抓住問題本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)多題通解

沈英

波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》中認(rèn)為，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就在于加強(qiáng)解題訓(xùn)練.數(shù)學(xué)離不開解題，解題的靈魂是數(shù)學(xué)思想，而數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)思想的載體.在平時(shí)的教學(xué)過程中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)內(nèi)容整理歸納出類型和方法，經(jīng)過加工提煉，得出有指導(dǎo)價(jià)值、有典型結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型.“鉛垂高”模型在各地中考試卷上屢屢出現(xiàn)，雖在考查形式上不斷創(chuàng)新，但解決問題的途徑是相同的.本文主要對(duì)這類問題及其變式進(jìn)行探究歸納，以幫助學(xué)生形成常規(guī)的解題思路，從而提高分析問題和解決問題的能力.

1利用“鉛垂高”解決圖形面積問題

解析 因?yàn)閽佄锞€的解析式確定，直線CD的解析式確定，從而可以確定C、D兩點(diǎn)之間的水平寬，第（2）小問要求△PCD面積的最大值，我們將“鉛垂高”PN的長度表示出來，就可以表示出△PCD的面積，再進(jìn)一步求出面積的最大值.

解析 此題第（2）小問求平行四邊形CDEF的面積，可利用“平行四邊形是中心對(duì)稱圖形”性質(zhì)，其對(duì)角線將平行四邊形分成了面積相等的兩部分，求平行四邊形CDEF的面積，其實(shí)就是求△DCF的面積的2倍，用“鉛垂高”模型即可求出△DCF的面積.我們只要找到了問題的本質(zhì)，利用模型，就能快速地求解此題，這也是模型學(xué)習(xí)的優(yōu)勢(shì)所在.

解析 本題第（2）小問求面積比的最值問題，因?yàn)椤鰿DE和△BCE有相同的底邊CE，所以面積之比就轉(zhuǎn)化為高之比，由于高DF求解比較復(fù)雜，利用“鉛垂高”模型，我們將DF“化斜為直”轉(zhuǎn)化為求DH的長，問題將迎刃而解.

解析 四邊形DGFE是四個(gè)頂點(diǎn)都在變化的圖形，由于DG∥EF∥y軸，所以它是一個(gè)梯形，梯形的面積就是表示出上下底和高，由于DE=√5，直線CB的解析式可求，又線段DE在線段CB上運(yùn)動(dòng)，所以DG與EF之間的距離確定且為2，那么上下兩底的長就可以利用“鉛垂高”來解決.

2利用“鉛垂高”解決點(diǎn)到直線的距離問題

3利用“鉛垂高”解決三角形的周長問題

解析 △PMN的周長等于PN+PM+MN，其中PM的可用“鉛垂高”來表示，而PN表示點(diǎn)P到直線AD的距離，PN， MN的長度不容易直接求出.從圖11中可以發(fā)現(xiàn)△PMN∽△DCE，而△DCE是確定的，由△DCE三邊之比從而求得出△PMN三邊關(guān)系，進(jìn)一步表示出△PMN的周長ι.

運(yùn)用模型解題能夠加深學(xué)生的思維深度，抓住問題的本質(zhì)及共性，找出問題間內(nèi)在的聯(lián)系，讓學(xué)習(xí)事半功倍.所以在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，要有效地進(jìn)行數(shù)學(xué)模型思想的滲透，讓學(xué)生充分體會(huì)到利用數(shù)學(xué)模型的思想解決問題的實(shí)用性.

哈爾莫斯說：“數(shù)學(xué)是一種別具匠心的藝術(shù).”如果說數(shù)學(xué)教師是這門藝術(shù)的創(chuàng)造者，那么數(shù)學(xué)思想方法就是這門藝術(shù)的靈魂，學(xué)生的創(chuàng)作就是它的血和肉.作為數(shù)學(xué)教師不但要在課堂教學(xué)中經(jīng)常性地滲透數(shù)學(xué)模型思想，更重要的是用這種模型思想的方法去拓展學(xué)生的解題思維，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)，提升學(xué)生的核心素養(yǎng).