國外工程中抵償高程面確定方法的研究

喻守剛，李志鵬，余青容，鄧慶海

(1.長江空間信息技術(shù)工程有限公司(武漢)，湖北 武漢 430011；2.長江航道規(guī)劃設(shè)計(jì)研究院，湖北 武漢 430040)

1 引 言

隨著國家綜合實(shí)力和科技水平的提高，越來越多的企業(yè)走出國門，承接國外工程項(xiàng)目。然而，國外很多國家，特別是中美洲、非洲等國家地圖投影采用的是UTM投影，而我國工程項(xiàng)目多采用高斯投影，這兩種投影雖然都屬于等角投影方式，但投影后同一地方的長度變形差異還是較大，而考慮到工程施工的需要，測區(qū)范圍內(nèi)長度投影變形須按《工程測量規(guī)范》要求控制在 2.5 cm/km內(nèi)，這就需要我們對測區(qū)進(jìn)行投影變形計(jì)算分析，選擇合適抵償投影面，從而將測區(qū)投影變形的最大值控制在最小[1]。目前，國內(nèi)對高斯投影抵償面進(jìn)行了較多研究和分析，也有單獨(dú)對UTM投影變形和抵償分析的研究[2，3]，但很少有將UTM抵償投影面和高斯抵償投影面進(jìn)行關(guān)系推導(dǎo)和比較分析的研究。

2 高斯投影與UTM投影

高斯投影是由德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家高斯于19世紀(jì)20年代設(shè)計(jì)，后經(jīng)德國大地測量學(xué)家克呂格補(bǔ)充完善，它是一種橫軸等角切橢圓柱投影。見圖1(a)，該投影假設(shè)某一橢圓柱體橫切地球橢球體于某一條經(jīng)線上，按照等角投影方法將中央經(jīng)線東、西各3°或1.5°經(jīng)線范圍內(nèi)的經(jīng)緯線投影到橢圓柱面上，然后將橢圓柱面展開成平面而成。高斯投影中，中央子午線投影后長度沒有變形，其余經(jīng)線距中央子午線愈遠(yuǎn)，長度變形愈大且變形比均大于1。我國各種大、中比例尺地形圖采用了不同的高斯投影帶。其中大于1∶1萬的地形圖采用3度帶；1∶2.5萬至 1∶50萬的地形圖采用6度帶。

UTM(Universal Transverse Mercator)全稱為通用橫軸墨卡托投影，它屬于橫軸等角割橢圓柱投影，如圖1(b)所示，它和高斯投影一樣屬于正形投影，橢圓柱割地球于南緯80°至北緯84°之間，投影后中央子午線長度比不再是1，而是 0.999 6，兩條割線(在赤道上，距離中央子午線約 ±180 km(約±1°40′))投影后沒有變形，這樣就顯著地減少了投影帶邊緣區(qū)域的長度變形，尤其在低緯度地區(qū)這種效果更為明顯，因此世界上很多低緯度國家和地區(qū)都采用UTM投影。UTM平面直角系與高斯投影相同，且兩者投影坐標(biāo)有一個(gè)簡單的比例關(guān)系，因此也是稱它為m0=0.999 6的高斯投影[4]。

圖1兩種投影方式示意圖

3 理論基礎(chǔ)

3.1 高斯抵償投影面的建立

如圖2所示，AB的長度為S，利用三角形相似等比原理，可以獲得測距邊基線歸算到橢球面改正公式[4]。

圖2 參考橢球面示意圖

(1)

式中，Hm為測距邊高出參考橢球面的平均高程。

將參考橢球面上某一點(diǎn)(x，y)投影到高斯平面上，可以獲得該點(diǎn)的長度比為：

(2)

假設(shè)該點(diǎn)上有長度為S的邊長，那么該邊長投影后的長度為：

(3)

式中：ym為測距邊兩端點(diǎn)橫坐標(biāo)平均值，△y為測距邊兩端點(diǎn)橫坐標(biāo)之差，Rm為參考橢球面上測距邊中點(diǎn)的平均曲率半徑。

