賦權(quán)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的混合期權(quán)定價(jià)模型

杜姍姍,朱鳳鳴,李芹影,王 浩,周芷薇

（蚌埠學(xué)院理學(xué)院，安徽 蚌埠 233030）

一、引言

有關(guān)期權(quán)定價(jià)問(wèn)題的研究，Black-Scholes[1]于1973年在假設(shè)資產(chǎn)收益服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)的情形下，建立了歐式期權(quán)定價(jià)公式，二人也因此獲得了1997年的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。在其后的四十年多年中，國(guó)內(nèi)外的學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了深入的研究與推廣。實(shí)證分析表明資本市場(chǎng)具有長(zhǎng)程記憶性，因此一些學(xué)者使用具有長(zhǎng)程相依性的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)替代布朗運(yùn)動(dòng)改進(jìn)經(jīng)典的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型，如文獻(xiàn)[2]-[4]等。

作為分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的擴(kuò)張，Bojdecki等[5]首次建立并研究了一類更廣泛的不具有平穩(wěn)增量但具有分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)一些主要性質(zhì)的自相似高斯過(guò)程，它來(lái)自于具有泊松初始條件的分支粒子的占位時(shí)，稱為賦權(quán)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng) (weighted fractional Brownian motion)。所謂賦權(quán)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)是指協(xié)方差函數(shù)為

的中心化高斯過(guò)程，其中

a＞ -1,|b|＜ 1,|b|＜a+1。

當(dāng)a＝0時(shí)，在相差一個(gè)常數(shù)倍數(shù)的意義下，賦權(quán)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)退化為Hurs指數(shù)為的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)。賦權(quán)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)具有許多類似分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)，如自相似性、軌道連續(xù)性、既不是馬爾科夫過(guò)程又不是半鞅。更多此隨機(jī)過(guò)程的知識(shí)請(qǐng)參考文獻(xiàn)[6]-[7]。Sun Yan[8]首次研究了賦權(quán)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的歐式期權(quán)定價(jià)公式，在上述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，本文我們研究賦權(quán)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的混合期權(quán)定價(jià)賦權(quán)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下的混合交換期權(quán)定價(jià)問(wèn)題。在標(biāo)的資產(chǎn)服從幾何賦權(quán)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的情況下，利用保險(xiǎn)精算的方法推導(dǎo)出了期權(quán)的定價(jià)公式。

本文的組織結(jié)構(gòu)如下,第一部分給出了賦權(quán)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的定義及其驅(qū)動(dòng)的期權(quán)定價(jià)公式模型；第二部分得出了混合交換期權(quán)定價(jià)公式；第三部分對(duì)本文進(jìn)行總結(jié)。

二、賦權(quán)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的期權(quán)定價(jià)模型

假設(shè)在金融市場(chǎng)存在著兩種資產(chǎn),一種是債券,另外一種是股票。假設(shè)債券在t時(shí)刻的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為 r；股票在 t時(shí)刻的價(jià)格設(shè) S（t），且股票價(jià)格過(guò)程（t）滿足

其中μ(t)表示期望收益率、σ(t)表示波動(dòng)率和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率表示賦權(quán)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)。

現(xiàn)在考慮時(shí)間區(qū)間為[0,T2]，令{S(t):t≥0}表示完備概率空間(Ω,F,P)上的隨機(jī)過(guò)程{Ft:t≥0},表示S(t)生成的σ-代數(shù),而S(0)＝S是大于零的常數(shù)。

定義1 令t∈[0,T]，價(jià)格過(guò)程S(t)的期望收益率μ定義為，債券的價(jià)格P(t)滿足方程d P（t）＝P(t)rdt，且 P(0)＝ 1,其中 r為 t時(shí)刻的瞬時(shí)利息率。

定義2 期權(quán)的保險(xiǎn)精算定價(jià)等于股票到期日價(jià)格按期望收益率折現(xiàn)的現(xiàn)值與執(zhí)行價(jià)(債券)按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率折現(xiàn)的現(xiàn)值的差,在股票實(shí)際分布的概率測(cè)度下的數(shù)學(xué)期望值。

三、賦權(quán)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下的混合期權(quán)的保險(xiǎn)精算定價(jià)

眾所周知，混合期權(quán)是以期權(quán)為標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán),主要有以下4種:①買權(quán)的買權(quán)；②買權(quán)的賣權(quán)；③賣權(quán)的買權(quán)；④賣權(quán)的賣權(quán).本文主要介紹①買權(quán)的買權(quán),其它幾種混合期權(quán)的公式讀者可以類似推導(dǎo)。

買權(quán)的買權(quán)就是以買權(quán)為標(biāo)的的買權(quán),其到期時(shí)現(xiàn)金流量為：

CCT1＝max[0,C(S(T1),T1)-K]，

其中標(biāo)的買權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)S(t)表示基本標(biāo)的資產(chǎn)t時(shí)的價(jià)格,t∈[0,T]；記標(biāo)的買權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為K；標(biāo)的買權(quán)的到期時(shí)為T2；標(biāo)的買權(quán)在時(shí)的價(jià)格為C(S(t),t)；混合買權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為K(即買權(quán)的買權(quán)執(zhí)行價(jià)格)；T1為混合買權(quán)的到期時(shí)0＜T1＜T2，即混合買權(quán)的到期時(shí)在標(biāo)的買權(quán)的到期時(shí)之前).

定義3 當(dāng)期權(quán)被執(zhí)行時(shí),混合期權(quán)的保險(xiǎn)精算價(jià)值CC(S,0)為：

假設(shè)股票的價(jià)格過(guò)程{S(t):t≥0}滿足方程(1),其中常數(shù)μ,σ分別表示股票價(jià)格的期望收益率和波動(dòng)率,B a,b t 表示賦權(quán)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)。

證明 由（1）式可知

定理1 假設(shè){S(t):t≥0}滿足方程(1)且風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在有效期內(nèi)無(wú)紅利支付,則

其中

證明 因?yàn)?/p>

其中

四、結(jié)論

本文利用保險(xiǎn)精算的方程研究了賦權(quán)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)符合的金融市場(chǎng)的交換期權(quán)定價(jià)問(wèn)題，給出了期權(quán)定價(jià)公式。是對(duì)經(jīng)典布朗運(yùn)動(dòng)及分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的金融模型的深入研究，為金融市場(chǎng)復(fù)合期權(quán)的定價(jià)提供了理論依據(jù)。未來(lái)我們將進(jìn)一步研究賦權(quán)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的亞式、美式等類型期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題。