橢圓的“第三定義”
——從課本上一道例題談起

■河南師范大學(xué)附屬中學(xué)

人教版教科書(shū)高中《數(shù)學(xué)》選修2-1第41頁(yè)有這樣一道例題:如圖1,設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(-5,0),(5,0)。直線AM,BM相交于點(diǎn)M,且它們的斜率之積是,求點(diǎn)M的軌跡方程。

圖1

對(duì)此例題推廣到一般情況:設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(-a,0),(a,0)。若直線AM,BM相交于點(diǎn)M,且它們的斜率之積是-(a＞0,b＞0),求點(diǎn)M的軌跡方程。

橢圓的 “第三定義”:平面內(nèi)與兩個(gè)頂點(diǎn)連線的斜率之積為絕對(duì)值不為1的負(fù)實(shí)數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓。

根據(jù)橢圓的“第三定義”以及上面的證明過(guò)程我們不難得出:

不難發(fā)現(xiàn)結(jié)論1中線段AB是橢圓的長(zhǎng)軸,是橢圓的一條特殊的直徑(過(guò)橢圓中心的弦叫作橢圓的直徑),對(duì)于橢圓一般的直徑來(lái)說(shuō),同樣的結(jié)論能否成立呢?

于是我們得到:

結(jié)論2中,顯然O為直徑DE的中點(diǎn),于是在三角形CDE中就很容易想到構(gòu)造三角形的中位線,如圖3,設(shè)M為橢圓的弦CD的中點(diǎn),則OM∥CE,當(dāng)直線CD不垂直于坐標(biāo)軸時(shí),顯然kOM=kCE,根據(jù)結(jié)論2我們不難得出橢圓中點(diǎn)弦的一條重要性質(zhì):

圖2

圖3

數(shù)學(xué)中很多知識(shí)是相互關(guān)聯(lián)的,也是有規(guī)律可循的,多掌握一些有邏輯聯(lián)系的數(shù)學(xué)結(jié)論,對(duì)我們數(shù)學(xué)解題是大有裨益的。下面針對(duì)本文介紹的結(jié)論,給出一些具體的題目供大家練習(xí)。

針對(duì)練習(xí):

參考答案與提示:

同理可證,點(diǎn)P位于橢圓的下頂點(diǎn)時(shí)∠APB最大。