懸鏈線形斷面正常水深的直接計(jì)算公式

許曉陽 ，張根廣，陳學(xué)彪，劉 余，張子鈺

(西北農(nóng)林科技大學(xué)水利與建筑工程學(xué)院，陜西 楊凌 712100)

懸鏈線形斷面不僅具有在施工、制模中易于計(jì)算和控制的優(yōu)點(diǎn)，還具有防止土基凍脹破壞、抵抗外水壓力、受力條件好、輸沙率高、過水能力強(qiáng)及抵抗沖刷性能好等優(yōu)點(diǎn)[1,2]，因此，懸鏈線形渠道在水利水電和灌溉排水工程中得到越來越廣泛的應(yīng)用。

正常水深是工程設(shè)計(jì)和水力計(jì)算中一個(gè)重要參數(shù)，在實(shí)際工程中應(yīng)用頻繁，且有很高的精度要求。近年來，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)一些簡(jiǎn)單過水?dāng)嗝嬲Ｋ畹姆治鲇?jì)算進(jìn)行了深入研究，取得了較為豐富的研究成果，例如梯形斷面[3-6]、拋物線形斷面[7-12]和圓形斷面[13-15]等。對(duì)于懸鏈線形斷面正常水深，設(shè)計(jì)流量相應(yīng)正常水深有解析解公式，如馮雪等[1]公式和黃開路等[16]公式，而非設(shè)計(jì)流量相應(yīng)正常水深的計(jì)算需求解超越方程，在理論上無法直接求解，目前，僅有三家公式可供參考，即黃開路等[16]根據(jù)數(shù)學(xué)分析和水力學(xué)原理，得到懸鏈線形橫斷面正常水深求解的迭代公式，需反復(fù)迭代3～4次方可達(dá)到精度要求；滕凱[17]通過引入恰當(dāng)?shù)臒o量綱水深參數(shù)，對(duì)懸鏈線形斷面正常水深基本方程進(jìn)行數(shù)學(xué)變換，采用優(yōu)化擬合的方法得到近似計(jì)算公式；文輝等[18]通過對(duì)懸鏈線形斷面均勻流基本方程進(jìn)行數(shù)學(xué)變換，對(duì)引入的無量綱參數(shù)與無量綱水深的關(guān)系進(jìn)行分析，應(yīng)用優(yōu)化擬合原理得到擬合計(jì)算公式，計(jì)算精度不高是上述3家公式普遍存在的問題。綜上所述，有必要對(duì)懸鏈線形斷面正常水深的計(jì)算做進(jìn)一步的研究。首先，依據(jù)懸鏈線形斷面幾何特征、水力要素和正常水深基本方程，得到設(shè)計(jì)流量相應(yīng)正常水深的解析解公式；其次，對(duì)于非設(shè)計(jì)流量相應(yīng)正常水深，通過引入恰當(dāng)?shù)臒o量綱參數(shù)，導(dǎo)出懸鏈線形渠道正常水深的迭代計(jì)算公式，同時(shí)利用優(yōu)化擬合原理得到初值計(jì)算公式，將初值函數(shù)代入迭代計(jì)算公式得到正常水深直接計(jì)算公式。

1 正常水深的基本計(jì)算公式

根據(jù)《水力學(xué)》[19]知，正常水深的基本方程為：

(1)

式中：Q為渠道通過流量，m3/s；WP為濕周，m；A為過水?dāng)嗝婷娣e，m2；n為渠道糙率系數(shù)；i為渠道設(shè)計(jì)坡降。

1.1 懸鏈線形斷面幾何特征及水力要素

懸鏈線形斷面過水?dāng)嗝嫒鐖D1所示。

圖1 懸鏈線形過水?dāng)嗝鍲ig.1 catenary-shaped cross section

懸鏈線形斷面過水?dāng)嗝媲€方程為：

(2)

設(shè)過水?dāng)嗝鎸挾葹锽，則過水?dāng)嗝嫠σ胤謩e為：

(3)

(4)

(5)

式中：a為懸鏈線形斷面形狀參數(shù)。

由式(5)可得：

(7)

(8)

將式(8)代入式(3)可得：

(9)

將式(6)、(7)、(8)代入式(4)可得：

(10)

1.2 懸鏈線形斷面設(shè)計(jì)流量相應(yīng)正常水深的解析解

在設(shè)計(jì)懸鏈線形斷面時(shí)，a通常不給定，而是給出設(shè)計(jì)流量相應(yīng)正常水深的水面寬度B和a的比值η，即B/a=η。

將式(3)、(4)代入式(1)，整理得：

(11)

