角動量守恒定律滿足力學(xué)相對性原理

李學(xué)生

【摘? 要】分析了經(jīng)典角動量守恒定律不具有伽利略變換的不變性，重新表述了角動量守恒定律，使其滿足力學(xué)相對性原理。

【關(guān)鍵詞】矢量法;角動量守恒定律;角動量定理;力學(xué)相對性原理

1.經(jīng)典角動量守恒定律不滿足伽利略變換

例1如圖，有一質(zhì)量為m的小球（視為質(zhì)點(diǎn)），在輕繩（忽略質(zhì)量）的牽制下，在光滑的地面上繞O點(diǎn)做勻速（速率為v）圓周運(yùn)動，如果忽略地面和空氣摩擦阻力，

問：小球在地面系和沿x 軸勻速運(yùn)動的小車（設(shè)小車的速度為u）坐標(biāo)系（O1-x1y1），角動量守恒定律是否都成立？

解析：地球質(zhì)量視為充分大，故穩(wěn)定地保持為慣性系。

（1）在地面系——設(shè)初相為0，v=ωR，x=Rcosωt，y= R sinωt;x'=-Rωsinωt，y'= Rωcosωt;

fx=m x"= -mRω2cosωt，fy=m y"= -mRω2sinωt。

=0，質(zhì)點(diǎn)對圓心的角動量大小為mR2ω，方向不變，角動量守恒定律成立。

（2）小車系。將運(yùn)動方程作伽利略變換，寫出小車系運(yùn)動方程：

x1=x-ut=Rcosωt-ut，y1= y=R sinωt;x'1= x'-u=-Rωsinωt-u，y'1= y'= Rωcosωt;

p=mv=（-mRωsinωt-mu，mRωcosωt，0），r=（ Rcosωt-ut，R sinωt，0），

fx=m x"= -mRω2cosωt，fy=m y"= -mRω2sinωt。

L1=r1p1=（0，0，mR2ω+umRsinωt-utmRωcosωt），L1'=（0，0，utmRω2sinωt），

M1= r1f=（0，0，utmRω2sinωt）。

根據(jù)上面的計(jì)算可以得出，角動量、合力矩不具有伽利略變換的不變性，經(jīng)典角動量守恒定律也不具有伽利略變換的不變性，即不滿足力學(xué)相對性原理，文獻(xiàn)[1～4]也說明了這個問題。伽利略相對性原理僅指經(jīng)典力學(xué)定律在任何慣性參考系中數(shù)學(xué)形式不變——所有慣性系都是等價(jià)（平權(quán)）的。因?yàn)榱W(xué)相對性原理要求所有的慣性系等價(jià)，同一個物理過程在靜止慣性參照系角動量守恒，在運(yùn)動慣性參照系角動量不守恒，這是力學(xué)相對性原理所不允許的。在同一個坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)即使受到有心力的作用，對某個作用點(diǎn)角動量守恒，對另一個作用點(diǎn)也可能不守恒，因?yàn)榇藭r(shí)合力矩不再為0，因此經(jīng)典角動量守恒定律也不具有普適性，需要進(jìn)行重新表述。

2.對于角動量守恒定律表述的重新思考

筆者認(rèn)為，作為力學(xué)定律（或者力學(xué)定理）必須具有普遍性，不具有協(xié)變性的命題不能稱之為力學(xué)定律（或者力學(xué)定理），不能等同于一般的真命題，對于某一個確定的物理過程，在一個慣性系成立，在另一個慣性系也必須成立（在這里所說的成立不僅包括命題的條件成立，結(jié)論也必須成立，即滿足協(xié)變性的要求）。經(jīng)典角動量守恒定律不能滿足這個要求，而且在很多情況下質(zhì)點(diǎn)受到的合力矩不等于0，因此有必要重新表述角動量守恒定律，使其滿足上述要求[5]。在創(chuàng)立狹義相對論時(shí)，愛因斯坦利用了洛侖茲變換的不變性，而在創(chuàng)立廣義相對論時(shí)，他把變換不變性提升為物理學(xué)的普遍原理，并從引力質(zhì)量與慣性質(zhì)量等同這一經(jīng)驗(yàn)事實(shí)出發(fā)，把某種變換不變性作為表示空間結(jié)構(gòu)四維性和對稱張量的引力方程的前提。洛倫茲說過：“愛因斯坦把方法倒了過來，他不是從已知的方程組出發(fā)去證明協(xié)變性是存在的，而是把協(xié)變性應(yīng)當(dāng)存在這一點(diǎn)作為假設(shè)提出來，并且用它演繹出方程組應(yīng)有的形式?！?/p>

