智慧校園，讓數(shù)學(xué)課堂成為思維對話的場所

摘要：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的在于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考。數(shù)學(xué)課堂是師生交流數(shù)學(xué)思維的主陣地，教師要利用好數(shù)字化學(xué)習(xí)資源，提高課堂教學(xué)效率，讓數(shù)學(xué)課堂成為思維對話的場所。

關(guān)鍵詞：智慧校園;數(shù)學(xué)課堂;思維對話

波利亞曾經(jīng)說過：教會(huì)思考意味著數(shù)學(xué)教師不僅僅應(yīng)該傳授知識(shí)，而且也應(yīng)當(dāng)去發(fā)展學(xué)生運(yùn)用所傳授的知識(shí)的能力。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的在于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。在實(shí)際教學(xué)過程中，受應(yīng)試教育的影響，迫使師生陷入大規(guī)模的題海訓(xùn)練之中，因?yàn)檫@樣做可以“拔苗助長”，在短暫的時(shí)間內(nèi)明顯提高學(xué)生的學(xué)習(xí)成績。如果我們要立足長遠(yuǎn)，真正提升學(xué)生的思維能力，應(yīng)該讓學(xué)生在看似平凡，但是孕育奇跡的題目中學(xué)會(huì)從不同的角度思考問題，分析問題的本質(zhì)，追溯其原型，探究其流向，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維火花。課堂是師生互動(dòng)的主陣地，教師應(yīng)該做好引導(dǎo)，讓課堂成為學(xué)生探究的樂園。下面，筆者以一道調(diào)研試題的探究課為例，以饗讀者。

題目如圖1，在C城周邊已有兩條公路l1，l2在點(diǎn)O處交會(huì)。已知OC=（√2+√6）km，∠AOB =75°，∠AOC= 45°?，F(xiàn)規(guī)劃在公路l1.l2上分別選擇A，B兩處為交會(huì)點(diǎn)（異于點(diǎn)O）直接修建一條公路通過C城，設(shè)OA=akm. OB=bkm。

（1）求b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，并指出它的定義域;

（2）試確定點(diǎn)A，B的位置，使△OAB的面積最小。

一、課前準(zhǔn)備

1.調(diào)查與診斷

通過統(tǒng)計(jì)分析測試結(jié)果發(fā)現(xiàn)，班級共46名學(xué)生，有24名學(xué)生完整做對題目，22名學(xué)生幾乎一分沒得。錯(cuò)誤原因主要分為兩種，其中有13名學(xué)生運(yùn)用余弦定理，但是計(jì)算不下去或者計(jì)算錯(cuò)誤，另外還有9名學(xué)生建立直角坐標(biāo)系，但是因?yàn)檫\(yùn)算煩瑣導(dǎo)致最后結(jié)果錯(cuò)誤。

2.歸因與反思

（1）思維定勢。學(xué)生看到此題條件為兩邊夾一角便，慣性思維使用余弦定理解答，思維沒能拓展開來，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤。

（2）運(yùn)算不過關(guān)。從方法上說，以上兩種做法都是正確的，但是在有限的時(shí)間內(nèi)要得出正確的結(jié)果，需要學(xué)生有很強(qiáng)的運(yùn)算能力，因此在后面的教學(xué)中要注意對學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)。

（3）缺乏聯(lián)系，缺乏從不同的角度認(rèn)識(shí)問題的能力。數(shù)學(xué)各部分之間的知識(shí)都是相通的，由于學(xué)生日常做題中缺乏對問題的深層次反思，只是滿足于做題，因此需要教師多培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力。

3.方法與措施

試卷批改后第一時(shí)間發(fā)給學(xué)生，安排學(xué)生訂正此題，嘗試給出多種解法，并充分利用電子閱覽室等數(shù)字化校園資源探究此題的源與流，并進(jìn)行整理。通過對此題的探究，讓學(xué)生跳出固有的思維模式，感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣。

二、課堂教學(xué)片斷實(shí)錄及意圖

1.試題還原與追溯

師：為了尋找此題的解題方法，我們能否找出此題的源頭？

生1：把△AOB改成直角，就和我們以前做過的一道題目類似了。

師：恩，有道理，我們現(xiàn)在來把那道題找出來。

此時(shí)，筆者打開教室電腦，進(jìn)入學(xué)校資源庫，輸入關(guān)鍵字“過定點(diǎn)，求三角形面積最小值”進(jìn)行搜索，電腦上立即顯示一道題目：過點(diǎn)P（2，3）的直線與x軸、y軸的正半軸分別相交于點(diǎn)A，B，求△ABO的面積最小值，以及此時(shí)所對應(yīng)的直線方程。

