仿射型映射的分解

馮小高，金建軍

（1.西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充 637009；2.合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 宣城 242000）

0 引言

我們先回憶一些基本的定義（見文獻［1-2］）。假設(shè)Ω和Ω′為復(fù)平面 C內(nèi)兩個有界區(qū)域，f：Ω→Ω′為保向同胚映射。

則稱f具有有限偏差。其中

為線性微分映射Df的算子范數(shù)，而

為Jacobi行列式。滿足不等式（1）最小的K（z）稱為 f的線性偏差函數(shù)，記為K（z，f）。

定義2（見文獻［3］）若不等式（1）中 K（z）有界，f（z）稱為擬共形映射。特別地，若K（z）≤K（K≥1），稱 f（z）為 K-擬共形映射。

定義3 假設(shè)f：Ω→ C的同胚，且對任意的z1，z2∈Ω，滿足：

則稱 f（z）為 L-雙邊 Lipschitz映射。滿足（4）式最小的 L≥1稱為 f（z）的等距偏差。

旋轉(zhuǎn)問題在函數(shù)理論中有深刻的研究，并且在幾何和動力系統(tǒng)中廣泛的應(yīng)用。它們與非線性理論有著密切的關(guān)系。在文獻［4］中，John證明了：

定理1 （見文獻［4］） 假設(shè) f：C → C為1+ε-雙邊Lipschitz映射，對0＜a＜b，f（z）滿足：當(dāng)z＞b時，f（z）＝z；當(dāng)z＜a時，f（z）＝zeiθ，則

（5）式中角的估計主要根據(jù)平面內(nèi)1+ε-雙邊 Lipschitz映射的穩(wěn)定性定理（見文獻［4］）得到。BMO理論（見文獻［5］）也對（5）式的證明起到了重要的作用。Gutlyanskii和 Martio（見文獻［6］和［7］）證明了擬共形映射（雙邊Lipschitz映射更一般）對（5）式同樣成立。他們借助擬共形映射的性質(zhì)和等距偏差系數(shù)給出了旋轉(zhuǎn)角的精確的積分估計。

最近，我們?yōu)榱私o出Balogh-F?ssler-Platis（見文獻［8］）的結(jié)果一個快速證明，考慮了一個新的 Gr?tzsch型極值問題（見文獻［9］）。具體地，對實數(shù)l＞0和k，令

考慮集合?，?為Q1上具有有限偏差的保向同胚f，并且f在邊界滿足：f（0）＝0和

?中有一特殊的映射為

我們稱此映射為仿射型映射。從對John旋轉(zhuǎn)角度的估計證明（見文獻［9］）中注意到映射f*中的k與旋轉(zhuǎn)角有密切的關(guān)系，所以這里對k進行估計。在文獻［9］中，我們得到：

定理2（見文［9］） 假設(shè)φ為［1，+∞）上的正的，不減的凸函數(shù)。則對任意的同胚 f∈?，不等式

成立。

1 主要結(jié)果及其證明

在此部分，我們給出了仿射型映射斜率的精確積分估計，同時將仿射型映射分解為具有等距偏差的同胚。

1.1 仿射型映射斜率的估計

借助定理2，我們得到了本文的第一個主要結(jié)果：

定理3 假設(shè)f∈?，則

（9）式的估計是精確的，映射（7）取到等式。

證明：由（7）知道：

和

那么由（10）和（11）可得：

取 φ（t）＝t，那么根據(jù)（12）式與定理 2中的（8）式可以得到（9）式。

根據(jù)（9）式，可以得到下面推論：

推論1 假設(shè)f∈?為Q1上的L-雙邊 Lipschitz映射，并且f在邊界滿足：f（0）＝0和

則：

（13）式的估計是精確的，映射（7）取到等式。

證明：令

由不等式（9）可得

那么

又因為 f為L-雙邊Lipschitz映射，那么f也為L2-擬共形映射，即得到

那么結(jié)合（16）式可得（13）式。

1.2 仿射型映射的分解

我們知道在一維情形下，區(qū)間上的L-雙邊Lipschitz映射可以分解為具有更小的等距偏差α的同胚映射的復(fù)合。但是對于n≥2時對應(yīng)的結(jié)果不得而知。Freedman和He（見文獻［10］）研究了對數(shù)螺旋映射得到：當(dāng)時，L-雙邊Lipschitz映射可以分解為具有更小的等距偏差α的同胚映射的復(fù)合。在文獻［7］和［2］中，也研究了對應(yīng)的問題。

在這里，我們研究仿射型映射的分解問題。假設(shè)k（x）為區(qū)間［0，1］上的局部絕對連續(xù)的實函數(shù)，且

定義映射 f：Q1→ C 為

下面我們要證明f事實上為雙邊Lipschitz映射。

引理1 映射（18）f（z）為 Q1上的 α-雙邊 Lipschitz映射。

證明：由于 f（z）＝x+i k（x）+i y，直接計算得

和

那么由（19）和（20）得

和

根據(jù)（17）、（21）和（22）式知

和

故可以知道 f（z）為 α-雙邊 Lipschitz映射。記形如（18）式映射的集合為?。下面的定理為分解定理得一個補充。

定理4 假設(shè)f*分解為

其中 f*∈ ?。則如果是正整數(shù)，那么

證明：假設(shè)f*＝fN?…?f1，其中fj為（18）式定義的映射，且對每個j都存在kj滿足（17）式。那么可得

對（26）式兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，根據(jù)（17）式知道

從而得到