數學建模：從方法到思想

沈磊

[摘? 要] 初中數學教學，正面對著核心素養(yǎng)培育的需要，在數學學科核心素養(yǎng)中，有包括數學建模在內的六個要素，對數學建模的認識，要明確從“方法”到“思想”的途徑，這樣能有效促成數學建模作為數學學科核心素養(yǎng)要素的落地，進而促成整個數學學科核心素養(yǎng)的落地. 對于初中學生而言，數學建模要想從方法上升為思想，關鍵在于促進學生對數學建模的問題解決性認識，而這個促進的載體，就是實際問題的解決，就是學生在實際問題解決過程中對數學模型的認識.

[關鍵詞] 初中數學;核心素養(yǎng);數學建模;教學認識;模型思想

教師對教學的認識，往往建立在對具體教學思路、教學內容、教學方法的基礎之上. 其中，教學思路往往由教學理念決定，而教學內容則由課程標準與教材確定，至于教學方法，這看起來是一個絕大多數教師耳熟能詳的概念，譬如對于初中數學教學方法，教師脫口而出的往往就是數形結合、模型等，在實際教學中對教學方法的強調，更多的側重于讓學生掌握建構數學知識的思路與解決問題（解答習題）的辦法. 相比較而言，很少有教師能夠真正從“思想”的角度，引導學生建立對數學學習的認識.

當下的初中數學教學，正面對著核心素養(yǎng)培育的需要，在數學學科核心素養(yǎng)中，有包括數學建模在內的六個要素，筆者以為對數學建模的認識，要明確從“方法”到“思想”的途徑，這樣才能有效促成數學建模作為數學學科核心素養(yǎng)要素的落地，進而促成整個數學學科核心素養(yǎng)的落地. 下面就結合這一觀點，談談筆者的一些不成熟的思考.

作為方法的數學建模

數學建模首先是作為方法存在的，需要認識到的是，作為方法認知的數學建模，對于初中學生的數學學習來說，已經是一個重要的認識上的進步. 因為根據教學經驗可以發(fā)現，相當一部分學生在數學學習中實際上處于高度的無意識狀態(tài)，教師講什么他就學什么，教師怎么講他就怎么聽. 這里固然與教師的教學導向有關系（沒有真正將學生放在主體地位），其實也與學生自身的學習認識有關系. 筆者在教學中一直跟學生強調，數學學習中一定要以“我”（指學生自己）為主，教師的講解、訓練是“幫助”自己學習的. 而學生一旦形成這樣的認識，在數學學習中就更加容易形成方法意識，于是數學建模作為一種方法的掌握也就成為可能.

對于數學建模的認識，通常是這樣的：數學建模是引導學生學會“用數學眼光觀察世界，用數學思維思考世界，用數學語言表達世界”的重要載體，是促進學生思維能力、實踐能力和創(chuàng)新意識發(fā)展的重要素養(yǎng). 在初中數學教學中，作為方法的數學建模教學，可以是這樣的（以“一元二次方程解決實際問題”的教學為例）：

給學生提供具有實際生活意味的素材，如筆者到生活中尋找到傳播類的題材給學生創(chuàng)設了這樣的一個情境：某地某次爆發(fā)了急性傳染性流感，假如該流感傳染時每輪都以相同比例傳染，在其傳染了兩輪之后達到121人，那每輪傳染是傳染給多少人？（設最初是1個人患此流感）

對于這個問題的解決，學生首先需要讀懂問題的表述，弄清“傳播”過程，建立清晰的“傳染模型”. 實際教學中，作為方法的數學建模，筆者的引導是基于學生的分析過程而進行的，具體包括：設未知數，尋找等量關系，求解方程. 其中建立等量關系是最關鍵的，如果設每次傳播x個人，則在建立等量關系的時候，邏輯就是先判斷一輪傳染后有多少人患上流感（用x來表示），第二輪傳染后有多少人患上流感. 這兩個問題一解決，等量關系自然建立.

從數學建模方法掌握的角度來看，最關鍵的一步是反思上述問題解決的過程，通過思路的整理，讓學生明確本問題的解決，關鍵就在于一元二次方程思路下的等式建立. 學生一旦形成這個認識，那就是方法性的認識，也就從方法的角度對數學建模建立了理解.