將參考橢球面上的大地邊長S歸算到高斯投影面，邊長長度變形為：

將式(1)和式(2)組合，忽略微小項(xiàng)變形后，可以得到測距邊投影到高斯平面的總變形為：

(4)

從式(1)和式(2)可以看出△S1為負(fù)，△S2恒為正，可以抵消一部分。

由式(4)可知，△S由測距邊平均高程Hm、測距邊到中央子午線距離ym決定，在實(shí)際工程項(xiàng)目中，為保證設(shè)計(jì)施工前后資料的一致性，通常要求測區(qū)中央子午線保持不變，因此ym值基本也不會(huì)發(fā)生變化，為抵償測距邊的長度變形，只能采取改變投影面高程的方式。

假設(shè)測區(qū)范圍內(nèi)有一點(diǎn)ya，若選取平均高程面為抵償投影面，那么△S1就為0。為了使該點(diǎn)投影變形△S完全為0，那么抵償投影面就應(yīng)低于平均高程面。此時(shí)，假設(shè)選取的抵償投影面為HP，那么可以將式(1)改寫為：

(5)

將式(4)代入式(3)中，可以得到投影到抵償面的變形公式為：

(6)

當(dāng)△S=0時(shí)，可以得到抵償高程面的計(jì)算公式[5]：

(7)

3.2 UTM 抵償投影面的建立

根據(jù)等比投影的性質(zhì)，UTM投影長度比和高斯投影長度比有如下關(guān)系：

mUTM=0.9996m高斯

(8)

由于UTM投影和高斯投影具有相同的投影性質(zhì)，將式(8)代入到式(3)中，可以得到參考橢球面邊長歸算到UTM投影面，長度變形為[6]：

(9)

由式(8)和式(9)可知，實(shí)測水平距離歸算到UTM投影面的長度總變形△S為：

(10)

進(jìn)行抵償投影時(shí)，△S=0，可以得到UTM抵償投影面：

(11)

當(dāng)對同一個(gè)測距邊既進(jìn)行高斯投影又進(jìn)行UTM投影時(shí)，測距邊的平面高程Hm，距離中央子午線的平面距離ym，坐標(biāo)差值△y均相同，所以，由式(7)和式(11)可以得到：

HP(UTM)=0.0004R+HP(高斯)

(12)

將地球半徑平均值R=6371km代入式(12)中，得到：

HP(UTM)=2548.4+HP(高斯)

(13)

所以，對同一測距邊來說，進(jìn)行抵償高程面投影時(shí)，UTM抵償投影面比高斯抵償投影面高 2 548.4 m。

4 抵償投影面適用范圍分析

由于UTM投影坐標(biāo)系長度變形為0的地方在距離中央子午線 180 km左右，因此UTM投影通常適合較大范圍的投影，UTM坐標(biāo)系在國際坐標(biāo)系分帶中也只有6度分帶，而高斯投影中央子午線長度變形為0，投影分帶一般有6度分帶和3度分帶兩種，為了準(zhǔn)確分析兩種抵償坐標(biāo)系在投影帶不同區(qū)域之間抵償高程面的關(guān)系，這里選用6度帶進(jìn)行分析。

在工程測量中，測距邊長一般都是幾千米，最長也不過十幾千米。為方便分析計(jì)算，△y取測距邊最大坐標(biāo)差值 15 km，Rm取地球平均半徑R，此時(shí)抵償投影面高程式(7)、式(11)可以簡化為：

(14)

(15)

在實(shí)際工程中，為方便施工放樣等測量作業(yè)，通常要求設(shè)置抵償高程面不能與測區(qū)平均高程相差太大，這里將ABS(HP-Hm)≤200 m內(nèi)，可以得到高斯投影抵償高程面的范圍為-50.7 km≤ym(高斯)≤50.7 km，UTM投影抵償高程面的范圍為 -187.1 km≤ym(UTM)≤-172.9 km和172.9 km≤ym(UTM)≤187.1 km。

