彈道導(dǎo)彈過關(guān)機(jī)點(diǎn)狀態(tài)估計(jì)方法研究*

杜廣洋，鄭學(xué)合

(1. 北京電子工程總體研究所，北京 100854；2. 中國航天科工集團(tuán)有限公司 第二研究院，北京 100854)

0 引言

對彈道導(dǎo)彈目標(biāo)探測跟蹤信息的運(yùn)用是彈道導(dǎo)彈防御的基礎(chǔ)。當(dāng)雷達(dá)對彈道導(dǎo)彈目標(biāo)進(jìn)行跟蹤時(shí)，主動段和自由飛行段的運(yùn)動學(xué)模型差別很大，文獻(xiàn)[1-4]采用不同的彈道導(dǎo)彈助推運(yùn)動模型進(jìn)行跟蹤，文獻(xiàn)[5-7]研究了雷達(dá)跟蹤彈道導(dǎo)彈自由飛行段問題。很難用單個(gè)的數(shù)學(xué)模型來描述這2個(gè)運(yùn)動階段，因此文獻(xiàn)[8-10]提出利用交互式多模型(IMM)方法，多濾波器之間通過模型概率更新實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)的自適狀態(tài)估計(jì)，同時(shí)利用模型概率實(shí)現(xiàn)了對過關(guān)機(jī)點(diǎn)狀態(tài)的估計(jì)。但是，交互式多模型方法計(jì)算復(fù)雜，并且與雷達(dá)探測耦合緊密，難以在類似指控中心這樣的信息綜合處理機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)。根據(jù)彈道導(dǎo)彈防御的需要，除了要求進(jìn)行穩(wěn)定跟蹤外，還希望能夠利用雷達(dá)跟蹤信息完成對導(dǎo)彈精密軌跡、彈道參數(shù)、識別信息等的估計(jì)。因此，對導(dǎo)彈過關(guān)機(jī)點(diǎn)狀態(tài)的準(zhǔn)確及時(shí)估計(jì)，對于跟蹤信息處理方式的切換意義重大。

本文從指控信息處理中心的應(yīng)用出發(fā)，基于雷達(dá)跟蹤信息，提出將推力加速度作為特征量估計(jì)導(dǎo)彈過關(guān)機(jī)點(diǎn)狀態(tài)，并推導(dǎo)了觀測方程。針對觀測方程非線性問題，通過對多個(gè)隨機(jī)變量的線性化，利用遞推最小二乘(RLS)算法獲得了推力加速度的遞推估計(jì)。通過誤差分析，給出了過關(guān)機(jī)點(diǎn)狀態(tài)估計(jì)門限計(jì)算方法。仿真表明，該估計(jì)方法能夠給出比較理想的過關(guān)機(jī)點(diǎn)狀態(tài)估計(jì)結(jié)果。

1 彈道導(dǎo)彈過關(guān)機(jī)點(diǎn)狀態(tài)的特征量

1.1 推力加速度特征量分析

1.2 觀測方程

本節(jié)將根據(jù)雷達(dá)跟蹤信息推導(dǎo)推力加速度狀態(tài)的觀測方程。

(1)

式中：μ=3.986 004 418×1014(m3·s-2)為地球引力常數(shù)。

對式(1)求時(shí)間微分可得能量的質(zhì)量/時(shí)間密度為

(2)

文獻(xiàn)[9]通過推力和阻力參量敏感度分析得出結(jié)論，與推力相比，阻力的敏感度較低，作用可忽略。所以，式(2)可近似為Emt≈vTap，即向量v與向量ap的內(nèi)積。設(shè)向量v與向量ap的夾角為α，即攻角，那么導(dǎo)彈完成程序轉(zhuǎn)彎后，推力加速的導(dǎo)彈一般攻角α控制得很小，推力的方向可近似為沿著導(dǎo)彈的速度方向[12]，即α≈0。通過這2次近似，式(2)可化簡為

(3)

為了求取能量的質(zhì)量/時(shí)間密度Emt，取當(dāng)前時(shí)刻前n組數(shù)據(jù)，則其等間隔線性最小二乘擬合解為

(4)

式中：Δt為數(shù)據(jù)采樣間隔。

將式(4)帶入式(3)即為推力加速度的觀測方程為

(5)

根據(jù)雷達(dá)輸入的位置、速度信息，利用式(5)和式(4)即可計(jì)算當(dāng)前時(shí)刻的推力加速度。從形式上看，推力加速度狀態(tài)量可以看做是能量的質(zhì)量/時(shí)間/速度密度。

2 推力加速度的估計(jì)

2.1 觀測方程的線性化

(6)

(7)

式(7)就是線性化后的推力加速度觀測方程。

,

(8)

2.2 推力加速度的最小二乘估計(jì)及其遞推公式

(9)

為了方便在指控中心計(jì)算，下面給出遞推最小二乘(RLS)公式[14]為

(10)

3 過關(guān)機(jī)點(diǎn)狀態(tài)檢測門限選取

在關(guān)機(jī)時(shí)刻前后，推力加速度ap的退出帶來的運(yùn)動狀態(tài)發(fā)生顯著變化，因此可以通過選取適當(dāng)?shù)臋z測門限判斷彈道導(dǎo)彈目標(biāo)是否過了關(guān)機(jī)點(diǎn)。推力加速度的估計(jì)過程中產(chǎn)生的估計(jì)誤差主要包括2項(xiàng)：①線性化引入的誤差；②最小二乘估計(jì)誤差。其他如推力方向與速度方向重合近似等帶來的誤差均可忽略不計(jì)。