師：太好了，這道題還有哪些做法？

師：生3關(guān)注到面積變化是由直線變化引起的，因此先用直線過定點(diǎn)的特征設(shè)出此條直線，再通過坐標(biāo)運(yùn)算方式建立面積S關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式，最后求出其最值。

此時(shí)，生4坐不住了，立刻舉手示意。

生4：剛才動(dòng)直線是繞著定點(diǎn)在轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中引起面積的變化，所以我引入角度，設(shè)∠BAO=θ，然后將面積表示成關(guān)于θ的函數(shù)，再求解。

生，：我覺得也可以用直線的截距式來設(shè)直線，因?yàn)樗竺娣e正好與縱、橫截距有關(guān)。

筆者運(yùn)用電腦通過學(xué)校數(shù)字學(xué)習(xí)港平臺(tái)進(jìn)入資源庫，展示各種解法，并簡要點(diǎn)評。

【設(shè)計(jì)意圖】轉(zhuǎn)化與化歸思想貫穿數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終。當(dāng)學(xué)生遇到新的、不熟悉的問題時(shí)，教師應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生形成轉(zhuǎn)化意識(shí)，將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，再通過類比、歸納，嘗試解決新問題。

師：能否用這些方法解決此節(jié)課開始時(shí)提出的問題？結(jié)合之前的思考展示你的認(rèn)識(shí)。

此時(shí)，筆者幫助學(xué)生做好投影準(zhǔn)備。

2.解法探究與展示

生6：考試時(shí)我是運(yùn)用建立坐標(biāo)系這種方法，但是沒有做到底，我現(xiàn)在終于做出正確的結(jié)果了。

師：在考試時(shí)間緊迫的情況下，也許只想到一種方法，此時(shí)就需要學(xué)生堅(jiān)定必勝的信念，看似笨拙的方法中會(huì)有更深刻的感悟和體會(huì)，因此“最笨”的方法恰是“最好”的方法。

【設(shè)計(jì)意圖】以上解答過程看似煩瑣，但卻是學(xué)生最容易想到，又最容易放棄的方法，此時(shí)更需要教師引導(dǎo)學(xué)生不畏艱難，敢做敢算。在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，如果放棄鍛煉與感悟計(jì)算的機(jī)會(huì)實(shí)在可惜，在解題過程中可以培養(yǎng)學(xué)生堅(jiān)持不懈的學(xué)習(xí)精神。

生7提出了另外一個(gè)種解法。

師：這是一種非常好的做法，兼顧到問題的特征，將原分式函數(shù)問題轉(zhuǎn)化成整式函數(shù)問題來處理。能否給出具有什么特征的函數(shù)可以這樣轉(zhuǎn)化呢？

生8：只要分式函數(shù)，分子、分母都是關(guān)于變量的二次式，其中分子、分母有一個(gè)是關(guān)于變元的完全平方的，都可以這樣做。

【設(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生的化歸意識(shí)，對學(xué)生發(fā)現(xiàn)的新方法進(jìn)行適當(dāng)?shù)臍w納與總結(jié)，并且嘗試把探究發(fā)現(xiàn)的機(jī)會(huì)留給學(xué)生，讓課堂成為學(xué)生研究的主陣地。

生9又提出了一種解法。

解法4：（利用平面幾何知識(shí)）如圖3，過點(diǎn)C作CE∥OB交OA于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CD∥OA交OB于點(diǎn)D。在△OCD中，∠COD=30°， ∠OCD=45°， ∠ODC=105°。

以下求解面積的方法與上述方法一樣，具體證明過程略。

師：你是怎么想到這種方法的呢？

生9：題目本身已知的角度與邊是分散的，我想把這些量都向某一個(gè)三角形中轉(zhuǎn)化，再結(jié)合正、余弦定理建立等量關(guān)系。

【設(shè)計(jì)意圖】教師是課堂教學(xué)的引導(dǎo)者，多引導(dǎo)學(xué)生如何分析問題，多引導(dǎo)學(xué)生從解決問題方法的來源、本質(zhì)進(jìn)行總結(jié)與歸納，可以有效提升學(xué)生的思維能力。教師應(yīng)該從學(xué)生已有的知識(shí)和方法中逐步引導(dǎo)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)新的知識(shí)和新的方法。通過對此問題的認(rèn)識(shí)，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，讓學(xué)生產(chǎn)生“我要學(xué)”的沖動(dòng)。