作為思想的數學建模

從數學建模的方法誕生的角度來看，人們認識到數學建模的價值，就在于其在解決實際問題的時候所起的作用. 眾所周知，數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養(yǎng). 數學建模過程主要包括：在實際情境中從數學的視角發(fā)現問題，提出問題;分析問題，建立模型;確定參數，計算求解;檢驗結果，改進模型，最終解決實際問題. 當然，對于初中學生而言，數學建模的過程沒有這么復雜（譬如上面的例子就具有一定的代表性），但可以肯定的是，在學生掌握了數學建模的方法之后，要幫學生形成一種思想性認識，這樣能夠促使學生更好地建構數學知識，同時形成對數學學科的認識. 有研究表明，建立數學模型思想能夠幫助學生更好地體會數學和外部世界之間的聯系，建構基本的數學模型、推廣已有的數學模型、演繹更多的數學模型其實都是包含在模型思想范疇內的具體環(huán)節(jié)，教師有意識、有計劃的訓練能幫助學生獲得以一當十的數學建模與演繹能力. 在實際教學中，筆者進行了這樣的嘗試（仍以“一元二次方程解決實際問題”的教學為例）：

問題情境的創(chuàng)設：根據世界衛(wèi)生組織的界定，甲型流感是傳染性最強的疾病之一，假設某地1人患甲型流感之后，在兩天之內就有可能傳染為9人，試判斷1周內的傳染人數;如果采取措施將傳染速度降至原來的一半，那一周后有多少人感染？

學生在分析第一個問題的時候，可以用上面例子中形成的認識進行遷移，困難相對不大，這里不再贅述. 對于第二個問題，學生很容易想到運用相同的一元二次方程的模型來解決，但是這里更會讓學生形成的一個認識是：一元二次方程不僅是數學課堂上用來解題、得分的工具，更是可以解決人們在生活中遇到的類似疾病傳播類問題的工具. 這就是數學知識的實用價值！

這樣一個問題的解決，看起來與上面的例子相同，但實際上這里的兩個問題各具價值：對于第一個問題而言，是利用學生已經形成的對數學建模的方法認識，去再次分析、解決問題，從而鞏固對數學建模的認識;第二個問題其實非常關鍵，因為這是學生運用數學建模的方法獨自解決實際問題的過程，這個過程中既要用到原來建立的模型，同時還會讓學生認識到在類似疾病傳播類的問題中，建立科學的模型，并調整其中的參數，是真真實實的可以治病救人、化解社會矛盾的舉措. 這種從生活走向數學，又從數學走向社會的認識過程中，數學模型起著不可替代的作用，其在強化學生對數學建模的認識時，很容易在學生的心目中烙下深刻印象，從而使得學生對數學建模的認識真正實現從方法到思想的轉變. 也因此筆者以為：對于初中學生而言，數學建模要想從方法上升為思想，關鍵在于促進學生對數學建模的問題解決性認識，而這個促進的載體，就是實際問題的解決，就是學生在實際問題解決過程中對數學模型的認識.

核心素養(yǎng)與數學建模

在理解了數學建模從方法向思想轉變的認識之后，再從核心素養(yǎng)培育的角度來認識數學建模，還可以發(fā)現數學建模存在的價值遠遠超過對其在日常教學尤其是應試形態(tài)下的理解.

實際教學中，由于應試的需要，包括數學建模在內的數學思想方法，更多地被作為提升學生解題能力的工具，這顯然讓數學建模的價值大打折扣. 實際上分析學生在數學建模過程中的心理活動，會發(fā)現在建模的時候，學生都能夠非常廣泛、充分地調動已經學習過的數學知識，尤其是能夠發(fā)揮想象去猜想可能的模型（包括所用到的數學知識，但這個時候的數學知識常常是以模型的形態(tài)存在的），這種猜想、想象對于學生的數學學習來說，影響巨大. 著名科學家愛因斯坦有一句名言：想象力比知識更重要，因為知識是有限的，而想象力包括世界的一切，推動著進步，并且是知識的源泉. 從這個角度講，基于想象力、思維力（組成智力的核心要素）去促進學生進行數學建模，并在建模過程中形成建模能力，形成方法認知，最終形成建模思想，就是初中數學教學中數學建模的重要思路.

由此思考數學學科核心素養(yǎng)的落地，筆者以為在初中數學教學中，核心素養(yǎng)的落地如果說需要尋找一個載體的話，那這個載體除了與具體的教學內容相關之外，更與數學思想方法有關. 而數學建模既是數學學科核心素養(yǎng)的六個要素之一，同時也是初中數學教學的優(yōu)秀傳統(tǒng). 在數學建模的過程中，學生通過對數學知識的綜合運用，進而建立起能夠解決數學問題、實際問題的模型，最終存在于學生大腦當中的，除了這些數學知識，也包括數學建模之類的數學思想方法. 而且相比較而言，數學思想方法更容易實現從數學向其他學科、其他領域的遷移，這種能力的遷移恰恰是核心素養(yǎng)所強調的關鍵能力. 因此數學建模作為最重要的思想之一，幫學生形成從方法到思想的認知，就是為核心素養(yǎng)的培育奠定基礎，其應當成為初中數學教師的教學取向.