一題攻克解析幾何綜合問(wèn)題之弦長(zhǎng)

■北京市順義區(qū)第一中學(xué)

每次談及高考數(shù)學(xué),大家似乎都有同感:高中數(shù)學(xué)難,而解析幾何又是難中之難。其實(shí)只要我們平時(shí)注意多思考、多積累、多歸納,就會(huì)發(fā)現(xiàn)高考題中的解析幾何題型穩(wěn)定,是有規(guī)律可循的。只要認(rèn)真分析就能夠找到解題的方法和規(guī)律,完全可以讓高考數(shù)學(xué)中的解析幾何題,變成讓同學(xué)們很有信心的得分題目。

解析幾何中的弦長(zhǎng)問(wèn)題一般涉及證明題、定值問(wèn)題、面積問(wèn)題等,是一類考得最多的解析幾何題。下面我們就圓錐曲線中的弦長(zhǎng)問(wèn)題,做深入研究和探討。

(Ⅰ)求橢圓C的方程。

(Ⅱ)如圖1,設(shè)直線y=x與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),斜率為k的直線l與橢圓交于M,N兩點(diǎn),與直線y=x交于點(diǎn)P(點(diǎn)P與點(diǎn)A,B,M,N不重合)。

(i)當(dāng)k=-1時(shí),證明:|PA||PB|=|PM||PN|。

圖1

所以|PA||PB|=|PM||PN|。

點(diǎn)評(píng):求出A、B、P點(diǎn)坐標(biāo),代入兩點(diǎn)間距離公式直接計(jì)算長(zhǎng)度之積

點(diǎn)評(píng):本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,以及向量與幾何結(jié)合的一些幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力。利用法二來(lái)做第一問(wèn)會(huì)大大減少運(yùn)算量,明顯提高準(zhǔn)確率。對(duì)弦長(zhǎng)公式的熟練掌握是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)。

同時(shí),要善于用長(zhǎng)度和夾角已知的線段表示未知線段,以達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的。

(1)求橢圓W的方程。

(2)過(guò)點(diǎn)A作直線AQ交橢圓W于另一點(diǎn)Q,交y軸于點(diǎn)R。P為橢圓W上一點(diǎn),且OP∥AQ,直線OP的斜率為k。求證:為定值。

點(diǎn)評(píng):通過(guò)本練習(xí)題我們可以學(xué)到兩點(diǎn):①在直角三角形中長(zhǎng)度比與坐標(biāo)比的轉(zhuǎn)化關(guān)系。②直線與橢圓相交時(shí),已知其中一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo),利用韋達(dá)定理求另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)(這一技巧會(huì)經(jīng)常在高考中應(yīng)用)。

縱觀近幾年高考題,我們會(huì)發(fā)現(xiàn)解析幾何試題的難度,相比前些年下降了不少,選擇題、填空題均屬中檔題,且解答題不再處于壓軸題的位置,計(jì)算量在減少,但同時(shí)要看到思維量還保持著原來(lái)的層次和要求,同時(shí)加大了與相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系(如向量、函數(shù)、方程等),凸現(xiàn)了教材中研究性學(xué)習(xí)的能力要求。我們有理由相信自己,只要經(jīng)過(guò)努力,一定會(huì)攻克解析幾何這一難關(guān)的!