例談波利亞解題思想中的審題觀

高建 李慶亮

[摘? 要] 對問題的表征是解決問題的開始，所以學(xué)生不夠重視的審題環(huán)節(jié)恰恰是解題的重要一環(huán)，本文以波利亞解題思想為指導(dǎo)，介紹了解題的階段、并以具體題目為例，對解題教學(xué)中審題環(huán)節(jié)的問題設(shè)置、方法指導(dǎo)等方面進行了探討.

[關(guān)鍵詞] 波利亞;審題;解題

依據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》的要求，學(xué)生要初步學(xué)會從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，發(fā)現(xiàn)分析問題和解決問題的一些基本方法. 這既是義務(wù)教育階段的要求，也是高中階段發(fā)展學(xué)生“四能”的基礎(chǔ)，而這些能力的提升都離不開解題教學(xué). 但現(xiàn)在學(xué)校中的解題教學(xué)往往過于注重題目本身而忽視了能力的培養(yǎng)與發(fā)展，抑或有一些教師的解題教學(xué)不得方法，讓學(xué)生的解題變?yōu)橐环N機械學(xué)習(xí). 數(shù)學(xué)教育家波利亞指出“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就是要加強解題的訓(xùn)練”. 但這種“解題”不同于“題海戰(zhàn)術(shù)”，他認為解題應(yīng)該作為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)才能和教會他們思考的一種手段和途徑. 他在《怎樣解題》中提供給人們一整套解題的思路與方法，不僅適用于數(shù)學(xué)問題，還對生活實際問題的解決提出了一定策略，對于中學(xué)階段的數(shù)學(xué)解題教學(xué)具有指導(dǎo)意義.

波利亞的解題四階段

波利亞在《怎樣解題》中將解題分為了以下4個階段：（1）理解題目，即明確題目中的未知量、已知數(shù)據(jù)、條件;（2）擬訂方案，即找出題目中已知數(shù)據(jù)、條件以及未知量之間的聯(lián)系，手中題目與相關(guān)概念之間的聯(lián)系，該題目與之前做過的題目間的聯(lián)系，并擬定一個求解計劃;（3）執(zhí)行方案，即實施之前擬定的計劃，細化到每一個步驟，確保其過程嚴謹;（4）回顧，即對所求的解或證明的過程進行檢驗，對解題的思路與方法進行總結(jié). 審題是解題的第一環(huán)節(jié)，若不能對題目形成正確的表征，解題也就無從談起. 而在教學(xué)實踐中可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生審題環(huán)節(jié)也存在著一些問題，所以本文將對審題環(huán)節(jié)進一步深入探討.

理解題目

學(xué)生解題能力不足，除了知識點的整體把握不夠之外，也與他們思考問題的方式有關(guān)，他們不知道怎樣審題、怎樣思考，而課堂教學(xué)或考試中往往有時間限制，這也就導(dǎo)致了一些學(xué)生還沒有看清題目、理清條件就急于解題，若長此以往，這些學(xué)生或是長期做錯而喪失對數(shù)學(xué)的興趣，或是將錯題歸咎于馬虎，或是偷證漏證而不自知，不論哪種結(jié)果都不利于學(xué)生的發(fā)展. 所以，教師在教學(xué)每一道題的解題過程時，更重要的是教學(xué)生解題的普遍思路與方法，教學(xué)生如何克服障礙，讓學(xué)生看到教師解題時每一個想法的來源，這些就要從審題教學(xué)開始.

因“審題”而造成的問題是最可惜的，卻也是最常見的. 中學(xué)生處于青少年時期本就不夠沉穩(wěn)，容易受心情、喜好等因素影響，遇到自己不感興趣的題目就不愿意多做思考. 所以教師更應(yīng)在題目的選擇上下足功夫，既要選出有代表性的題目，也要保證題目的難度符合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，還要考慮到習(xí)題與學(xué)生生活之間的聯(lián)系，不能給學(xué)生一種“數(shù)學(xué)題與生活無關(guān)，不會做數(shù)學(xué)題只影響分數(shù)，不影響生活”的印象，同時在題量的控制上不能陷入“題海戰(zhàn)術(shù)”. 為了達到以上要求，需要教師進入題海之中，對題目進行篩選，同時也需要教師之間互相交流，針對不同的學(xué)情篩選出不同層次、不同側(cè)重點、不同表述的題目.

