采用奇異攝動(dòng)裕度的三回路自動(dòng)駕駛儀設(shè)計(jì)

張恒浩

(中國運(yùn)載火箭技術(shù)研究院 研究發(fā)展中心, 北京 100076)

0 引言

三回路自動(dòng)駕駛儀設(shè)計(jì)是飛行器控制的重要研究內(nèi)容[1-2]。傳統(tǒng)三回路自動(dòng)駕駛儀可以通過設(shè)計(jì)系統(tǒng)阻尼參數(shù)和時(shí)間常數(shù)，并調(diào)節(jié)開環(huán)穿越頻率實(shí)現(xiàn)對飛行器控制的快速穩(wěn)定要求[3-9]。但是現(xiàn)階段高性能飛行器設(shè)計(jì)中，要求機(jī)動(dòng)性能和穩(wěn)定控制性能達(dá)到最優(yōu)匹配[10]，導(dǎo)致飛行器各通道之間產(chǎn)生更高的耦合關(guān)系。傳統(tǒng)三回路自動(dòng)駕駛儀在工程應(yīng)用中存在對飛行器開環(huán)穿越頻率約束不足的缺點(diǎn)，同時(shí)工作時(shí)無法直接衡量評價(jià)飛行器控制系統(tǒng)的魯棒性能[11-12]。

針對上述缺點(diǎn)，本文提出一種使用奇異攝動(dòng)裕度的三回路自動(dòng)駕駛儀設(shè)計(jì)方法。該方法將奇異攝動(dòng)裕度引入三回路駕駛儀設(shè)計(jì)中，將奇異攝動(dòng)裕度作為一種時(shí)域指標(biāo)[13]，通過計(jì)算得到的具體穩(wěn)定裕度數(shù)值反映飛行器控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性能。同時(shí)該方法又對自動(dòng)駕駛儀進(jìn)行開環(huán)穿越的極點(diǎn)進(jìn)行設(shè)計(jì)并完成預(yù)測校正，以有效地控制系統(tǒng)的開環(huán)穿越頻率，使自動(dòng)駕駛儀不再依賴閉環(huán)控制系統(tǒng)的自振蕩頻率。最后通過試驗(yàn)分析可知，本文提出的使用奇異攝動(dòng)裕度的三回路自動(dòng)駕駛儀方法克服了傳統(tǒng)自動(dòng)駕駛儀在工程應(yīng)用上的缺點(diǎn)，能夠?qū)︼w行過程中飛行器產(chǎn)生的干擾進(jìn)行快速有效控制，并通過計(jì)算得到具體的奇異攝動(dòng)值，以反映飛行器控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性能。

1 奇異攝動(dòng)穩(wěn)定裕度設(shè)計(jì)

飛行器控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)原理如圖1所示[14-15]。圖1中，u為輸入量，y為輸出量，r為擾動(dòng)量。

飛行器控制系統(tǒng)可由(1)式表示：

(1)

式中：系統(tǒng)狀態(tài)變量x為n維變量；輸入u為p維變量；輸出y為q維變量；t為時(shí)間。在本文中，飛行器控制系統(tǒng)的相關(guān)變量由向量表示。因此方程組(1)式中相關(guān)狀態(tài)變量的具體表達(dá)式[16-20]如(2)式所示：

(2)

因此飛行器控制系統(tǒng)可細(xì)化表達(dá)式如(3)式所示：

(3)

將控制系統(tǒng)的輸入u用反饋控制律u=μ(t,x)表示，(1)式可以轉(zhuǎn)化為

(4)

由(4)式組成的控制系統(tǒng)稱為標(biāo)閉環(huán)系統(tǒng)[21]，在該系統(tǒng)中，x=0表示原點(diǎn)，表示控制系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的。在飛行器控制系統(tǒng)中，在每一個(gè)控制輸入量的回路中串聯(lián)接入一個(gè)對角模型的奇異攝動(dòng)裕度量測器(SPMG)Δ，構(gòu)成奇異攝動(dòng)閉環(huán)系統(tǒng)，如圖2所示。