(11)

(12)

將式(11)和式(12)合成為推力加速度估計(jì)誤差為

(13)

式中：

(14)

一般雷達(dá)報(bào)送指控的位置與速度均為估計(jì)結(jié)果，且具有較強(qiáng)的相關(guān)性，工程上為了計(jì)算方便，忽略相關(guān)項(xiàng)(相當(dāng)于誤差容限放大)，則過關(guān)機(jī)點(diǎn)狀態(tài)檢測門限取為

(15)

式中：α為誤差放大系數(shù)。

4 仿真分析

利用典型6 00 km，3 000 km射程彈道導(dǎo)彈理論彈道，通過仿真檢驗(yàn)本文闡述的彈道導(dǎo)彈過關(guān)機(jī)點(diǎn)狀態(tài)估計(jì)方法的有效性。雷達(dá)向指控信息處理中心報(bào)送的狀態(tài)量為具有一定相關(guān)性位置和速度信息。指控信息處理中心根據(jù)雷達(dá)觀測結(jié)果估計(jì)彈道導(dǎo)彈目標(biāo)的過關(guān)機(jī)點(diǎn)狀態(tài)。仿真參數(shù)見表1所示。

表1 仿真參數(shù)

根據(jù)雷達(dá)報(bào)送的觀測結(jié)果，分別計(jì)算2種射程下的彈道導(dǎo)彈目標(biāo)的能量信息，包括：①能量的質(zhì)量密度；②能量的質(zhì)量/時(shí)間密度；③能量的質(zhì)量/時(shí)間/速度密度。仿真結(jié)果見圖2。由圖2a)和圖2b)可見，2種射程下能量的質(zhì)量密度和能量的質(zhì)量/時(shí)間密度差別都很大，在未知射程的情況下，很難根據(jù)雷達(dá)的探測誤差能力給出統(tǒng)一的判決門限，從而有效區(qū)分是否過關(guān)機(jī)點(diǎn)狀態(tài)。由圖2c)可見，在自由飛行段，不同射程下的能量的質(zhì)量/時(shí)間/速度密度觀測結(jié)果是趨于一致的，這就為根據(jù)雷達(dá)的探測誤差能力給出統(tǒng)一的判決門限創(chuàng)造了良好的條件。根據(jù)本文式(3)的論述，能量的質(zhì)量/時(shí)間/速度密度可近似為推力加速度。仿真結(jié)果證實(shí)了本文將推力加速度作為判斷過關(guān)機(jī)點(diǎn)狀態(tài)特征量的正確性。

利用本文提出的推力加速度的估計(jì)方法和檢測門限的選取方法，對表1仿真參數(shù)下的2種射程進(jìn)行了仿真。仿真結(jié)果見圖3。圖3中，橫坐標(biāo)為彈道導(dǎo)彈發(fā)射時(shí)間，縱軸為推力加速度。利用雷達(dá)跟蹤的位置與速度信息，導(dǎo)出推力加速度特征量，如圖3綠色曲線所示。從彈道導(dǎo)彈發(fā)射起始直到自由飛行段，對雷達(dá)觀測導(dǎo)出特征量進(jìn)行RLS遞推估計(jì)，結(jié)果如圖3黑色曲線所示。實(shí)時(shí)檢測門限如圖3紅色曲線所示。從仿真結(jié)果可見：在2種射程條件下，利用雷達(dá)觀測對推力加速度的實(shí)時(shí)估計(jì)結(jié)果與真值吻合程度較好，檢測門限選取合理，過關(guān)機(jī)點(diǎn)狀態(tài)區(qū)分度較好，彈道彈道關(guān)機(jī)后2 s給出了過關(guān)機(jī)點(diǎn)狀態(tài)變化估計(jì)結(jié)果。這一滯后時(shí)間與雷達(dá)輸入的觀測誤差和數(shù)據(jù)率有關(guān)系，觀測誤差越小、數(shù)據(jù)率越高，檢測滯后時(shí)間越短。

從圖3仿真結(jié)果可見，在彈道導(dǎo)彈初始加速段，由于推力加速度尚處于較低水平，其真值低于觀測誤差，因此檢測門限失效。對于初始加速段，本文討論的方法已不再適用。雷達(dá)觀測誤差大小影響體現(xiàn)為不滿足條件的海拔高度不同。在此海拔高度以下，該觀測精度的雷達(dá)將無法準(zhǔn)確判斷關(guān)機(jī)狀態(tài)。

5 結(jié)束語

本文提出了一種利用雷達(dá)跟蹤信息對推力加速度特征量進(jìn)行估計(jì)，從而進(jìn)行過關(guān)機(jī)點(diǎn)狀態(tài)檢測的方法。相比于并行多模型方法，利用本文方法給出的狀態(tài)檢測結(jié)果進(jìn)行跟蹤信息處理方式的切換，極大簡化了處理結(jié)構(gòu)和運(yùn)算量，更容易在指控信息處理中心實(shí)現(xiàn)。仿真表明，該估計(jì)方法給出了比較理想的過關(guān)機(jī)點(diǎn)狀態(tài)估計(jì)結(jié)果。