解題案例

案例中（如表1）的兩道題目在圖形上看十分相似，且都是八年級下“平行四邊形”一章的題目，但考點截然不同. 第1題中有明確給出“中點”字樣的提示，結(jié)合當時剛學(xué)過的中位線的概念及性質(zhì)，很容易聯(lián)想到連接EF，雖然這樣的思路無法解決這一題目，但由三角形兩邊中點，想到構(gòu)造中位線確實是一種正常的思路. 而第2題中，E，F(xiàn)可能在AB，BC上的任意位置，只要滿足EF與AC的平行關(guān)系即可，如果出題人將E，F(xiàn)的位置分別標在AB，BC的中點附近，學(xué)生便很容易將其與第一題混淆. 這種混淆究其根本在于學(xué)生并沒有抓住圖形的本質(zhì)屬性（即第2題中的幾對平行關(guān)系），學(xué)生誤將題目中的非本質(zhì)屬性（E，F(xiàn)的位置）當作圖形的本質(zhì)屬性，從而陷入誤區(qū). 此時，由于一部分學(xué)生是審題導(dǎo)致的解題失敗，教師若直接將兩道題目的解法寫在黑板上講給學(xué)生，將不會有太大的效果. 這就要求教師從審題開始講起，通過一系列的問題設(shè)置，教學(xué)生如何把握題目中數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性，剔除非本質(zhì)屬性的影響，從審題中獲得思路.

問題設(shè)置

上述案例中，兩題的考點截然不同，第一題更傾向平行四邊形判定定理及中位線定義與性質(zhì)的考核，第二題卻考核了平行四邊形的性質(zhì)定理以及“平行線間距離處處相等”在有關(guān)面積問題中的應(yīng)用. 教師在對圖形或條件相近的習(xí)題講解時更應(yīng)按部就班，引導(dǎo)學(xué)生摒除前后習(xí)題之間的影響，從審題開始，先不斷追問學(xué)生：未知量是什么？已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？條件是否充分？如果不充分可以做怎樣的補充？條件是否有剩余？不用多余的條件如何證明？在教師的不斷追問下（如表2），學(xué)生潛移默化地就會養(yǎng)成做題之前先問自己這些問題的習(xí)慣.

在這樣的引導(dǎo)之下，學(xué)生就可以清晰地看到兩個題目的異同，從而對兩個題目形成正確的表征，明確題目想要重點考查的知識點，也可以獲得解題的思路，進而為擬定相應(yīng)的解題方案做好了準備. 審題環(huán)節(jié)上的方法指導(dǎo)要圍繞以下幾點進行：①理解條件含義，并進行數(shù)學(xué)表征;②理解結(jié)論含義，并進行數(shù)學(xué)表征;③理清條件與結(jié)論之間的聯(lián)系，這是審題環(huán)節(jié)進行設(shè)問的最終目的. 所以培養(yǎng)學(xué)生的審題能力，除講解題目時的“設(shè)問”外，還應(yīng)在課堂教學(xué)中對概念、原理進行多元表征（如：操作、日常語言、符號語言、圖形等），以便學(xué)生又快又準地理解題目.

其他常用問題

教師對學(xué)生理解題意的引導(dǎo)應(yīng)以問題作為提示，但絕不僅限于上述問題，還可以用如下問題對學(xué)生進行引導(dǎo)：對于這道題，我們所要求的是什么？該怎么用數(shù)學(xué)符號表示呢？現(xiàn)在我們知道了什么？該怎么用數(shù)學(xué)語言表示已知條件呢？對于目標問題，已知條件夠用嗎？如果不夠，又該怎么辦呢？如果已知條件多余呢？給出的條件相互矛盾嗎？能不能把題目中的元素在圖形上直觀地表示出來呢……具體的問題設(shè)置還應(yīng)分析具體學(xué)情，學(xué)生審題的難點可能在于符號語言、文字語言、圖形語言的轉(zhuǎn)化，或在于對問題情境的數(shù)學(xué)抽象與表征等很多方面，這就要求教師把握學(xué)情，在學(xué)生平時做題的步驟書寫、圖形標注等體現(xiàn)審題過程的細微之處加以觀察，并根據(jù)其中的不足之處，在教學(xué)時合理設(shè)置問題.

現(xiàn)在仍有很多學(xué)生能聽懂知識點，但在解題時卻困難重重，其中很大一部分原因來自審題環(huán)節(jié). 解題活動要培養(yǎng)的是學(xué)生的一種解決問題的思維方式，這種思維方式又無法直接告訴學(xué)生，教師要在平時的解題教學(xué)中，讓學(xué)生“看到”自己的解題過程. 而審題又是解題活動的開端，是“四能”中“發(fā)現(xiàn)問題”的關(guān)鍵階段，更應(yīng)引起重視. 讓學(xué)生知道教師是如何審題的，理解了題目也就為順利解題做好了充分的準備，增加了學(xué)生自己完成解題的可能性，從而讓學(xué)生體驗到解題成功時的成就感，在解題的成就感中找到對數(shù)學(xué)的熱愛.