在圖2中，攝動(dòng)裕度量測器1、攝動(dòng)裕度量測器2、…、攝動(dòng)裕度量測器P都是單輸出系統(tǒng)，且均為指數(shù)穩(wěn)定輸出狀態(tài)。通過引入線性頂層的單輸入單輸出且滿足指數(shù)穩(wěn)定的系統(tǒng)作為SPMG的相應(yīng)對角模型Δi，飛行器控制系統(tǒng)的單通道控制回路穩(wěn)定系統(tǒng)如圖3所示，狀態(tài)方程表達(dá)式如(5)式所示。

圖3中：Af、Bf和Cf是常數(shù)矩陣，且Af是霍爾維茨矩陣；zi(t)∈DS?Rk，DS是S維數(shù)據(jù)集，Rk是高于S維數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)集，且i=1,2,…，m；ηi是單輸入控制系統(tǒng)的輸出量。

(5)

當(dāng)ε=0時(shí)，有(6)式成立，因此飛行器奇異攝動(dòng)閉環(huán)系統(tǒng)可通過(7)式表示：

(6)

(7)

(8)

式中：AS、BS、CS均為S維變量。

(8)式中的z、AS、BS和CS分別由下列公式[23]表示：

若飛行器控制系統(tǒng)在原點(diǎn)處時(shí)是指數(shù)穩(wěn)定的，則表示飛行器控制系統(tǒng)的方程(5)式一定是穩(wěn)定的。因此一定存在正數(shù)εmax，對于小于εmax的所有正數(shù)，表示飛行器奇異攝動(dòng)閉環(huán)控制系統(tǒng)的方程(8)式在原點(diǎn)處一定是穩(wěn)定的。εmax稱為飛行器控制系統(tǒng)的奇異攝動(dòng)裕度。當(dāng)控制系統(tǒng)的奇異攝動(dòng)參數(shù)小于奇異攝動(dòng)裕度時(shí)，控制系統(tǒng)一定是指數(shù)穩(wěn)定的。因此可以利用奇異攝動(dòng)裕度的這一特點(diǎn)有效地跟蹤飛行器控制系統(tǒng)的魯棒性能，并對控制器進(jìn)行反饋校正。

2 三回路自動(dòng)駕駛儀設(shè)計(jì)

針對傳統(tǒng)三回路自動(dòng)駕駛儀在工程應(yīng)用中對開環(huán)穿越頻率約束不足，且不能有效地體現(xiàn)控制系統(tǒng)效果的問題，因此，本文在三回路自動(dòng)駕駛儀中引入奇異攝動(dòng)裕度計(jì)算，通過奇異攝動(dòng)值準(zhǔn)確反映控制系統(tǒng)工作效果；同時(shí)設(shè)計(jì)開環(huán)穿越頻率的極點(diǎn)，并采用預(yù)測校正方法控制自動(dòng)駕駛儀開環(huán)穿越頻率，實(shí)現(xiàn)對飛行器工作過程中產(chǎn)生干擾的快速抑制，擺脫了自動(dòng)駕駛儀對控制系統(tǒng)閉環(huán)自振頻率的依賴，可有效地對開環(huán)穿越頻率進(jìn)行約束。

2.1 飛行器模型設(shè)計(jì)

飛行器在短周期內(nèi)的縱向動(dòng)力學(xué)描述如(9)式所示：

(9)

定義向量x和u用(10)式表示，則(9)式可以表示成如(11)式所示的狀態(tài)空間方程：

(10)

(11)

式中：A為狀態(tài)矩陣；B為輸入矩陣。A、B的表達(dá)式如(12)式所示：

(12)

(13)

從(13)式可知，det(PC)≠0，因此系統(tǒng)狀態(tài)完全可控，理論上飛行器系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)的任意配置設(shè)計(jì)，可以在控制系統(tǒng)中引入負(fù)反饋，具體的負(fù)反饋表達(dá)式為

(14)

式中：k?為俯仰角變化率控制系數(shù)；kα為攻角反饋系數(shù)。

將(14)式代入(9)式中的第1個(gè)等式中，得

(15)

在三回路自動(dòng)駕駛儀設(shè)計(jì)中，選用飛行器的加速度計(jì)、綜合放大器、舵機(jī)和速率陀螺等硬件產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)滯后參數(shù)作為控制系統(tǒng)的輸入量，計(jì)算控制系統(tǒng)開環(huán)控制的穿越頻率數(shù)值。本文中選用系統(tǒng)開環(huán)穿越頻率ωCR、閉環(huán)阻尼系數(shù)μ和閉環(huán)時(shí)間常數(shù)τ作為控制器的設(shè)計(jì)性能指標(biāo)，計(jì)算飛行器控制系統(tǒng)的奇異攝動(dòng)裕度，通過得到的奇異攝動(dòng)裕度數(shù)值反映飛行器控制器性能。

