概率論在保險與再保險中的應(yīng)用

摘 要：本文利用概率論知識以及中心極限定理，分析保險理論計算小概率事件發(fā)生的概率、實際賠償金額與期望賠償金額之間的差距、保險公司保費(fèi)的制定方法以及參保人數(shù)對于保險公司虧本概率的影響。最后介紹再保險制度，以及再保險制度如何提高保險公司的安全墊，降低保險公司虧本的概率。

關(guān)鍵詞：中心極限定理；保險；再保險；保費(fèi)計算

一、概述

在概率論中，根據(jù)大數(shù)定律，獨(dú)立同分布試驗次數(shù)越多，試驗結(jié)果越穩(wěn)定，均值更加接近于期望。而當(dāng)試驗次數(shù)不夠時，結(jié)果就不太穩(wěn)定，很容易受個別事件的影響。對于個體而言，人有旦夕禍福，一場大病就能夠讓一個中產(chǎn)家庭重返赤貧，風(fēng)險的巨大摧毀力讓個體無法承擔(dān)。保險與精算行業(yè)的出現(xiàn)則是為了分?jǐn)傦L(fēng)險，設(shè)計保險規(guī)則將分散的風(fēng)險集中起來，利用大數(shù)定律平攤風(fēng)險。這樣充滿不確定性的風(fēng)險平均后的損失就是確定的，只要個體之間是獨(dú)立的，個體數(shù)量越多，平均損失就越接近于預(yù)期損失。

所以保險公司在開發(fā)新產(chǎn)品時，就要通過調(diào)研大量歷史數(shù)據(jù)來估算這種新產(chǎn)品包括在內(nèi)的風(fēng)險損失。大數(shù)定律告訴我們當(dāng)個體人數(shù)越多時，平均損失接近預(yù)期損失，但是沒有解釋如何計算偏差。中心極限定理則提供工具，即當(dāng)樣本數(shù)量服從大數(shù)定律時，隨機(jī)樣本的平均損失服從正態(tài)分布，再通過調(diào)整使其服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。通過這個工具，保險公司可以根據(jù)保費(fèi)費(fèi)率、參保人數(shù)、保證金精確計算自己資不抵債倒閉的概率。

當(dāng)保費(fèi)無法增加，在市場因素下參保人數(shù)會降低，參保人數(shù)達(dá)到瓶頸后，保險公司為了進(jìn)一步降低倒閉的概率，可以參見再保險計劃，保險公司之間再平攤風(fēng)險。

二、定理

Lindeberg-Levy中心極限定理：設(shè)樣本X1，X2，…，Xn，…是一列相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，滿足EXk=μ，VarXk=σ2，0<σ2<

SymboleB@ ，則隨機(jī)變量∑nk=1Xk-nμσn依分布收斂到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即limn→

SymboleB@ P∑nk=1Xk-nμσn≤t=∫t-

SymboleB@ 12πe-x22dxφ（t），標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)可以通過查表或者計算機(jī)軟件輕松獲得。

三、應(yīng)用

例1.現(xiàn)有50萬個人參加某年齡段的意外險，一年內(nèi)每個人事故的概率為萬分之一，可以從保險公司領(lǐng)取100萬元，每個人發(fā)生事故是獨(dú)立的事件，安全附加系數(shù)為30%，保險公司的固定支出每年為100萬。問（1）保險公司有多大概率虧錢呢？（2）保險公司需要準(zhǔn)備多少保證金才能保證履行兌付責(zé)任的概率不低于99%？如果是99.9%，99.99%呢？（3）如果保險公司在安全附加系數(shù)為30%基礎(chǔ)上保證99%的概率不虧本，它至少需要擴(kuò)展業(yè)務(wù)到多少份保單？（4）如果只有50萬份保單，保險需要把安全附加系數(shù)提高多少才能將不虧錢概率提高到99%？

解：記ξi=1，第i個人一年內(nèi)出事故0，第i個人一年內(nèi)沒出事故，則ξi獨(dú)立同分布且Pξi=1=10-4，S=∑ni=1ξi，n=5×105，Eξi=10-4，Varξi=9.999×10-5。每個人繳納的保費(fèi)為106×10-4×1.3=130，所以保險公司收到的保費(fèi)為6500萬，除去固定支出后還剩6400萬。

