問題 猜測 論證 應(yīng)用
——由兩道不等式例題引發(fā)的探究性學(xué)習(xí)

福建省莆田第五中學(xué) (351100)

王 忻

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》指出：數(shù)學(xué)探究即數(shù)學(xué)探究性課題學(xué)習(xí)，是指學(xué)生圍繞某個數(shù)學(xué)問題，自主探究、學(xué)習(xí)的過程.這個過程包括：觀察分析數(shù)學(xué)事實(shí)，提出有意義的數(shù)學(xué)問題，猜測、探求適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)論或規(guī)律，給出解釋或證明，并應(yīng)用所得結(jié)論解決有關(guān)問題.

本文從兩道教材例題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)，讓學(xué)生經(jīng)歷這種在教師引導(dǎo)下的“問題、猜測、論證、應(yīng)用”探究性課題學(xué)習(xí)過程.

一、問題呈現(xiàn)

題1 (人教A版選修4—5《不等式選講》第21頁例1)已知a,b都是正數(shù)，且a≠b，求證a3+b3>a2b+ab2.

題2 (湘教版選修4—5《不等式選講》第8頁例2)已知a,b∈R,求證a4+b4≥a3b+ab3.

二、猜測、論證問題的推廣

上述命題及推論中的不等式僅為二元不等式，能否推廣到多元？

由命題1、2及其推論能否猜測更一般的結(jié)論？

(如果條件許可，可引導(dǎo)學(xué)生仿照上述證明方法加以論證，證明過程略)

三、探究結(jié)論的應(yīng)用

以上命題及其推論具有廣泛的應(yīng)用，可引導(dǎo)學(xué)生用之解決一類有關(guān)的數(shù)學(xué)問題.，使一類頗具難度的數(shù)學(xué)問題化難為易、化繁為簡，輕松獲解.如在命題2中取h=2,k=3立得日本津田塾大自主招生教材試題：已知a,b,c均為正數(shù)，則(a2+b2+c2)(a3+b3+c3)≤3(a5+b5+c5)；在命題3的推論中取h=n,k=1立得美國大眾數(shù)學(xué)雜志1991(4)征解題：

例1 (《數(shù)學(xué)通報(bào)》2012年第8期數(shù)學(xué)問題2078)已知正實(shí)數(shù)x,y滿足x7+y7=x3+y3,求證x4+y4≤2.

類似地，容易解決(《數(shù)學(xué)教學(xué)》數(shù)學(xué)問題443)設(shè)a,b是正數(shù)，且a1996+b1996=a1994+b1994,求證a2+b2≤2.

例7 (2005年格魯吉亞集訓(xùn)隊(duì)試題)已知a,b,c>0，且abc=1，求證a3+b3+c3≥ab+bc+ca.

類似地，容易解決(《數(shù)學(xué)通報(bào)》數(shù)學(xué)問題1128：設(shè)a,b,c都是正實(shí)數(shù)，證明：

例8 (2013年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽浙江省預(yù)賽試題)設(shè)a,b,c∈R，且ab+bc+ca≥3，證明a5+b5+c5+a3(b2+c2)+b3(c2+a2)+c3(a2+b2)≥9.

以上引導(dǎo)學(xué)生通過對兩道教材例題的觀察、分析，猜測適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)論，給出證明，揭示了問題的本質(zhì)和規(guī)律，并使一系列有關(guān)問題得到了簡捷解決.這有助于學(xué)生初步了解數(shù)學(xué)結(jié)論產(chǎn)生的過程，體驗(yàn)創(chuàng)造的激情，有助于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、解決問題的能力，有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)造能力.