一道圓錐曲線最值題的探討

范萍

圓錐曲線是解析幾何的精華所在，圓錐曲線的最值問(wèn)題就成了高考的重要內(nèi)容之一，它融合了解析幾何、不等式、函數(shù)于一體.對(duì)解題者來(lái)說(shuō)，能力要求也比較高，因此這類(lèi)問(wèn)題成了高考中數(shù)學(xué)的難關(guān)，但其解法還是有章可循、有法可依的.本文來(lái)談?wù)劰P者遇到的一道求圓錐曲線最值的題目：

已知橢圓 x2 25 + y2 9 =1的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，A（2，1）是橢圓內(nèi)一點(diǎn)，P為橢圓上任意一點(diǎn)，求PA+ 5 4 PF2的最小值.

這道題討論的是PA+ 1 e PF2（e是橢圓的離心率）的最值，點(diǎn)A（2，1）在橢圓的內(nèi)部，利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義“化曲為直”來(lái)解決：

設(shè)點(diǎn)P到右準(zhǔn)線x= 25 4 的距離為d，由 PF2 d =e= 4 5 ，得到d= 5 4 PF2，所以PA+ 5 4 PF2=PA+d≤ 25 4 -2= 17 4 ，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 10 2 3 ，1 .

但是，這道題里的系數(shù)條件似乎有些苛刻，而且顯得生硬，讓學(xué)生很難理解系數(shù)的設(shè)計(jì)用意.鑒于此，筆者在系數(shù)上做了些改動(dòng)，找準(zhǔn)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)背景，進(jìn)行一些通解探索，供讀者參考.

（1）求PA-PF2的最值.

利用三角形任意兩邊之差小于第三邊，有

PA-PF2 ≤AF2， 即-AF2≤PA-PF2≤AF2.

當(dāng)點(diǎn)P為線段AF2的延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，PA-PF2取得最大值；當(dāng)點(diǎn)P為線段F2A的延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，PA-PF2取得最小值.

（2）求PA+PF2的最值.

當(dāng)P在橢圓上運(yùn)動(dòng)的時(shí)候，我們不能像前面一樣直接用一個(gè)明確的長(zhǎng)度來(lái)描述它的最值大小，也不能清楚地找到取得最值的位置，如何解決呢？這里可以把這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化一下.因?yàn)镻A+PF2=PA+2a-PF1=PA-PF1+2a，所以就變成求PA-PF1的取值范圍問(wèn)題.化歸為上面的問(wèn)題：-AF1≤PA-PF1≤AF1，從而求解出

2a-AF1≤PA-PF1≤2a+AF1.

對(duì)于點(diǎn)在橢圓外，類(lèi)似的結(jié)論也成立.在這道題中，我們不妨設(shè)點(diǎn)M（-6，1）.

PM+ 5 4 PF2的最小值求解方法和定點(diǎn)A在橢圓內(nèi)一樣，這邊就不詳述了.重點(diǎn)研究

PM-PF2和PM+PF2的取值范圍.

由三角形兩邊之 差小于第三邊，有PM- PF2≤MF2，因此，當(dāng)點(diǎn)P為線段MF2的延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，PM-PF2有最大值MF2.而在求它的最小值時(shí)，應(yīng)該先把PM-PF2轉(zhuǎn)化為PM-（2a-PF1）=PM+PF1-2a，由三角形兩邊之和大于第三邊，有PM+PF1≥MF1，這樣，當(dāng)點(diǎn)P為線段MF1與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，PM-PF2有最小值MF1-2a.從而求出PM-PF2的取值范圍為[MF1-2a，MF2].

求PM+PF2的取值范圍，可以效仿上述過(guò)程.

由三角形兩邊之和大于第三邊，可得PM+PF2≥MF2，因此，當(dāng)點(diǎn)P為線段MF2與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，PM+PF2有最小值MF2；求最大值時(shí)，先把PM+PF2轉(zhuǎn)化為PM+（2a-PF1）=（PM-PF1）+2a，因?yàn)镻M-PF1≤MF1，所以當(dāng)P為線段MF1的延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，PM+PF2取得最大值MF1+2a.從而求出PM+PF2的取值范圍為[MF2，MF1+2a].

由此可見(jiàn)，只要合理地利用好圓錐曲線的定義，求解PM+mPF2的取值范圍的這一類(lèi)問(wèn)題并不困難.如果m= 1 e ，那么利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義轉(zhuǎn)化為兩條線段的長(zhǎng)度之和，“化曲為直”來(lái)解決；如果m=±1，采取數(shù)形結(jié)合的思想，合理地利用好三角形中的“任意的兩邊之和大于第三邊，任意的兩邊之差小于第三邊”，如果不能直接看出來(lái)的，可以通過(guò)圓錐曲線的定義把PF2換成2a-PF1，再去解決.最終取得最值的位置都應(yīng)該在直線與曲線的交點(diǎn)處.

當(dāng)然，如果這里的橢圓換為雙曲線、拋物線，也有類(lèi)似的結(jié)論.

把一道典型的圓錐題通過(guò)多角度、不同背景的變式，由淺入深，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，可讓學(xué)生掌握姊妹題甚至一類(lèi)題的解法，最終把隱含的有意義的結(jié)論一一推導(dǎo)出來(lái)，通過(guò)改變條件，發(fā)現(xiàn)由不同條件可以得出相應(yīng)不同或相同的結(jié)論，找出了不同知識(shí)之間的聯(lián)系與規(guī)律，學(xué)生在對(duì)基本原理、規(guī)律的探究、發(fā)現(xiàn)、歸納和應(yīng)用的過(guò)程中，總結(jié)規(guī)律，既知其然，更知其所以然，培養(yǎng)了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法去分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力、探究創(chuàng)新的能力以及靈活多變的思維能力.