離散數(shù)學(xué)中“集合與關(guān)系”的學(xué)習(xí)意義

熊瑜

【摘要】本文通過(guò)筆者多年教授離散數(shù)學(xué)課程中“集合與關(guān)系”部分的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)學(xué)習(xí)中遇到的和“集合與關(guān)系”相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，理清這些知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，從而幫助學(xué)生更快速地掌握“集合與關(guān)系”的學(xué)習(xí)意義和方法，旨在鼓勵(lì)學(xué)生積極發(fā)展抽象思維能力，好好學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)這門(mén)課程，不斷提高自己的學(xué)習(xí)能力.

【關(guān)鍵詞】離散數(shù)學(xué);集合;關(guān)系

一、引 言

在離散數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，“集合與關(guān)系”部分可能會(huì)被認(rèn)為是相對(duì)容易學(xué)習(xí)的一部分，但是在筆者多年教授這門(mén)課程的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)并非如此.在中學(xué)數(shù)學(xué)課的學(xué)習(xí)中習(xí)慣于研究的集合就是各種數(shù)的集合，關(guān)系就是簡(jiǎn)單的數(shù)集合當(dāng)中大小關(guān)系.而對(duì)離散數(shù)學(xué)當(dāng)中把集合抽象到萬(wàn)事萬(wàn)物都可以因?yàn)槟撤N聯(lián)系構(gòu)成一個(gè)研究對(duì)象的群體，并且把它們之間的各種關(guān)系也抽象為集合來(lái)理解，這些知識(shí)點(diǎn)在開(kāi)始學(xué)習(xí)階段對(duì)學(xué)生而言其實(shí)是十分困難的.本文旨在讓學(xué)生能夠在學(xué)習(xí)“集合與關(guān)系”這部分知識(shí)時(shí)，更加快速有效地掌握從具象思維到抽象思維的方法，從而提升學(xué)生的抽象思維能力，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).比如，代數(shù)系統(tǒng)中群論的拉格朗日定理的學(xué)習(xí)就需要學(xué)生對(duì)集合與二元關(guān)系之間的聯(lián)系非常清楚.

二、集合與關(guān)系學(xué)習(xí)的意義

集合是不能用其他概念精確定義的原始概念.我們說(shuō)當(dāng)我們把世界上萬(wàn)事萬(wàn)物的任何一部分群體按照某種標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行歸類(lèi)以后，那么就構(gòu)成了一個(gè)形式上的集合，其因?yàn)檠芯空哐芯款I(lǐng)域的不同，會(huì)從不同的出發(fā)點(diǎn)研究集合中元素之間特定的關(guān)系，而這里的元素遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越了我們中學(xué)研究的簡(jiǎn)單的數(shù)字.因此，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，在研究人群中人與人之間是否有血緣關(guān)系，就能夠和研究空間解析幾何時(shí)空間直線(xiàn)的正交關(guān)系，研究矩陣?yán)碚撝芯仃嚨南嗨脐P(guān)系一樣，可以用相應(yīng)集合的笛卡爾積的子集合來(lái)統(tǒng)一一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)描述他們的本質(zhì).集合的方法研究關(guān)系，體現(xiàn)了離散數(shù)學(xué)的精髓，那就是把具象思維拔高到抽象思維，找到本質(zhì).這種知識(shí)能力的培養(yǎng)，在后續(xù)代數(shù)系統(tǒng)的學(xué)習(xí)當(dāng)中也得到了充分體現(xiàn).

以下我們通過(guò)用集合的方式把上面一個(gè)自然段中出現(xiàn)的例子表示出來(lái)，讓大家更加加深對(duì)“集合與關(guān)系”理論抽象概括性的理解.A表示全體人類(lèi)的集合，

