化歸思想在全國(guó)卷立體幾何題中的應(yīng)用研究

福建省石獅市第一中學(xué) (362700)

莫偉昌

化歸與轉(zhuǎn)化思想,是高中課標(biāo)所要求掌握的七大思想之一.實(shí)際上,不止在高中階段,數(shù)學(xué)的公理化思想,本質(zhì)就是化歸轉(zhuǎn)化思想.其重要性不言而喻.而在高考題中,一些問(wèn)題通過(guò)轉(zhuǎn)化,可使問(wèn)題較容易地解決,特別是某些壓軸題中,也只有使用化歸思想方能解決.本文就化歸思想在近年立體幾何試題中的應(yīng)用作一探究.

1.在三視圖問(wèn)題中的應(yīng)用

從三視圖的來(lái)源可知,每組三視圖,都是該幾何體在一個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)的投影.所以,三視圖的還原,往往可以轉(zhuǎn)化到相應(yīng)的長(zhǎng)方體來(lái)解決.

例1 (2014全國(guó)高考Ⅰ卷,理12)如圖1，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫(huà)出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度為( ).

圖1 圖2

分析：作為理科選擇題的壓軸題,直接靠想象就得到比較準(zhǔn)確的直觀圖,是很困難的.但如果轉(zhuǎn)化到一個(gè)正方體去分析,可以比較容易得到該幾何體為三棱錐(圖2),而且利用正方體中的垂直關(guān)系可以快速地算出相應(yīng)的棱長(zhǎng),進(jìn)而選出正確的答案C.當(dāng)然,如何在正方體中,快速用排除法選出幾何體的頂點(diǎn),是需要訓(xùn)練的.

圖3

如何轉(zhuǎn)化到長(zhǎng)方體內(nèi)來(lái)做？需要學(xué)生在理解三視圖的本質(zhì)上，有意識(shí)地從化歸轉(zhuǎn)化的角度去思維．

2.在外接球問(wèn)題上的應(yīng)用

化歸就是要轉(zhuǎn)化到已解決的問(wèn)題，那么外接球已解決的問(wèn)題是什么？主要是，長(zhǎng)方體和直三棱柱的外接球問(wèn)題．長(zhǎng)方體外接球的球心就是長(zhǎng)方體的中心，即體對(duì)角線的中點(diǎn)．而直三棱柱的外接球球心，就是兩底面外心連線的中點(diǎn)．

圖4 圖5

例4 (2010年全國(guó)高考大綱卷，理12)已知在半徑為2的球面上有A、B、C、D四點(diǎn)，若AB=CD=2,則四面體ABCD的體積的最大值為( ).

分析：若正面去做，比較難以找到入手點(diǎn)．但若能抓住AB=CD，這個(gè)關(guān)鍵條件，轉(zhuǎn)化到長(zhǎng)方體去分析，問(wèn)題則迎刃而解．

小結(jié)：能轉(zhuǎn)化到長(zhǎng)方體來(lái)解決的外接球問(wèn)題，有兩類，一類是有線面垂直關(guān)系的；第二類就是有三對(duì)對(duì)邊相等的．

3.在夾角問(wèn)題中應(yīng)用

兩直線平行,則這兩直線與同一直線或平面的夾角是相等的.所以直線與其他線或面的夾角,可以轉(zhuǎn)化到其平行線來(lái)求.

例5 (2016全國(guó)高考Ⅰ卷,理11)平面α過(guò)正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，則m，n所成角的正弦值為( ).

圖6

分析:由已知得,平面α是確定的,但顯然比較難畫(huà)出來(lái),即便畫(huà)出來(lái),與另外兩個(gè)平面的交線m和n也不好畫(huà).故而轉(zhuǎn)化到找m和n的平行線來(lái)做.

如圖6，易得平面A1BD

遇到難題時(shí)，懂得轉(zhuǎn)化到其他已經(jīng)解決的問(wèn)題來(lái)做，這是意識(shí)的問(wèn)題，通過(guò)較長(zhǎng)時(shí)間的培養(yǎng)即可形成．而轉(zhuǎn)化到何種問(wèn)題來(lái)解，則是能力問(wèn)題，它包含了問(wèn)題本質(zhì)的識(shí)別以及常用方法的應(yīng)用這個(gè)兩個(gè)過(guò)程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和邏輯推理等核心素養(yǎng)．該能力的提升，需要教師精心的選題、思路的啟發(fā)和方法的提煉，也需要學(xué)生適量的練習(xí)、不停的感悟和不斷的總結(jié)，缺一不可．