2.2 開環(huán)穿越頻率極點(diǎn)設(shè)計(jì)

根據(jù)(9)式可以得到飛行器動(dòng)態(tài)特性傳遞函數(shù)及對應(yīng)的系數(shù)，具體計(jì)算過程為

(16)

式中：μm為最大阻尼系數(shù)；ωm為飛行器固有頻率；b1、b2、k1、k2為控制系統(tǒng)推導(dǎo)系數(shù)。

將(16)式得到的相關(guān)數(shù)據(jù)代入圖4的框圖中，得到如圖5所示的三回路自動(dòng)駕駛儀組成圖。圖5中，Tα表示滯后校正深度系數(shù)，KR為舵機(jī)比例系數(shù)。

在圖5中的虛線處斷開控制回路，得到飛行器的開環(huán)控制傳遞函數(shù)為

(17)

為簡化(17)式，設(shè)中間變量

(18)

將(18)式代入(17)式，整理得到開環(huán)控制傳遞函數(shù)的簡化表達(dá)式為

(19)

得到(19)式后，將系統(tǒng)閉環(huán)，得到閉環(huán)控制函數(shù)為

(20)

式中:KD可通過(21)式計(jì)算得到,

(21)

根據(jù)(20)式可知，閉環(huán)系統(tǒng)的3階特征方程可以用慣性特征函數(shù)和2階振蕩函數(shù)相乘組成，系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程表達(dá)式為

(22)

式中：ω為閉環(huán)控制傳遞函數(shù)的自然頻率。

因?yàn)橄到y(tǒng)的閉環(huán)特征方程與閉環(huán)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)系數(shù)是對應(yīng)相等的，所以可以得到

(23)

在工程應(yīng)用中，ω和μ是已知信息，但是閉環(huán)控制傳遞函數(shù)的自然頻率ω很難直接測得。本文涉及到工程應(yīng)用的飛行器系統(tǒng)開環(huán)的穿越頻率ωCR要遠(yuǎn)大于飛行器固有頻率ωm，因此設(shè)在開環(huán)穿越頻率處系統(tǒng)開環(huán)增益近似為1，得到

(24)

(24)式與(23)式聯(lián)立，其中τ、μ和ωCR已知，聯(lián)立的4個(gè)方程共有4個(gè)未知數(shù)ω、d0、d1和d2. 因此(23)式中ω、d0、d1和d2可解，進(jìn)而計(jì)算得到增益參數(shù)KD、KA、Ki和KR.

2.3 預(yù)測校正

開環(huán)控制函數(shù)進(jìn)行穿越頻率極點(diǎn)設(shè)計(jì)時(shí)，如果自動(dòng)駕駛儀受到外界干擾影響，再加上本身硬件的動(dòng)態(tài)特性可能引起的相位滯后，會(huì)嚴(yán)重影響飛行器的飛行穩(wěn)定性。為保證工作時(shí)系統(tǒng)實(shí)際開環(huán)傳遞函數(shù)的穿越頻率與設(shè)計(jì)的期望值保持一致，自動(dòng)駕駛儀還必須引入預(yù)測校正，對可能引起的干擾進(jìn)行糾偏處理。

首先設(shè)系統(tǒng)工作時(shí)希望得到的開環(huán)傳遞函數(shù)穿越頻率ωD為預(yù)測校正過程中的自變量，當(dāng)ωD、τ和μ都已知后，一定會(huì)有實(shí)際工作的開環(huán)傳遞函數(shù)的穿越頻率ωR. 因此工程應(yīng)用希望得到的穿越頻率值ωD與實(shí)際得到的穿越頻率值ωR形成非線性函數(shù)，

ωR=f(ωD)，

(25)

故預(yù)測校正設(shè)計(jì)可以用(25)式的非線性函數(shù)相鄰2次自變量之間的關(guān)系來修正，進(jìn)而滿足開環(huán)傳遞函數(shù)的穿越頻率極點(diǎn)收斂的控制要求。

預(yù)測校正設(shè)計(jì)的具體步驟如下：

1)確定開環(huán)穿越頻率的期望值ωCR0.

