提升建模素養(yǎng) 駕馭數(shù)學(xué)高考

安徽淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 (235000)

張雨彤 張 昆

數(shù)學(xué)模型是一種運(yùn)用數(shù)理邏輯方法和數(shù)學(xué)語言建構(gòu)的數(shù)學(xué)模式，也是解決問題的重要途徑.通過建立數(shù)學(xué)模型，可以培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識，鍛煉學(xué)生從現(xiàn)實(shí)的生活背景中提煉相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，提出問題，綜合與靈活地應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識、思想方法，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來，選擇有效的方法和手段分析信息，進(jìn)行獨(dú)立的思考、探索和研究，提出解決問題的思路，將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并加以解決.依據(jù)2017年新版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》建議，數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)，這更是將數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)放在了高中數(shù)學(xué)更為重要的地位上.所以，將數(shù)學(xué)與客觀實(shí)際問題聯(lián)系起來，通過實(shí)際問題抽象出數(shù)學(xué)表達(dá)式，并能夠聯(lián)系實(shí)際求解模型，應(yīng)用模型，也一直是高考考查的熱點(diǎn)問題.

一、已知模型求解問題

根據(jù)解決的實(shí)際問題不同，數(shù)學(xué)模型多種多樣，包括概率模型、線性回歸模型、三角函數(shù)模型等等.然而本質(zhì)上，數(shù)學(xué)模型就是系統(tǒng)的某種特征的本質(zhì)的數(shù)學(xué)表達(dá)式(或是用數(shù)學(xué)術(shù)語對部分現(xiàn)實(shí)世界的描述).所以，在題目已給數(shù)學(xué)表達(dá)式的情況下，直接用求解函數(shù)的思路去思考求解數(shù)學(xué)表達(dá)式即可.

(1)當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時(shí)，公交群體的人均通勤時(shí)間少于自駕群體的人均通勤時(shí)間？

(2)求該地上班族S的人均通勤時(shí)間g(x)的表達(dá)式；討論g(x)的單調(diào)性，并說明其實(shí)際意義.

圖1

(1)分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值；

(2)你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由.

說明：高中階段，為了更好地將實(shí)際問題與數(shù)學(xué)問題相聯(lián)系，朝著建模邁出的第一步，就是將問題情境化，聯(lián)系數(shù)學(xué)模型與現(xiàn)實(shí)實(shí)際問題，這樣把數(shù)學(xué)情境化的嘗試可以讓數(shù)學(xué)更有現(xiàn)實(shí)關(guān)聯(lián)性且更有趣[2].每一個(gè)數(shù)學(xué)模型，它的實(shí)際意義可能有許許多多，就像之前學(xué)過的導(dǎo)數(shù)定義是實(shí)際問題中所有變化率在數(shù)學(xué)上的反映一樣，同一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式可以被賦予很多的現(xiàn)實(shí)意義，所以，在模型的預(yù)測值判斷上，一定會選擇用數(shù)學(xué)表達(dá)式計(jì)算出偏差較小的那個(gè)值.

二、依據(jù)信息建立模型

數(shù)學(xué)建模完全不同于其他數(shù)學(xué)分支，它不是“學(xué)”數(shù)學(xué)，而是“學(xué)著用”數(shù)學(xué).數(shù)學(xué)建模是把數(shù)學(xué)和客觀實(shí)際問題聯(lián)系起來的紐帶.所以，在解高考題時(shí)，可以通過對題目中的信息進(jìn)行整理與分析，找出其中的內(nèi)在規(guī)律，抓住問題的主要矛盾，提出假設(shè)，經(jīng)過抽象簡化，建立反映實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系式(數(shù)學(xué)模型)，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法和技巧創(chuàng)新地分析和解決問題.

例3 (2018江蘇卷·17)某農(nóng)場有一塊農(nóng)田，如圖2所示，它的邊界由圓O的一段圓弧MPN(P為此圓弧的中點(diǎn))和線段MN構(gòu)成.已知圓O的半徑為40米，點(diǎn)P到MN的距離為50米，先規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個(gè)溫室大棚，大棚Ⅰ內(nèi)的地塊形狀為矩形ABCD，大棚Ⅱ內(nèi)的地塊形狀為△CDP，要求A，B均在線段MN上，C,D均在圓弧上，設(shè)OC與MN所成的角為θ.

圖2

(1)用θ分別表示矩形ABCD和△CDP的面積，并確定sinθ的取值范圍；

(2)若大棚Ⅰ內(nèi)種植甲種蔬菜，大棚Ⅱ內(nèi)種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4:3，求當(dāng)θ為何值時(shí)，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大.

說明：當(dāng)我們面臨實(shí)際問題時(shí)，一般情況下，對于學(xué)生而言，相對來說問題所提供的信息雜亂無章，不是輕而易舉就能理出頭緒的.要想真正解決實(shí)際問題，就必須通過意識機(jī)能、支點(diǎn)信息生成結(jié)構(gòu)輪廓、記憶庫知識框架對比等一系列作用(如圖3所示)[3]，這種知識框架其實(shí)就是數(shù)學(xué)模型，找到了恰如其分的數(shù)量關(guān)系式(數(shù)學(xué)模型)來表示，然后再通過模型求解與分析，運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法和技巧創(chuàng)新地分析和解決問題.

圖3

例4 (2018全國高考數(shù)學(xué)卷Ⅰ·20)一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品.檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn).設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立.

(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)，求f(p)的最大值點(diǎn)p0.

(2)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的p0作為p的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用.

(ⅰ)若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求EX；

(ⅱ)以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？

為二項(xiàng)分布，設(shè)一箱產(chǎn)品花的費(fèi)用為X，則其分布列如下.

X025P910110

說明：概率模型只是數(shù)學(xué)模型中的一個(gè)類型，想要真正駕馭高考數(shù)學(xué)，必須要在頭腦中建立一個(gè)完整的數(shù)學(xué)建模體系.建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟如下：(1)提出問題并用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言加以表述；(2)分析各種因素，依據(jù)題目找出內(nèi)在規(guī)律；(3)建立數(shù)學(xué)表達(dá)式(數(shù)學(xué)模型)；(4)按數(shù)學(xué)模型進(jìn)行數(shù)學(xué)推導(dǎo)，得出有意義的數(shù)學(xué)結(jié)果；(5)對數(shù)學(xué)結(jié)論進(jìn)行分析，若符合要求，可以將數(shù)學(xué)模型一般化和體系化，應(yīng)用在數(shù)學(xué)預(yù)測等多種數(shù)學(xué)功能中.

三、結(jié)語

建模素養(yǎng)是考核數(shù)學(xué)應(yīng)用的一項(xiàng)核心素養(yǎng)，它是通過將理論性的數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)世界中的過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，并且經(jīng)由此，展示學(xué)生的實(shí)用性價(jià)值，在高考試題中滲透廣泛，要引起廣大數(shù)學(xué)教師的高度重視，并設(shè)法在教學(xué)設(shè)計(jì)中滲透這種數(shù)學(xué)建模思想意識，啟發(fā)學(xué)生形成具體的數(shù)學(xué)建模技能，積累數(shù)學(xué)建模的經(jīng)驗(yàn).因此，在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生在一些實(shí)際問題上去發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，建立數(shù)學(xué)模型求解，最后解決問題，可以幫助學(xué)生應(yīng)對與駕馭數(shù)學(xué)高考.對此，我們高三數(shù)學(xué)教師應(yīng)該思之再思，慎之又慎！