把角動量定理兩邊同時(shí)積分可以得到角動量定理的積分形式——質(zhì)點(diǎn)對于某一點(diǎn)（或某軸）的角動量與該點(diǎn)受到的合力矩對于時(shí)間的積分之差不變，

即

該命題與角動量定理的微分形式是等價(jià)命題，具有伽利略變換的不變性，滿足力學(xué)相對性原理。

下面類比機(jī)械能中勢能概念我們引入角動量勢的概念——

定義：質(zhì)點(diǎn)對于某一點(diǎn)（或某軸）受到的合力矩對于時(shí)間積分稱之為角動量勢，

記為

角動量守恒定律——對于任何參照系，質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動過程中對于某一點(diǎn)（或某軸）的角動量與角動量勢之差不變，L（t）- N（t）= L（t0）=const。

這樣表述角動量守恒定律與角動量定理積分形式比較，只是改變了一個物理量的名稱，所以對于所有慣性系都成立，是經(jīng)典角動量守恒定律的一個推廣。對于非慣性系只要引入慣性力矩，推廣后的角動量守恒定律依然成立，符合愛因斯坦的思想——物理規(guī)律對于所有的觀察者都相同。

類似地，動量守恒定律表述為——對于任何參照系，一個系統(tǒng)的動量與合外力沖量差是一個常數(shù)。動量類比上面的角動量，合外力沖量類比角動量勢。

文獻(xiàn)[6]證明了動量定理對于所有參照系都協(xié)變，動量守恒定律對于所有慣性系守恒條件協(xié)變，對于非慣性系不協(xié)變;角動量守恒定律對于慣性系也不協(xié)變。重新表述角動量守恒定律、動量守恒定律后分別是角動量定理、動量定理的等價(jià)形式，自然符合相對性原理的要求。

在機(jī)械能方面，保守力作用下系統(tǒng)的拉格朗日量定義為動能與勢能之差：，與此類似。在均勻時(shí)空下，體系的拉氏函數(shù)就反映了體系運(yùn)動的能量。于是，我們可以這樣理解：當(dāng)一個體系處于外場中，設(shè)法消除外場的影響，使之處于局部均勻的時(shí)空時(shí)，體系所具有的運(yùn)動能量就是拉格朗日函數(shù)。類似地，當(dāng)一個體系處于外場中，設(shè)法消除外場的影響，使之處于局部均勻時(shí)空時(shí)，體系所具有的運(yùn)動動量就是系統(tǒng)的動量與合外力沖量之差;體系所具有的運(yùn)動旋轉(zhuǎn)量就是系統(tǒng)的角動量與角動量勢之差。

牛頓講：“大自然總是喜歡變化與快樂?！弊兓豢赡苤挥幸粋€物理量發(fā)生變化，在變化過程中幾個物理量之間以某種關(guān)系保持守恒，在變化過程中找尋不變量應(yīng)當(dāng)是物理學(xué)的重要任務(wù)之一。在物理學(xué)中，發(fā)現(xiàn)任何一個能概括許多現(xiàn)象的守恒量都是令人欣喜的事。趙凱華認(rèn)為：“研究一個規(guī)律的表述所具有的對稱性，并設(shè)法消除某種不對稱因素，從而使其規(guī)律的表述具有更多的對稱性，這無疑是有重要意義的。因?yàn)樗粌H滿足人類對于美（對稱，和諧）的心理追求，而且更重要的是使表述的規(guī)律具有更大的普遍性。

朗道的力學(xué)中說：“如果系統(tǒng)整體相對參考系K′靜止，則V是系統(tǒng)質(zhì)心的速度，而μV是系統(tǒng)相對于參考系K的總動量P，進(jìn)而有M=M+R×P。就是說，力學(xué)系統(tǒng)的角動量是由其相對靜止的參考系中的“內(nèi)稟角動量”和整體運(yùn)動的角動量R×P構(gòu)成。筆者認(rèn)為朗道所指的整體運(yùn)動的角動量就是角動量勢，在這里多出一個物理量——角動量勢，類似于在某參考系觀察一個靜止電荷，它只激發(fā)靜電場，只需用標(biāo)勢ψ描述，但是變換到另一參考系時(shí)，電荷是運(yùn)動的，除了電場之外還有磁場，必須用A和ψ描述。在上面勻速圓周運(yùn)動的實(shí)例中，對于小車系而言mR2ω是內(nèi)稟角動量，整體運(yùn)動的角動量——角動量勢umRsinωt-utmRωcosωt，角動量為mR2ω+umRsinωt-utmRωcosωt，角動量與角動量勢之差為mR2ω，這個守恒量是對于所有的參照系相同，只與參考點(diǎn)的選擇有關(guān)。

