關(guān)于拋物線y²=2px(p>0)焦點弦長及焦半徑長問題的解題策略

郭小峰

1知識理解

拋物線中焦點弦問題歷來是各大考試的重點、難點，在千變?nèi)f化的題目中，要以一變應(yīng)萬變，需要扎實的基本功、靈活的應(yīng)用能力和儲備常規(guī)的知識體系，根據(jù)筆者多年一線教學(xué)經(jīng)驗，多數(shù)學(xué)生對于這類題目主要存在如下問題：

（l）對于教師歸納出來的解題經(jīng)驗、結(jié)論死記硬背，導(dǎo)致在考試中不能靈活應(yīng)用.眾所周知公式、結(jié)論的出處很重要，它往往代表著一種解題的經(jīng)驗、思想.

（2）許多學(xué)生對于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不是建立體系式學(xué)習(xí)，而是泛泛而學(xué)，總想憑借題海戰(zhàn)術(shù)達到解題的最佳狀態(tài).然而數(shù)學(xué)是一個體系，它需要學(xué)生能把各種知識點、解題方法、經(jīng)驗有機地建構(gòu)自己的知識體系，從而才能應(yīng)對高考題目的各種兇險.

對于這一節(jié)的學(xué)習(xí)，筆者往往先和學(xué)生一起探求一些有用的結(jié)論，然后借助例題、練習(xí)鞏固學(xué)習(xí)成果.比如對于拋物線y²=2px（p〉0）的焦點弦長有以下幾個常見公式和結(jié)論：（如圖l，假設(shè)過焦點F作一條直線/和此拋物線相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，直線傾斜角記為θ.）

對于以上這些公式結(jié)論，要求學(xué)生以規(guī)律的形式記住出處、結(jié)論，納入自己的知識體系中，然后在解題中加以靈活地應(yīng)用.

3拓展思考

對于拋物線焦點弦長這樣的題型，針對前文例l，我們發(fā)現(xiàn)三種方法的使用還涉及韋達定理、傾斜角、三角函數(shù)二倍角公式、均值不等式等等，可見高考題是一種綜合體，它需要的不是對公式的死記硬背，而是要把知識形成體系并靈活應(yīng)用.

圓錐曲線歷來是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個難點，然而它絕對是重點，在高考中小題一般處在偏后的位置，所以拿下這題意義深遠(yuǎn).根據(jù)筆者對這塊內(nèi)容教學(xué)的體會以及學(xué)生中存在的問題，筆者認(rèn)為在教學(xué)中要做到以下幾點：

（l）鼓勵學(xué)生克服心理上的恐懼，要有信心和決心跟這種題目死磕到底;

（2）圓錐曲線的拓展知識、延展內(nèi)容比較多，在教學(xué)中要培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散、積極思考一起探究出新內(nèi)容新結(jié)論，注重班級學(xué)生之間的分享，促動學(xué)生對于探究的興趣;

（3）對于教學(xué)中例題的選擇一定要注重選出精致例題，注重多種解法利弊的對比，注重常規(guī)方法的滲透，積極積累解題經(jīng)驗;

（4）教學(xué)中要不斷滲透建構(gòu)知識體系的思想，數(shù)學(xué)的知識體系包括知識點層面、解題方法層面、數(shù)學(xué)思想層面，這些體系要在大腦中有力地建構(gòu)，而不僅僅是在書面上記了安慰自己;

（5）練習(xí)的設(shè)置必須是有效、有利、有用的，遠(yuǎn)離偏門的難題、怪題，全國卷的題目經(jīng)?？疾榛局R能力的靈活應(yīng)用.

方法評析

（l）凡涉及拋物線上的點到焦點距離時，一般運用定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線距離處理;

（2）若P（x₀，y₀。）為拋物線y²=2px（p〉0）上一點，由定義易得|PF|=x₀+p/2;若過焦點的弦AB的端點坐標(biāo)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則弦長為|AB|=x₁+x₂+p，x₁+x₂，可由根與系數(shù)的關(guān)系整體求出;若遇到其他標(biāo)準(zhǔn)方程，則焦半徑或焦點弦長公式可由數(shù)形結(jié)合的方法類似地得到.

方法評 析方法l 是該題的常規(guī)解法，然而正如這幾題的特點其解題冗長計算量大，實在不適合作為一道選擇題的解法，但是仍然要肯定用這種解法的學(xué)生卓越的計算能力.

相比較而言方法2這種解法要簡潔快速多了，但是需要注意的是爿點有可能是在上方或下方，所以要注意焦半徑公式有兩種情況，避免漏答案.

方法評析 本題使用焦半徑長與該點到y(tǒng)軸距離的關(guān)系，再利用中線的性質(zhì)可以快速得出答案.