師：向量是數(shù)與形溝通的橋梁，能否從向量的角度來思考此題。

生10。的解法如下。

解法5：（向量法）記向量OA方向上的單位向量為i，向量OB方向上的單位向量為j，則OA= ai，OB= bj。

由OC=（√2+√6），∠AOB =75°，∠AOC =45°，

以下解題步驟略。

師：生10通過聯(lián)想構(gòu)造向量，將問題轉(zhuǎn)化成向量中的問題，給出了解答，實(shí)屬不易，生10實(shí)質(zhì)上說出了坐標(biāo)的本質(zhì)是向量的分解。

生11的解法如下。

解法6：如圖4，不妨設(shè)CB= CA，假設(shè)A'Br是過點(diǎn)C的異于AB的線段，若CB’

師：太好了，生n拋開題目形式化的內(nèi)容，從形的特征人手，先猜后證，揭示了此問題的本質(zhì)，給人以“原來如此”之感。

【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)不僅是形式的演繹，更需要學(xué)生能夠從本質(zhì)上認(rèn)識(shí)問題，這就需要教師在日常教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生形成這樣的思維意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

3.我來編題

生12：變換條件，將試題中的線段AB過“定點(diǎn)”改成“定長”。

師：具體說說？

生12：如圖5，已知∠A為定角，點(diǎn)P，Q在∠A的兩邊上，且PQ為定長，當(dāng)點(diǎn)P，Q處于什么位置時(shí)，△APQ的面積最大？

師：真是仁者見仁，智者見智，大家在日常的學(xué)習(xí)中要善于從不同的角度認(rèn)識(shí)問題。

生13：變換結(jié)論，也可以嘗試求原試題中△APQ的周長。

師：太聰明了！

【設(shè)計(jì)意圖】教師讓學(xué)生編題可以使學(xué)生跳出現(xiàn)有的角度認(rèn)識(shí)題目，更容易激發(fā)學(xué)生對問題本質(zhì)的把握和認(rèn)知，從數(shù)學(xué)研究者的角度來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。這種在課堂上讓學(xué)生獨(dú)立嘗試編題的方式，可以調(diào)動(dòng)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的積極性，使整個(gè)課堂洋溢著蓬勃生機(jī)和無限活力。

下課鈴聲響了，學(xué)生的思維卻并沒有下課。此時(shí)，筆者趁勢而上，將剛才學(xué)生提出的問題稍作調(diào)整，留給學(xué)生思考的空間。

思考題：過點(diǎn)P（m，n）（mgt;n）的直線l分別交x軸，y軸的正半軸于A，B兩點(diǎn)，求|OA|+|OB|-|AB|的取值范圍。

三、對案例的一些思考

1.真正實(shí)現(xiàn)學(xué)生自主的課堂

教師要?jiǎng)?chuàng)造性地教，學(xué)生要?jiǎng)?chuàng)造性地學(xué)。其中教師創(chuàng)造性地教是主要的，只有教師創(chuàng)造性地教，學(xué)生才能創(chuàng)造性地學(xué)。教師創(chuàng)造性地教，就不僅要研究學(xué)生的學(xué)，更要研究數(shù)學(xué)，把握教材。

2.恰當(dāng)留白，讓學(xué)生的思維“拖堂”

在素質(zhì)教育的大背景下，部分教師仍然霸占學(xué)生的時(shí)間，下課的時(shí)候拖幾分鐘再下課，但是殊不知學(xué)生的心早就下課了。筆者認(rèn)為，這種耗時(shí)低效的做法磨滅了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并不可取。一位成功教師在課堂上一定是高效的，學(xué)生樂意參與他的課堂活動(dòng)，學(xué)生的思維會(huì)在教師的引導(dǎo)下掀起一個(gè)又一個(gè)高潮，即使下課學(xué)生的思維仍然在高速運(yùn)轉(zhuǎn)。優(yōu)秀的教師絕不拖堂，智慧的教師會(huì)對自己上課的內(nèi)容恰當(dāng)留白，留給學(xué)生思考的機(jī)會(huì)。雖然下課了，但是樂于學(xué)習(xí)、樂于鉆研的學(xué)生根本就沒有下課，有的學(xué)生在靜靜的思考，有的學(xué)生湊到一起為一個(gè)問題爭論得面紅耳赤。

3.培養(yǎng)學(xué)生堅(jiān)持不懈的科學(xué)探究精神

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更重要的是基本方法和通性、通法，并不是刻意追求巧思妙解，教師在日常教學(xué)中應(yīng)該滲透更多的基本技能和基本方法。另外，在教學(xué)過程中，要特別關(guān)注學(xué)生想到思路而沒有進(jìn)行下去的一些解題方法。當(dāng)學(xué)生在引導(dǎo)下獲得來之不易的成功時(shí)，其會(huì)收獲的更多，更重要的是培養(yǎng)了學(xué)生不畏艱難、堅(jiān)持不懈的鉆研精神。