圖3 6度帶范圍內(nèi)抵償高程面與Y軸距離關(guān)系

從圖3中可以看出，UTM抵償投影面的適用范圍分為兩部分，并且這兩部分分別和距離中央子午線為 ±180 km的經(jīng)線呈對稱分布，每部分適用范圍只有 14.2 km，而高斯投影適用范圍和中央子午線呈對稱分布，兩部分完全相連一起，總范圍為 101.4 km。UTM抵償高程投影只能適合距離中央子午線為 180 km的小范圍工程項(xiàng)目，而距離中央子午線較近的大范圍工程項(xiàng)目選擇高斯抵償投影較為合適[7，8]。

5 工程實(shí)例

Zenzo水電站位于安哥拉境內(nèi)北寬扎省和南寬扎省交界處的寬扎(Cuanza)河上，是寬扎河中段規(guī)劃的7個(gè)梯級電站中的第4級，大壩設(shè)計(jì)裝機(jī)容量為 950 MW，最大壩高 115 m，壩軸線長度 1 000 m，壩頂高程 421 m，為安哥拉國內(nèi)最大水電站之一。Zenzo水電站測區(qū)范圍為東經(jīng)14°44′～14°49′，南緯9°41′～9°46′，為長寬各約 8 km～9 km的多邊形區(qū)域。為滿足設(shè)計(jì)和施工的精度要求(2.5 cm/km)，需要在測區(qū)范圍內(nèi)建立抵償坐標(biāo)系減少投影變形，同時(shí)為保證和前期勘測設(shè)計(jì)資料的一致性，抵償坐標(biāo)系的中央子午線須保持東經(jīng)15°不變。如圖4所示，在測區(qū)內(nèi)建有D級GPS網(wǎng)，最大邊長約 8.5 km，測區(qū)內(nèi)平均高程為 346 m。

圖4 測區(qū)控制網(wǎng)布置圖

(1)方案一高斯投影

由式(4)可以計(jì)算出，當(dāng)采用全站儀進(jìn)行施工測量放樣時(shí)，測距邊抵償前的投影變形量最大為：

該長度變形明顯不滿足邊長變形小于 2.5 cm/km的要求，因此需要選擇抵償高程面進(jìn)行抵償投影，按照投影變形最大值為零的原則進(jìn)行抵償投影，由公式(7)可以得到抵償高程面為：

HP(高斯)=346-41=305 m

要滿足長度變形小于2.5 cm/km時(shí)，抵償高程面需滿足145.7 m

(2)方案二UTM投影

HP(UTM)=2548.4+305=2853.4 m

要滿足長度變形小于2.5 cm/km時(shí)，抵償高程面需滿足2 694.1 m

從該水利工程不同投影方式下抵償高程面的計(jì)算可以看出，選用UTM投影時(shí)，抵償高程面為 2 853.4 m與測區(qū)的平均高程 346 m差距較大，而選用高斯投影時(shí)抵償投影面為 305 m，與測區(qū)平面高程較為相近。綜上考慮，在不限制投影方式時(shí)，該工程選擇高斯投影建立抵償坐標(biāo)系較為合適。

6 結(jié) 語

高斯投影和UTM投影是兩種常見的不同投影，當(dāng)采用兩種不同投影方式建立抵償坐標(biāo)系時(shí)，由于中央子午線比例因子的差異，抵償高程面存在明顯差異，本文通過理論推導(dǎo)得出UTM抵償投影面比高斯抵償投影面高 2 548.4 m。由于這個(gè)差異，在建立抵償投影面時(shí)，兩者的適用范圍完全不同，當(dāng)測區(qū)距離中央子午線距離在 ±50.7 km以內(nèi)時(shí)，選用高斯投影建立的抵償高程面與測區(qū)平均高程在 200 m內(nèi)，當(dāng)測區(qū)距離中央子午線為 -187.1 km～-172.9 km和172.9 km～187.1 km時(shí)，選用UTM投影方式較為合適。本文中抵償高程面建立方法不僅可以應(yīng)用于水利工程，還可以拓展到其他小范圍的工程項(xiàng)目。