（1）當(dāng)S>64時保險公司會出現(xiàn)虧損，由中心極限定理PS-ESσn≤t～φt，PS>64=1-PS≤64=1-PS-nEξiσn≤64-5010050×9.999×10-5～1-φ1.98～2.39%；

（2）設(shè)保險公司準(zhǔn)備的保證金為x，則當(dāng)S≤64+10-6x時保險公司能夠完全兌付，由中心極限定理PS≤64+10-6x=

PS-nEξiσn≤14+10-6x10050×9.9999×10-5～φ14+10-6x50>99%，即14+10-6x50>2.326，x>2.45×106元；如果要求不低于99.9%概率能夠完全賠付，即4+10-6x5>3.09，x>7.85×106元；如果要求不低于99.99%概率能夠完全賠付，即4+10-6x5>3.719，x>1.23×107元，所以當(dāng)保險公司準(zhǔn)備1230萬元準(zhǔn)備金時，就可以保證99.99%的概率能夠完成賠付，這也是中國政府要求保險公司必須繳納足夠的準(zhǔn)備金在監(jiān)管部門的理由。

（3）根據(jù)大數(shù)定律與中心極限定理，當(dāng)樣本數(shù)量增加時，Sn越接近Eξi，而且保險公司前期調(diào)研，辦公等固定支出可以隨著參保人數(shù)的增加而稀釋。所以參保人數(shù)越多，保險公司的賠錢的風(fēng)險越小，越能夠穩(wěn)穩(wěn)地賺錢。當(dāng)參保人數(shù)為m時，130m106（S+1），即S≤1.3m×10-4-1時保險公司不虧，通過中心極限定理，PS≤1.3m×10-4-1=PS-nEξiσn≤1.3m×10-4-1-m×10-4m×9.9999×10-5～φ3m×10-5-1m×10-4>99%，設(shè)t=m×10-4，則要求3t2-1010t>2.33，推出t>8.17，所以m>6.67×105，需要將參保人數(shù)提高16.7萬可將保本概率從97.61%提高到99%；

（4）如果市場份額已經(jīng)到達(dá)極限，那么保險公司可以提高安全附加系數(shù)，也就是增加保費(fèi)來獲利。設(shè)安全附加系數(shù)修改為θ，則公司收到的保費(fèi)為5×107（1+θ），除去固定開支后出事故人數(shù)S≤501+θ-1是保險公司保本，要使得PS-nEξiσn≤50θ-110050×9.9999×10-5～φ50θ-150>99.9%，即要求50θ-150>3.09，即安全附加系數(shù)至少要45.7%，每份保單價格提高15.元保險公司就能夠?qū)⒈１靖怕蕪?6.3%提高到99.9%。

例2.當(dāng)單個保險公司規(guī)模較小時，且對于風(fēng)險的敏感度很高，可以加入再保險公司，按照第（2）問中計算的保險公司需要準(zhǔn)備785萬保證金才能保證99.9%的概率能夠兌付，保險公司為了對沖這千分之一的風(fēng)險，有100家保險公司加入再保險計劃，每家保險公司繳納40萬元，有千分之一的概率保險公司虧損800萬，就能夠獲得再保險公司賠償800萬，求再保險計劃能夠賠付的概率。

解：按照例1中的模型，當(dāng)S≤5時再保險計劃能夠賠付，由中心極限定理，PS≤10=PS-nEξiσn≤5-100×10-310×9.99×10-4～φ15.49～100%所以再保險計劃能夠兌付保險公司800萬的損失。

參考文獻(xiàn)：

[1]岳金健.中心極限定理和大數(shù)法則在保險中的應(yīng)用[J].江蘇教育學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2007，24（04）：134-136.

[2]王穩(wěn)，陳琛，汪風(fēng).小概率高損失事件的忽略——對中國發(fā)展巨災(zāi)保險的意義[J].保險研究，2009，（12）：15-20.

作者簡介：

康子璇，北京交通大學(xué)附屬中學(xué)。