2)使用開環(huán)穿越頻率變量ωD1計(jì)算工作時(shí)的實(shí)際開環(huán)穿越頻率ωR1為

ωR1=f(ωD1).

(26)

3)計(jì)算實(shí)際數(shù)據(jù)與期望數(shù)據(jù)的偏差ΔωR為

ΔωR=ωCR0-ωR1.

(27)

4)在上一次變量ωD1的基礎(chǔ)上，適當(dāng)增加微小量σ，得到新的變量ωD2為

ωD2=ωD1+σ.

(28)

5)使用ωD2，采用近似配置極點(diǎn)的方法計(jì)算得到新的實(shí)際開環(huán)穿越頻率ωR2.

6)通過步驟2～步驟5得到兩組函數(shù)數(shù)值，設(shè)計(jì)實(shí)際開環(huán)穿越頻率和期望開環(huán)穿越頻率的偏導(dǎo)數(shù)為

(29)

7)根據(jù)微積分學(xué)，(29)式可以變?yōu)?/p>

(30)

(30)式移項(xiàng)可得如(31)式所示的自變量修正量ΔωD：

(31)

8)計(jì)算新的自變量預(yù)測值，新的自變量預(yù)測值計(jì)算為

ωD1(k+1)=ωD1(k)+ΔωD.

(32)

9)判斷偏差絕對值，偏差絕對值為‖ωD1(k+1)-ω1(k)‖. 當(dāng)偏差絕對值大于允許誤差ε時(shí)，轉(zhuǎn)到步驟2重新計(jì)算；當(dāng)偏差絕對值不大于允許誤差ε時(shí)，說明自動(dòng)駕駛儀的開環(huán)穿越頻率趨向穩(wěn)定于期望開環(huán)穿越頻率ωCR0，此時(shí)可以求出系統(tǒng)的各增益參數(shù)和閉環(huán)自振動(dòng)頻率，完成控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)。

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

試驗(yàn)驗(yàn)證使用某軸對稱布局的飛行器作為設(shè)計(jì)分析的研究對象。慣性器件安裝在飛行器質(zhì)心上，由于飛行器飛行時(shí)受到的空氣動(dòng)力阻尼很小，忽略阻尼干擾。當(dāng)飛行器速度保持在900 m/s時(shí)，飛行器處于不同高度的動(dòng)力學(xué)參數(shù)見表1.

設(shè)三自由度駕駛儀的閉環(huán)阻尼系數(shù)為0.7，系統(tǒng)閉環(huán)時(shí)間為0.3 s，工作時(shí)希望控制系統(tǒng)給出的開環(huán)穿越頻率為50 rad/s. 控制系統(tǒng)采用本文算法設(shè)計(jì)結(jié)果如表2所示。

表1 飛行器動(dòng)力學(xué)特征參數(shù)

表2 控制系統(tǒng)性能指標(biāo)

圖6、圖7和圖8分別給出了飛行器在分離指令控制下三回路自動(dòng)駕駛儀輸出的飛行器前向加速度、舵偏角和舵偏角速率的數(shù)據(jù)。由圖6、圖7和圖8可見，由于分離時(shí)在飛行器上產(chǎn)生相應(yīng)的分離加速度干擾，干擾方向與飛行器前向的飛行方向呈近似90°的鈍角。經(jīng)試驗(yàn)測量，在飛行器分離時(shí)產(chǎn)生的分離干擾加速度數(shù)值在5 km高度大約為6.2g，10 km高度大約為3g，15 km高度大約3.1g. 三回路自動(dòng)駕駛儀控制系統(tǒng)需要對產(chǎn)生的分離干擾進(jìn)行有效抑制，確保飛行器加速過程中不失控。

