)律有了更為全面而深刻的認(rèn)識(shí)?！?/p>

4.合：為“S=n÷2+a-1”準(zhǔn)備。

師：同學(xué)們，要讓自己變得聰明，首先要學(xué)會(huì)由“一點(diǎn)”想到“許多點(diǎn)”，例如，剛才大家由a=1，想到a=2、a=3等等；其次，我們還要學(xué)會(huì)把“許多點(diǎn)”變到“一點(diǎn)”，例如，你有沒(méi)有想到把這些規(guī)律再合成一條規(guī)律呢？

（根據(jù)學(xué)生回答，板書(shū)：S=n÷2＋a-1）

【思考：由“一點(diǎn)”到“多點(diǎn)”，再由“多點(diǎn)”到“一點(diǎn)”，加深了學(xué)生對(duì)釘子板上多邊形面積規(guī)律探究過(guò)程的感悟。在這過(guò)程中，學(xué)生親歷了“數(shù)學(xué)化”的建構(gòu)過(guò)程。這樣的理性回歸，冷靜思考，培養(yǎng)了學(xué)生提煉數(shù)學(xué)思想方法的能力，與課堂中熱鬧的探究動(dòng)靜結(jié)合，讓課堂更有思維的含量。對(duì)學(xué)生而言，這是一種更高層次的生長(zhǎng)——思維的生長(zhǎng)。】

三、課外拓展，持續(xù)生長(zhǎng)

師：我們今天研究的知識(shí)與這本書(shū)《格點(diǎn)和面積》還有很大聯(lián)系。這是我國(guó)數(shù)學(xué)家閔嗣鶴的著作。大家可以看到第四章講的就是格點(diǎn)多邊形的面積公式。這句話介紹的是格點(diǎn)多邊形的涵義：一個(gè)多邊形的頂點(diǎn)如果全是格點(diǎn)，這個(gè)多邊形叫做格點(diǎn)多邊形。

今天研究的釘子板上的多邊形其實(shí)就是格點(diǎn)多邊形。

（教師向?qū)W生剖析該書(shū)對(duì)格點(diǎn)多邊形面積規(guī)律的探究過(guò)程）

師：我為每位同學(xué)都準(zhǔn)備了這本書(shū)，感興趣的學(xué)生課后繼續(xù)開(kāi)展探究活動(dòng)，并可以以數(shù)學(xué)小論文、數(shù)學(xué)小報(bào)等方式來(lái)呈現(xiàn)研究成果。

【思考：現(xiàn)今，課堂教學(xué)普遍追求“今日之事今日畢”，不愿意留下知識(shí)“黑洞”。其實(shí)，課堂的教學(xué)時(shí)間是有限的，但知識(shí)是無(wú)限的。所以教師在教學(xué)時(shí)不妨留點(diǎn)缺口、留點(diǎn)尾巴供學(xué)生課后探究，這樣反而可以讓學(xué)生學(xué)得更從容、更充分、更深入。在完成規(guī)律的探究后，我告知學(xué)生今天研究的知識(shí)與《格點(diǎn)和面積》有很大聯(lián)系，并通過(guò)目錄介紹，讓學(xué)生知曉本書(shū)研究的主要內(nèi)容。而后向?qū)W生介紹格點(diǎn)多邊形的涵義。讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)出：今天研究的釘子板上的多邊形其實(shí)就是格點(diǎn)多邊形。并向?qū)W生剖析該書(shū)對(duì)格點(diǎn)多邊形面積規(guī)律的探究過(guò)程，但由于時(shí)間限制，課堂上沒(méi)能讓學(xué)生完全理解這個(gè)頗具思考力的問(wèn)題，所以為每位學(xué)生都準(zhǔn)備了這本書(shū)，告訴學(xué)生：書(shū)中還有很多數(shù)學(xué)奧秘等著我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)，讓感興趣的學(xué)生課后繼續(xù)開(kāi)展探究活動(dòng)。這一環(huán)節(jié)的創(chuàng)設(shè)，將學(xué)生探尋的目光引向課外，拓展了學(xué)生的視野。此時(shí)，課堂教學(xué)的作用只是推動(dòng)學(xué)生持續(xù)研究的一個(gè)例子、一個(gè)引子。課堂雖然結(jié)束了，但思考還在延續(xù)，生長(zhǎng)還在持續(xù)。】

四、回顧交流，智慧生長(zhǎng)

師：通過(guò)今天的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？

總結(jié)：我們今天研究的規(guī)律就是數(shù)學(xué)上非常著名的皮克定理。在研究的過(guò)程中，我們從簡(jiǎn)單情形入手，通過(guò)畫(huà)一畫(huà)、數(shù)一數(shù)、算一算等方法，經(jīng)歷觀察、比較、猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)了規(guī)律。希望大家能將今天學(xué)習(xí)的收獲運(yùn)用到課后探究《格點(diǎn)和面積》書(shū)中的數(shù)學(xué)問(wèn)題中去。

【思考：這是一個(gè)看似可以忽略的環(huán)節(jié)，其實(shí)不然?；仡櫧涣魈骄康氖斋@是積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重要環(huán)節(jié)，能夠提升學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)。還可以幫助學(xué)生建立自己的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的直覺(jué)，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維方式解決問(wèn)題。并能將活動(dòng)所得不斷概括和內(nèi)化，最終遷移到課后研究《格點(diǎn)和面積》書(shū)中的數(shù)學(xué)問(wèn)題中去。將學(xué)生引向生成和開(kāi)放的廣闊天地，演繹出課堂的智慧與生長(zhǎng)的精彩?！?/p>