由式(11)可直接求得a的值，進(jìn)而可由式(5)直接計(jì)算正常水深h的值，即：

(12)

在懸鏈線形斷面的設(shè)計(jì)中，根據(jù)要求選定η的值，然后將n、Q、i、η的值代入式(12)，即可求得設(shè)計(jì)流量相應(yīng)正常水深h的值。

1.3 懸鏈線形斷面非設(shè)計(jì)流量相應(yīng)正常水深公式的推導(dǎo)

將式(9)、(10)代入式(1)，整理可得：

(13)

為方便分析，令：

(14)

式中：u為無量綱正常水深；k為無量綱綜合參數(shù)。

將式(14)代入式(13)整理可得：

(15)

式(15)為懸鏈線形斷面非設(shè)計(jì)流量相應(yīng)正常水深的基本計(jì)算公式，即相應(yīng)正常水深h的隱函數(shù)方程。

2 懸鏈線形斷面非設(shè)計(jì)流量相應(yīng)正常水深的直接計(jì)算公式

2.1 無量綱正常水深u的取值范圍

由文獻(xiàn)[4]知，懸鏈線形斷面為水力最佳斷面的條件是：h/a=1.592 1，即u=2.592 1。在設(shè)計(jì)中為同時(shí)獲得優(yōu)良的水力學(xué)條件和較好的經(jīng)濟(jì)性，應(yīng)該綜合考慮水力最佳斷面和經(jīng)濟(jì)最優(yōu)斷面這兩個(gè)因素，本文考慮這一工程實(shí)際，以h/a=1.592 1為中心，延展其取值范圍[h/5a,5h/a]=[0.318,7.961]作為h/a的取值范圍，而對(duì)于懸鏈線形斷面非設(shè)計(jì)流量的正常水深，取u∈[1.3,9.0]作為本文公式的適用范圍。

2.2 正常水深的迭代計(jì)算公式

由式(15)整理可得迭代公式為：

(16)

2.3 迭代公式收斂性的判斷

由《數(shù)值分析》[20]知，對(duì)于局部收斂的判斷條件為：u=φ(u)有不動(dòng)點(diǎn)u*，若存在u*的某個(gè)鄰域|u-u*|≤δ，使迭代函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)在該鄰域內(nèi)連續(xù)，且|φ′(u*)|<1，則該鄰域內(nèi)任一點(diǎn)為初值的迭代都收斂于u*。

令：

(17)

對(duì)式(17)進(jìn)行一階求導(dǎo)可得：

(18)

將式(15)代入式(18)整理可得：

(19)

(20)

對(duì)y求極限：

(21)

由式(20)知，當(dāng)u>1時(shí)，y為增函數(shù)，由式(21)知，當(dāng)u右趨近1時(shí)，y=0，則當(dāng)u>1時(shí)，y>0時(shí)，可得：

(22)

令z=0.4u2/(u2-1)，對(duì)z求導(dǎo)：

(23)

由式(23)知，當(dāng)u>1時(shí)，函數(shù)z為減函數(shù)，且當(dāng)z=1時(shí)，u=1.290 994 45，則u∈[1.3,∞)時(shí)：

(24)

由上述分析可知，在u∈[1.3,∞)范圍內(nèi)，迭代式(16)對(duì)任意u均收斂。

2.4 初值函數(shù)的選取及正常水深的直接計(jì)算公式

已知u∈[1.3,9.0]，即k∈[0.164 5，7.093 8]，在u的取值范圍內(nèi)，以一定的步長(zhǎng)值給定一組數(shù)值，將其代入式(15)中，即可求得相應(yīng)的無量綱綜合參數(shù)k值。運(yùn)用MATLAB，采用最小二乘法求解目標(biāo)函數(shù)，對(duì)散點(diǎn)(k、u)進(jìn)行擬合分析，在擬合過程中根據(jù)散點(diǎn)圖的曲線形狀選取合適的用戶模型，使得擬合公式相關(guān)系數(shù)最大，得到無量綱正常水深u的近似計(jì)算公式：

u=1.087k0.741 1+0.230 8k1.367+0.995 9

(25)

當(dāng)斷面形狀參數(shù)a、流量Q、糙率n和坡降i已知的條件下，由式(14)可計(jì)算k的值，然后將k值代入式(25)求得初值u0，然后由式(14)、(16)得到正常水深的直接計(jì)算公式，即：

(26)