控制系統(tǒng)給出的駕駛儀對應(yīng)的奇異攝動(dòng)值如表3所示。根據(jù)試驗(yàn)要求，飛行器分離后加速度達(dá)到10g所需的時(shí)間在3 s內(nèi)。從圖6、圖7和圖8的試驗(yàn)結(jié)果可以看出，本文提出的采用奇異攝動(dòng)裕度的三回路自動(dòng)駕駛儀在不同高度環(huán)境下對飛行器都具有很好的控制性能。在整個(gè)三回路自動(dòng)駕駛儀控制過程中響應(yīng)時(shí)間很快，且輸出控制量沒有超調(diào)。由于試驗(yàn)過程中系統(tǒng)使用的閉環(huán)阻尼系數(shù)和時(shí)間常數(shù)不變，飛行器在不同高度的過載加速度變化基本一致。同時(shí)由于飛行器控制效率隨高度增加而下降，隨高度的增加，飛行器控制需要更多的舵偏角裕度。同理舵偏角速率變化的控制也隨著高度的增加而需要更多的裕度。表3給出的奇異攝動(dòng)值計(jì)算數(shù)值證明本文提供的三回路自動(dòng)駕駛儀控制系統(tǒng)在飛行過程中能夠有效控制飛行器的飛行，證明奇異攝動(dòng)值可以作為一種有效的穩(wěn)定判斷指標(biāo)應(yīng)用在飛行器控制工程中。

表3 駕駛儀奇異攝動(dòng)值

根據(jù)表2和表3顯示的試驗(yàn)結(jié)果可知：飛行器在5 km高度飛行時(shí)，穩(wěn)定控制的幅值裕度為7.81 dB，相位裕度為37.335 9°，快速穩(wěn)定控制的收斂時(shí)間為0.177 s；飛行器在10 km高度飛行時(shí)，穩(wěn)定控制的幅值裕度為6.88 dB，相位裕度為38.772 1°，快速穩(wěn)定控制的收斂時(shí)間為0.168 s；飛行器在15 km高度飛行時(shí)，穩(wěn)定控制的幅值裕度為6.58 dB，相位裕度為30.392 5°，快速穩(wěn)定控制的收斂時(shí)間為0.165 s. 試驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的改進(jìn)三回路駕駛儀在不同高度都對飛行器具有良好的控制穩(wěn)定性、魯棒性和快速收斂性。

試驗(yàn)中將希望獲得的系統(tǒng)性能指標(biāo)σ以及允許誤差ε固定，對飛行器在不同高度、飛行速度為900 m/s時(shí)的控制特征點(diǎn)使用本文提出的自動(dòng)駕駛儀，分析增益參數(shù)KD、KA、Ki和KR的變化。圖9是增益參數(shù)隨飛行器高度變化的示意圖。增益KD的主要作用是將輸入值和輸出值的比值保持在固定范圍內(nèi)，從圖9中可以明顯看出，在海拔高度從0 km變到16 km過程中，KD變化并不明顯，最小值為1.150 8，最大值為1.342. 該結(jié)果表明了本文設(shè)計(jì)的三回路自動(dòng)駕駛儀穩(wěn)態(tài)傳遞受到外界環(huán)境干擾很小，具有很好的抗干擾性能。增益KA表示飛行器的機(jī)動(dòng)效率，在從低空到高空的環(huán)境過程中，飛行器的KA值先降低、后提高，表明飛行器機(jī)動(dòng)效率先提升、后降低。增益Ki隨飛行器所處的海拔高度的增加而增加，可有效抑制飛行器由于高度增加而導(dǎo)致壓心前移引起的靜不穩(wěn)定問題。增益KR隨飛行器所處的海拔高度的增加而增加，可有效補(bǔ)充飛行器所處海拔高度的增加帶來的阻尼降低問題。試驗(yàn)結(jié)果表明本文提出的三回路駕駛儀具有良好的控制穩(wěn)定性、魯棒性和快速收斂性，具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。

4 結(jié)論

本文針對傳統(tǒng)三回路自動(dòng)駕駛儀在工程應(yīng)用中對開環(huán)穿越頻率約束不足，且不能有效體現(xiàn)控制系統(tǒng)效果的問題，設(shè)計(jì)一種基于奇異攝動(dòng)裕度的三回路自動(dòng)駕駛儀方法。該方法將奇異攝動(dòng)裕度作為有效的穩(wěn)定判斷指標(biāo)，反映飛行器控制系統(tǒng)工作效果，同時(shí)對三回路自動(dòng)駕駛儀進(jìn)行開環(huán)穿越頻率的極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)和預(yù)測校正，有效控制開環(huán)穿越頻率，提高三回路駕駛儀的控制性能。試驗(yàn)結(jié)果表明，該方法克服了傳統(tǒng)三回路自動(dòng)駕駛儀對開環(huán)穿越頻率約束不足，具有良好的快速收斂性能和控制穩(wěn)定性能，具有良好的工程應(yīng)用前景。