《高等代數(shù)》課程教學(xué)改革實踐與認(rèn)識

孫水玲

【摘? 要】數(shù)學(xué)課程改革是數(shù)學(xué)教育改革的核心。文章通過作者多年的教學(xué)實踐，針對高等代數(shù)課程教學(xué)中存在的諸如教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)、教學(xué)手段方法等問題，以實踐為基礎(chǔ)，以教材為依托，以學(xué)生為主體，從教材內(nèi)容、教學(xué)方法和教學(xué)手段方面進行思考與探索。

【關(guān)鍵詞】高等代數(shù);教學(xué)手段;教學(xué)方法;教學(xué)改革

引言

高等代數(shù)不僅是中學(xué)代數(shù)的延拓，也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。它是理科生必修的一門重要基礎(chǔ)理論課程。本課程的教學(xué)目標(biāo)是通過該門課程的教學(xué)使學(xué)生掌握高等代數(shù)的基本概念，基礎(chǔ)理論和基本方法，為后繼課程打下堅實的基礎(chǔ);同時通過本課程的教學(xué)使學(xué)生領(lǐng)會代數(shù)學(xué)的基本思想，學(xué)會將實際問題代數(shù)化，培養(yǎng)學(xué)生運用高等代數(shù)知識解決實際問題的能力。然而由于本課程概念多，內(nèi)容抽象，理論性強，思維方式獨特，學(xué)生普遍反映難學(xué)。說它難學(xué)有課程的客觀原因，同時也有學(xué)生的主觀因素，剛?cè)雽W(xué)的大學(xué)生往往不能盡快適應(yīng)大學(xué)的學(xué)習(xí)環(huán)境和特點，普遍缺乏大學(xué)的學(xué)習(xí)方法、策略以及思維技能，這給他們的學(xué)習(xí)帶來很大的困難。為此，我們做了下列改進。

1.合理安排教學(xué)內(nèi)容，有助于增強學(xué)習(xí)興趣

眾所周知，高等代數(shù)與線性代數(shù)最大的區(qū)別之一就是高等代數(shù)增加了多項式的內(nèi)容，這部分內(nèi)容邏輯性強，抽象度高，而多數(shù)教材，往往會把這一內(nèi)容安排在第一章，初學(xué)者對內(nèi)容的抽象感無所適從，畏難情緒從第一課就開始了。如何處理這種情況？從內(nèi)容的銜接上來看，多項式與隨后的行列式、線性方程組、矩陣、二次型這些內(nèi)容沒有關(guān)聯(lián)，到線性變換章節(jié)需要用它的時候卻相隔甚遠(yuǎn)，如果把多項式放與線性空間內(nèi)容相連，無論是從內(nèi)容的銜接還是從學(xué)生的接受程度來講，都是比較恰當(dāng)?shù)摹４送?，行列式、線性方程組內(nèi)容相對簡單易學(xué)，這樣完成從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)的過度，跳躍不大。教學(xué)實踐表明，這樣的內(nèi)容調(diào)整學(xué)生學(xué)起來感到輕松自然，學(xué)習(xí)效果有明顯改善。

我們知道，行列式與矩陣是兩個截然不同的概念，但由于它們有著千絲萬縷的聯(lián)系，學(xué)生很容易混淆。有些課本中是將矩陣的初等變換內(nèi)容插入到行列式的計算中，其實這是完全不必要的，行列式的運算只要利用性質(zhì)就足夠了，不必涉及矩陣內(nèi)容。至于矩陣與行列式以及矩陣的初等變換和行列式性質(zhì)之間的聯(lián)系到矩陣內(nèi)容認(rèn)識也為時不晚，而且，這樣兩個內(nèi)容不易混淆。當(dāng)然，對于課程內(nèi)容的調(diào)整，我們既要從知識結(jié)構(gòu)的先后順序考慮，從方法論的角度考慮，任何數(shù)學(xué)知識中都包含一定的數(shù)學(xué)方法，獲得知識的同時，必然會接觸數(shù)學(xué)方法;又要從學(xué)生認(rèn)知的規(guī)律考慮，學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律應(yīng)該是：從易到難，從簡到繁，由淺入深，循序漸進。綜合上述理由， 課程內(nèi)容的合理安排和適當(dāng)調(diào)整，有助于學(xué)生學(xué)習(xí)效率的提高，同時也會增強學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。

2.以初等數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，由淺入深，循序漸進，有助于高等代數(shù)的理解

對于一年級的大學(xué)生來說，高等代數(shù)的內(nèi)容是全新的概念，全新的思維方式，多數(shù)同學(xué)感覺知識銜接不上。其實，高等代數(shù)的許多內(nèi)容都可以從初等數(shù)學(xué)中找到源頭，在對比中辨別高等代數(shù)與初等數(shù)學(xué)在處理問題思維方式上的異同。譬如，多項式教學(xué)中，先是復(fù)習(xí)初等數(shù)學(xué)中多項式的概念，然后引入高等代數(shù)的多項式概念，利用類比的方法，讓學(xué)生知道高等代數(shù)中多項式所含只是一個形式上的文字符號，它可以表示數(shù)，也可以表示矩陣、函數(shù)等等，而初等數(shù)學(xué)中多項式所含只能表示一個數(shù)。高等代數(shù)中的多項式在一般情況下，是一個形式的表達(dá)式，而初等數(shù)學(xué)中只表示一個函數(shù)，它們是特例與一般的關(guān)系。從上面的討論情況可看出，兩種多項式彼此間卻存在著層次上的差別。教學(xué)中應(yīng)及時與中學(xué)教材中多項式的概念、性質(zhì)聯(lián)系對照，比較其觀點與方法上的區(qū)別與聯(lián)系，讓學(xué)生明確初等數(shù)學(xué)中多項式概念的局限性，高等代數(shù)中多項式理論的廣泛性。認(rèn)識其一般性與概括性的特點，這不僅能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)自覺性，也能使學(xué)生逐步弄清高等代數(shù)與初等代數(shù)在處理問題著眼點上的差異。