在上面的命題中，當(dāng)合力矩也等于0時(shí)，便是經(jīng)典角動量守恒定律，符合對應(yīng)原理要求，即經(jīng)典角動量守恒定律是上述命題的一個特例，經(jīng)典角動量守恒定律在運(yùn)動系需要增加一個物理量——角動量勢，對于固有參照系這一項(xiàng)正好為0。在地球繞日運(yùn)動的橢圓軌道中，以太陽為參照系角動量守恒，以相對于太陽勻速運(yùn)動的參照系看來角動量不守恒，但是角動量與角動量勢之差守恒。容易驗(yàn)證在上面的勻速圓周運(yùn)動中，考察上述命題顯然滿足伽利略變換的不變性。假設(shè)把單擺固定在地面上，在地面上有一輛勻速運(yùn)動的小車，在小車系看來擺錘的角動量不守恒，但是角動量與角動量勢之差守恒。角動量守恒定律不但與參考系無關(guān)（對于非慣性系考慮慣性力力矩即可），而且與參考點(diǎn)無關(guān)。本文驗(yàn)證了相對性原理和單獨(dú)的協(xié)變性是一回事，文獻(xiàn)[7～11]的觀點(diǎn)是完全錯誤的。

3.力學(xué)中三大守恒定律的比較

動量守恒定律、角動量守恒定律與機(jī)械能守恒定律之間的類比——動量、角動量類似于動能，沖量、角動量勢類似于勢能。動能和勢能可以變化，但是機(jī)械能不變;同理對于不同的參照系，動量和沖量可以相互轉(zhuǎn)化，角動量和角動量勢可以變化，但是它們的差不變。區(qū)別：對于不同的參照系，機(jī)械能的守恒量不相同，但是動量和沖量只差保持不變。同理角動量與角動量勢之差的守恒量不變，因?yàn)樗枋龅氖琴|(zhì)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)特性，對于不同的慣性系，旋轉(zhuǎn)特性相同，該旋轉(zhuǎn)量對于不同的慣性系都成立，所以在狹義相對論框架內(nèi)角動量守恒定律也是成立的。三大守恒定律表述形式既相似也有別，這是對稱的絕對性和相對性的表現(xiàn)形式。地球圍繞太陽公轉(zhuǎn)，以太陽為參考點(diǎn)，地球看做質(zhì)點(diǎn)的話，受到的合力矩為0，可是事實(shí)上地球并不是質(zhì)點(diǎn)，其內(nèi)部存在著其他力，因此地球的公轉(zhuǎn)的角動量應(yīng)該稍微減少，不過日—地軌道角動量是十分巨大的，相比之下地球的自轉(zhuǎn)角動量十分渺小，不容易觀察而已。對稱性原理在上述研究工作中起著重大作用，它能使我們從事物之間的聯(lián)系上考慮問題，從而使我們迅速抓住問題的實(shí)質(zhì)?！?/p>

在牛頓力學(xué)理論中，質(zhì)點(diǎn)的動量和能量是兩個彼此獨(dú)立的物理量，動量守恒定律、能量守恒定律是兩個彼此獨(dú)立的定律;可是在狹義相對論中，質(zhì)點(diǎn)的動量和能量緊密結(jié)合成四維動量，因而動量守恒定律、能量守恒定律合并成能量—動量守恒定律，亦即四維動量守恒定律。牛頓力學(xué)理論中容許超距力（在彈簧振子和單擺問題中彈力雖然是接觸力，但是由于力源不是研究對象，仍然按超距力處理），須引入勢能，可是在狹義相對論中，不存在超距力，只有接觸作用，不需引入勢能。狹義相對論的能量—動量守恒定律特別適用于研究基本粒子之間，包括湮滅、創(chuàng)生等現(xiàn)象在內(nèi)的反應(yīng)，而牛頓力學(xué)理論的動量守恒定律、能量守恒定律與質(zhì)量守恒定律無法研究這些反應(yīng)。類似地，在狹義相對論中無需引入沖量和角動量勢的概念，因此牛頓力學(xué)中的動量守恒定律、角動量守恒定律與狹義相對論中動量守恒定律、角動量守恒定律的表述有一定的區(qū)別。愛因斯坦講：“物理學(xué)構(gòu)成一種處在不斷進(jìn)化過程中的思想邏輯體系?！?/p>

參考文獻(xiàn)

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