4.樹立并堅(jiān)持正確的數(shù)學(xué)教育觀

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵不是知識(shí)的本身，而是通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)鍛煉了學(xué)生的思維，具體體現(xiàn)為發(fā)展人的認(rèn)識(shí)力，即思維力、判斷力、洞察力、鑒別力、鑒賞力、辨析力、預(yù)見力，等等。每節(jié)課上完，教師都需要反問自己，在上述這些方面對學(xué)生的發(fā)展有無貢獻(xiàn)，有無推動(dòng)？認(rèn)識(shí)力需要以知識(shí)作為載體，離開知識(shí)發(fā)展不了認(rèn)識(shí)力。實(shí)際上，學(xué)生在長大以后，學(xué)過的東西很多都忘掉了，但是那些知識(shí)卻最終都發(fā)展成為了學(xué)生的認(rèn)識(shí)力。

5.運(yùn)用數(shù)字化學(xué)習(xí)資源促進(jìn)發(fā)展

恰當(dāng)運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)，利用好數(shù)字化校園的學(xué)習(xí)平臺(tái)，提高教學(xué)質(zhì)量，是當(dāng)今數(shù)學(xué)教育改革的一種趨勢。先進(jìn)的教育技術(shù)可以幫助學(xué)生學(xué)習(xí)，促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展。因此，教師應(yīng)該重視信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的有機(jī)整合，在教師的引導(dǎo)下，讓學(xué)生自主利用好網(wǎng)絡(luò)等信息化資源。整合的原則應(yīng)該是有利于學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。在教學(xué)過程中，教師應(yīng)該恰當(dāng)選擇和運(yùn)用數(shù)字化學(xué)習(xí)資源，不斷改善學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，并引導(dǎo)學(xué)生自主地借助數(shù)字化學(xué)習(xí)資源探索和學(xué)習(xí)有關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容，以更好地揭示知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程及其本質(zhì)，幫助學(xué)生正確理解數(shù)學(xué)知識(shí)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，甚至引導(dǎo)學(xué)生研究一些有意義、有價(jià)值的數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生真正感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣。

6.注重學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)

運(yùn)算能力作為四大數(shù)學(xué)能力之一，如何提升學(xué)生的運(yùn)算能力，是擺在教師面前的一大難題。教師常常把學(xué)生運(yùn)算能力差歸結(jié)于學(xué)生害怕運(yùn)算、題目做的少等原因，實(shí)際上并非如此，教師更應(yīng)該在日常課堂教學(xué)中留給學(xué)生運(yùn)算的時(shí)間和空間，敢于放手讓學(xué)生計(jì)算。運(yùn)算能力不僅局限于一些復(fù)雜數(shù)字的計(jì)算，更重要的是讓學(xué)生體會(huì)算理。筆者認(rèn)為，運(yùn)算能力實(shí)質(zhì)上也是思維能力，關(guān)鍵是學(xué)會(huì)分析、預(yù)測和估計(jì)運(yùn)算的過程，進(jìn)而選擇合適的運(yùn)算路徑，并在運(yùn)算過程中實(shí)時(shí)調(diào)控，注意轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，在潛移默化中培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力、思維能力，以及科學(xué)研究、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的好習(xí)慣。

7.讓學(xué)生變要我學(xué)為我要學(xué)

學(xué)生是學(xué)的主體，教師是教的主體，但是教師的主體作用體現(xiàn)為另一個(gè)主體——學(xué)生的“向?qū)А?。如今的課堂里有許多教學(xué)向?qū)В處熓窍驅(qū)?，教材是向?qū)ВW(wǎng)路資源是向?qū)?，同學(xué)之間也可以互為向?qū)?，但是所有教學(xué)向?qū)е械闹鹘鞘墙處?，教師要充分發(fā)動(dòng)學(xué)生，讓學(xué)生積極、主動(dòng)地參與課堂活動(dòng)。對話、交流、討論、爭辯，每個(gè)人都必須參與其中，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更要如此。而且要強(qiáng)調(diào)獨(dú)立思考，不是所謂的熱熱鬧鬧的課堂就是我們追求的課堂效果，相反，需要學(xué)生靜心思考。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與其他學(xué)科不同，時(shí)刻離不開獨(dú)立思考。數(shù)學(xué)是抽象的，它需要獨(dú)立思考，別人的思考代替不了你的思考，別人的探究也不能代替你的探究。學(xué)數(shù)學(xué)要做探究，要發(fā)動(dòng)學(xué)生積極參與，只有大腦內(nèi)部有激烈的思想活動(dòng)才有意義。

基金項(xiàng)目：淮安市教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃立項(xiàng)課題——課程整合視閾下高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的實(shí)踐研究（2015-168）。

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