求曲線的軌跡與曲線的軌跡方程的常用方法初探

郭遠(yuǎn)明

求曲線的軌跡與軌跡方程是解析幾何中最基本、最重要的問(wèn)題之一，是用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的基礎(chǔ).這類題目把基本知識(shí)、方法技巧融為一體，充分考查了學(xué)生的邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，因而也是歷年高考所要考查的重要內(nèi)容之一.

本文介紹求軌跡與軌跡方程的主要五種方法 ：直、待、代、參、交

1.直譯法：直接把動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件或等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為x，y的方程關(guān)系，再化簡(jiǎn)，即可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

例1：已知點(diǎn) ， ，動(dòng)點(diǎn) 滿足 ，則點(diǎn) 的軌跡為（ ??）

A. 直線 ???B. 圓 ???C. 橢圓 ???D. 雙曲線

分析：根據(jù)題設(shè)的等量關(guān)系，直接列出x，y的方程，再化簡(jiǎn)，即可得.

解：設(shè)點(diǎn) ??，則 ，化簡(jiǎn)可得 ，所以點(diǎn) 的軌跡是半徑為4的圓，選B .

變式題1：已知 ，動(dòng)點(diǎn) 滿足 ，求證：點(diǎn) 的軌跡為圓

分析：本題沒有給出坐標(biāo)系，應(yīng)先建系，再設(shè)點(diǎn)，列等式，后化簡(jiǎn)，即可得.

2.待定系數(shù)法：通過(guò)對(duì)已知條件的分析，發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)滿足某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、 拋物線等）的定義，然后設(shè)出曲線相對(duì)應(yīng)的方程，求出其中待定的系數(shù)，從而得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.解題時(shí)要善于抓住曲線的幾何特征.

例2：已知點(diǎn) ，直線 ，點(diǎn) 是直線 上的動(dòng)點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn) 垂直于 軸的直線與線段 的垂直平分線交于點(diǎn) ，求點(diǎn) 的軌跡方程.

解析：由題意可得 ，故點(diǎn) 的軌跡是以 為焦點(diǎn)、直線 為準(zhǔn)線的拋物線.設(shè)所求方程為： ，依題可得： ，所以點(diǎn) 的軌跡方程為： .小結(jié)：根據(jù)題意，點(diǎn) 的軌跡符合拋物線的定義，于是用待定系數(shù)法求其軌跡方程.

3.相關(guān)點(diǎn)代入法：如果點(diǎn) 的運(yùn)動(dòng)是由于點(diǎn) 的運(yùn)動(dòng)引起的，可以先用點(diǎn) 的坐標(biāo)表示點(diǎn) 的坐標(biāo)，然后代入點(diǎn) 所滿足的方程，即得動(dòng)點(diǎn) 的軌跡方程.

例3.已知 是拋物線 的焦點(diǎn)， ?是該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求線段 中點(diǎn) 的軌跡方程

解析：點(diǎn) 因 動(dòng)而動(dòng)， 是 的相關(guān)點(diǎn)，于是設(shè) ， ，依題可得： ?，

，所以 ， ，又點(diǎn) 在拋物線 上，所以有 ，化簡(jiǎn)可得： ，即為點(diǎn) 的軌跡方程.

4. 參數(shù)法：如果軌跡上的動(dòng)點(diǎn) 的坐標(biāo)之間的關(guān)系不易找到，也沒有相關(guān)的點(diǎn)可用時(shí)，而動(dòng)點(diǎn) 的運(yùn)動(dòng)是由于某個(gè)參數(shù)的變化引起的，可以選參、設(shè)參為 ，然后用這個(gè)參數(shù)表示動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，即 ， 再消去參數(shù) ，從而得動(dòng)點(diǎn) 的軌跡方程. .

例4. ?已知 ， 分別在 軸和 軸上運(yùn)動(dòng)， ?為原點(diǎn)， ?，求點(diǎn) 的軌跡方程.

解析：引入?yún)?shù) 表示點(diǎn) 的坐標(biāo)，利用 ，可得 ，再利用向量的等式關(guān)系，用 表示 有： ，代入化簡(jiǎn)，即可得點(diǎn) 的軌跡方程為： ，小結(jié)：用參數(shù)法求解時(shí)，選定參變量，再消參，化為普通方程.

5.交軌法：在求動(dòng)點(diǎn)的軌跡時(shí)，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)要求兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，這種問(wèn)題通常先列出兩曲線的方程（含參數(shù)），再消去參數(shù)，即可得所求的軌跡方程，該法常與參數(shù)法并用.

例5. ?已知點(diǎn) 在圓 上，且 垂直于 軸， ，求直線 交點(diǎn) 的軌跡方程

解析：引入直線 的斜率 作為參數(shù)，分別寫出直線 的方程，再消去參數(shù) ，可得.

顯然直線 的斜率存在，設(shè)直線 的方程為： ， ，又直線 互相垂直，直線 關(guān)于 軸對(duì)稱，所以直線 的方程為： ，消去參數(shù) ， 可得 ?，即點(diǎn) 的軌跡方程.

求曲線的軌跡與軌跡方程的主要方法有直譯法、定義法、待定系數(shù)法、相關(guān)點(diǎn)代入法、參數(shù)法等，此外還有幾何法等，在處理軌跡問(wèn)題時(shí)， 要特別注意題目中所表達(dá)的幾何性質(zhì)，再運(yùn)用平面幾何知識(shí)， 起到簡(jiǎn)化作用. 在解題時(shí)，要根據(jù)題目的特點(diǎn)，合理選用恰當(dāng)?shù)姆椒?