3 公式誤差分析及比較

3.1 本文公式誤差分析

在工程適用范圍內(nèi)，即u∈[1.3,9.0]，當(dāng)已知a、Q、n和i時(shí)，k可由式(14)求得，真值u可由式(15)相應(yīng)求得，而在進(jìn)行誤差分析時(shí)，在u∈[1.3,9.0]范圍內(nèi)，給出無量綱正常水深u的值，根據(jù)式(14)、(15)、(25)、(26)，反求無量綱正常水深和正常水深，對(duì)計(jì)算值的誤差分析采用相對(duì)誤差來描述，見圖2和圖3。

圖2 初值公式誤差分析Fig.2 Relative error analysis of initial value formula

圖3 迭代一次公式誤差分析Fig.3 Error analysis of the first iteration formula

由圖2可見，當(dāng)無量綱綜合參數(shù)k∈[0.164 5，7.093 8]時(shí)，無量綱正常水深初值最大相對(duì)誤差的絕對(duì)值小于0.014%，正常水深初值的最大計(jì)算誤差絕對(duì)值小于0.054%；迭代一次之后，無量綱正常水深最大相對(duì)誤差的絕對(duì)值小于0.002 6%，正常水深的最大計(jì)算誤差絕對(duì)值小于0.008 3%，可見，本公式為高精度計(jì)算公式，完全滿足工程需要。

3.2 各家公式對(duì)比分析

在目前為止，對(duì)于懸鏈線形斷面非設(shè)計(jì)流量相應(yīng)正常水深的計(jì)算，共有3家公式可供參考，各家公式對(duì)比分析情況見表1。

由表1可見，設(shè)計(jì)流量相應(yīng)相正常水深的計(jì)算值為精確解，而對(duì)于非設(shè)計(jì)流量相應(yīng)正常水深計(jì)算公式，本文初值計(jì)算公式精度最高，高于黃開路等[16]公式、滕凱[17]公式和文輝等[18]公式，而迭代一次的直接計(jì)算公式精度數(shù)量級(jí)達(dá)到10-3。

4 應(yīng)用舉例

選用文獻(xiàn)[21]算例：某渠道橫斷面的形狀為懸鏈線形, 其設(shè)計(jì)流量Q=3 m3/s，渠道坡降i=1/1 500，糙率n=0.014，選用η=3.315。

表1 懸鏈線形斷面非設(shè)計(jì)流量相應(yīng)正常水深計(jì)算公式統(tǒng)計(jì)表Tab.1 statistics table of normal water depth calculation formula for undesigned flow rate of catenary-shaped section

注 ：滕凱[17]公式，當(dāng)u∈[1.3,9.0]時(shí)，正常水深h最大相對(duì)誤差絕對(duì)值為0.162%。

在工程設(shè)計(jì)時(shí)，Q為設(shè)計(jì)流量，本文采用設(shè)計(jì)流量相應(yīng)正常水深計(jì)算公式，得到解析解，同時(shí)采用非設(shè)計(jì)流量相應(yīng)正常水深計(jì)算公式，計(jì)算正常水深，對(duì)公式精度進(jìn)行驗(yàn)證，計(jì)算步驟如下：

(1)當(dāng)已知η、Q、n和i時(shí)，由式(12)可得，該渠道正常水深的精確解為h=1.308 82 m。

(2)將η值代入式(11)，可得a=0.762 56 m。

(3)在a、Q、n和i已知的條件下，由式(14)確定k值，k=1.363 1。

(4)將k值代入式(25)，即可得到迭代初值u0=2.716 518，由式(14)可得正常水深h0=1.308 948 m，則相對(duì)誤差為0.009 78%。

(5)將迭代初值u0代入直接計(jì)算公式(26)，得u1=2.716 384，由式(14)可得正常水深h1=1.308 456 m，則相對(duì)誤差為0.001 96%。

5 結(jié) 語

依據(jù)懸鏈線形斷面幾何特征、水力要素和正常水深基本方程，得到設(shè)計(jì)流量相應(yīng)正常水深的解析解公式；通過引入恰當(dāng)?shù)臒o量綱參數(shù)，對(duì)正常水深基本方程進(jìn)行數(shù)學(xué)變換，得到正常水深的迭代計(jì)算公式，同時(shí)利用優(yōu)化擬合原理得到正常水深的初值計(jì)算公式，經(jīng)一次迭代得到非設(shè)計(jì)流量相應(yīng)正常水深的直接計(jì)算公式，最后對(duì)公式進(jìn)行誤差分析及比較，結(jié)果表明，在工程適用范圍內(nèi)，初值計(jì)算公式的最大相對(duì)誤差絕對(duì)值小于0.054%，直接計(jì)算公式的最大相對(duì)誤差絕對(duì)值小于0.008 3%，遠(yuǎn)高于現(xiàn)有計(jì)算公式精度，且公式結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)捷、適用范圍廣、物理概念清晰。

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