A×A={〈a，b〉|a∈A∧b∈A}則R={〈a，b〉|a∈A∧b∈A∧a與b具有血緣關(guān)系}，顯然R是笛卡爾積A×A的一個(gè)子集合，R是把所有具有血緣關(guān)系的人雙雙配對(duì)作為一個(gè)序偶的形式出現(xiàn)在我們的集合表示的元素當(dāng)中.當(dāng)然我們另外舉的兩個(gè)例子，比如，研究空間解析幾何時(shí)空間直線(xiàn)的正交關(guān)系，我們只要把這里A換成空間全體直線(xiàn)構(gòu)成的集合，關(guān)系R里面的解釋換成是直線(xiàn)的正交關(guān)系，那么我們的集合表示關(guān)系R就與剛才要表示人類(lèi)的血緣關(guān)系是一樣的，所以很有意思的事情就是我們可以通過(guò)完全相同的數(shù)學(xué)集合表達(dá)式來(lái)把這兩種表面上完全沒(méi)有聯(lián)系的關(guān)系表示出來(lái).這樣做的意義是我們把本質(zhì)要表示的東西用集合來(lái)表示清楚了，對(duì)這種特殊的集合——關(guān)系我們就可以研究作為關(guān)系呈現(xiàn)出來(lái)的效果，通過(guò)對(duì)“關(guān)系”這種特殊的集合性質(zhì)的研究反過(guò)來(lái)研究我們要研究的內(nèi)容.比如，關(guān)系的自反性、對(duì)稱(chēng)性、傳遞性，我們就可以得到等價(jià)關(guān)系的概率.數(shù)學(xué)的各個(gè)分支的學(xué)習(xí)中或生活中很多研究的關(guān)系其實(shí)都是等價(jià)關(guān)系，比如，人類(lèi)的同姓關(guān)系、直線(xiàn)的平行關(guān)系、三角形的全等關(guān)系、矩陣的相似關(guān)系等.越學(xué)習(xí)，我們會(huì)越發(fā)現(xiàn)，不僅可以在學(xué)習(xí)不同學(xué)科的時(shí)候越來(lái)越有歸納總結(jié)能力了，同時(shí)還在生活當(dāng)中，發(fā)現(xiàn)越來(lái)越多的有趣關(guān)系，增加了生活的樂(lè)趣.

離散數(shù)學(xué)中當(dāng)我們已經(jīng)從集合的觀點(diǎn)出發(fā)，把各種關(guān)系都抽象總結(jié)成為一種研究對(duì)象，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)之前數(shù)學(xué)學(xué)科當(dāng)中一直研究的函數(shù)這個(gè)概念本質(zhì)上就是一種特殊的關(guān)系，從而把事先已經(jīng)在關(guān)系中研究明白的結(jié)果平移過(guò)來(lái)，可能解決了學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一直困擾的問(wèn)題.在大學(xué)的微積分學(xué)習(xí)中，函數(shù)是我們研究極限的載體，極限是微積分學(xué)的基礎(chǔ)，是微積分學(xué)能夠成立的基石.大一的理工科類(lèi)學(xué)生，是要花大量的時(shí)間在解決函數(shù)的求導(dǎo)求積分上的.當(dāng)他們學(xué)完了基礎(chǔ)課，又會(huì)投入到各自選擇的專(zhuān)業(yè)中，不斷做的事情就是學(xué)會(huì)把研究領(lǐng)域的問(wèn)題數(shù)學(xué)模型化，建立數(shù)學(xué)模型，其實(shí)也就是最終研究量和量之間構(gòu)成的函數(shù)關(guān)系.比如，優(yōu)化問(wèn)題就要借助建立的函數(shù)關(guān)系來(lái)進(jìn)行.綜上，可以看到我們這種特殊的關(guān)系——函數(shù)的偉大意義了.

三、小 結(jié)

本文旨在和學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)的學(xué)生和教師分享一下學(xué)習(xí)“集合與關(guān)系”這部分的心得和意義，讓學(xué)生們體會(huì)到學(xué)習(xí)是可以深入和深刻的，要有耐心和細(xì)心來(lái)完善自己的學(xué)習(xí)方法，要有恒心來(lái)不斷提高自己的學(xué)習(xí)能力.數(shù)理邏輯的先驅(qū)萊布尼茲曾經(jīng)有一個(gè)理想：創(chuàng)造出了一種“通用的語(yǔ)言”，把邏輯推理過(guò)程像數(shù)學(xué)一樣利用公式來(lái)進(jìn)行演算，我們現(xiàn)在學(xué)習(xí)的數(shù)理邏輯就實(shí)現(xiàn)了這個(gè)預(yù)想.筆者認(rèn)為這就是離散數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的魅力，培養(yǎng)邏輯思維能力，培養(yǎng)學(xué)習(xí)能力，讓學(xué)生在今后任何專(zhuān)業(yè)的學(xué)習(xí)中都能夠得心應(yīng)手，充滿(mǎn)自信.

【參考文獻(xiàn)】

[1]Kenneth H.Rosen離散數(shù)學(xué)及其應(yīng)用（英文版第七版）[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2012.

[2]方景龍，周麗.應(yīng)用離散數(shù)學(xué)（第二版）[M].北京：人民郵電出版社，2014.