3.善于利用恰當(dāng)示例，有助于抽象概念的消化

高等代數(shù)課程內(nèi)容有三多，即概念多，定理多，結(jié)論多，但例題少。這給同學(xué)們對抽象內(nèi)容的理解帶來很大困難，經(jīng)常出現(xiàn)的問題是，課聽懂了，書看懂了，但題目不會做。其實這種懂不是真正意義上的懂，只是形式上的懂或表面上的懂，沒有理解內(nèi)容的本質(zhì)。如果結(jié)合恰當(dāng)?shù)睦}講解抽象的新的內(nèi)容，將有助于學(xué)生對新內(nèi)容的理解。例如，線性空間這個概念中，定義了加法“+”和數(shù)量乘法“·”兩種運算，滿足八條規(guī)則。學(xué)生對這兩種運算往往是停留在表面和符號上面，由于他們只習(xí)慣于通常的數(shù)的加法和乘法運算，所以不能完全理解這兩種運算的深刻含義。另外，對線性空間的零元素“0”，學(xué)生們也只是認(rèn)為是數(shù)0。教材上在這里給出的幾個例子，由于集合上定義的運算均為通常意義下的加法和數(shù)量乘法，所以，學(xué)生不能深刻體會和認(rèn)識線性空間上這兩種運算的真正意義，導(dǎo)致學(xué)生出現(xiàn)“課聽得懂，書看得懂，就是不會做題”問題。如果在講解這個概念時，結(jié)合下面的例題，學(xué)生就能對線性空間的概念有一個透徹的理解和認(rèn)識。例題：設(shè)是全體正實數(shù)的集合，定義線性運算如下：

（1）加法：對，定義? ;

（2）數(shù)量乘法：對，定義

問在這樣定義的線性運算下，是否構(gòu)成實數(shù)域上的線性空間？

這里定義加法，實際上是我們通常運用的數(shù)的乘法運算，而這里定義的數(shù)量乘法，就是我們通常運用的數(shù)的乘方運算。滿足零元條件的數(shù)是1。通過這個例子的講解，同學(xué)們才充分認(rèn)識到，線性空間上定義的兩種運算有其自身的含義，線性空間是依托于這兩種運算的。線性空間的零元素和數(shù)0在數(shù)的通常意義的加法運算中作用相同，但未必就是數(shù)據(jù)0，也就是空間上任意元素和“零”元素作加法不變，但這個加法是這個線性空間上定義的加法。

4.理論聯(lián)系實際，有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性

低年級的大學(xué)生心懷各種夢想，但卻很迷茫。所學(xué)不知其所用是普遍存在的問題。所以我們在教學(xué)中適時地介紹高等代數(shù)理論和方法在其它不同領(lǐng)域的應(yīng)用，不僅可以加深學(xué)生對新學(xué)理論的理解和認(rèn)識，還可以使學(xué)生了解所學(xué)知識的用處，并可培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實際的良好作風(fēng)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。

5.適當(dāng)?shù)默F(xiàn)代技術(shù)手段和信息技術(shù)的使用，有助于教學(xué)效率的提高

今年突如其來的疫情迫使國內(nèi)外各大中小學(xué)校不得不采用網(wǎng)絡(luò)授課，一個學(xué)期的網(wǎng)課教學(xué)使我學(xué)到了很多，也認(rèn)識到，現(xiàn)代化教學(xué)方法勢在必行。雖然人們對高校數(shù)學(xué)課程引入現(xiàn)代化教學(xué)手段認(rèn)識觀點褒貶不一，但不可否認(rèn)的是，現(xiàn)代化教學(xué)手段的使用，可以提供更多的信息量，可以增加內(nèi)容的直觀性，可以解放教師的手腳節(jié)省體力，可以讓教室更加的環(huán)保?？梢岳镁W(wǎng)絡(luò)把更好的資源引入課堂，還可以利用網(wǎng)絡(luò)平臺直接錄播課堂教學(xué)，學(xué)生可以集中注意力認(rèn)真聽講，課后通過回放整理筆記，會使學(xué)習(xí)效率更高。同時，還可以利用網(wǎng)絡(luò)平臺把課堂延伸到課下，因為這個平臺不需要固定場所、高端設(shè)備和固定時間，它提供的是一個立體化的教學(xué)環(huán)境。當(dāng)然，現(xiàn)代化教學(xué)手段的使用要適度，關(guān)鍵是如何才能把先進的現(xiàn)代化手段同傳統(tǒng)的教學(xué)方法有機地結(jié)合，在數(shù)學(xué)教學(xué)中不斷尋求現(xiàn)代化教學(xué)的規(guī)律、教學(xué)方法，在實踐中不斷發(fā)現(xiàn)問題，總結(jié)經(jīng)驗，逐步加以改進和完善。在教學(xué)改革、提高教學(xué)質(zhì)量上發(fā)揮它們的重要作用，這才應(yīng)該是我們努力的方向和目標(biāo)。

參考文獻(xiàn)

[1] 李建平，如何實現(xiàn)信息技術(shù)與教學(xué)整合[J]，中國教育報2003年11月11日第2版.

[2] 《高等代數(shù)》（M）（第四版）北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組 編，王萼芳 石生明 修訂，高等教育出版社，2013年8月.