控制律預(yù)測(cè)的再入滑翔飛行器軌跡預(yù)測(cè)算法*

葉澤浩，畢紅葵，段敏，李凡，朱源才

(1.空軍預(yù)警學(xué)院a.研究生大隊(duì)；b.防空預(yù)警裝備系，湖北 武漢 430019； 2.中國(guó)人民解放軍95876部隊(duì)，甘肅 張掖 734100)

0 引言

臨近空間再入滑翔飛行器(near space reentry gliding vehicle, NSRGV)是一類再入后依靠氣動(dòng)力在臨近空間內(nèi)進(jìn)行無動(dòng)力滑翔，實(shí)現(xiàn)長(zhǎng)時(shí)間遠(yuǎn)距離飛行的飛行器[1-3]。NSRGV具有飛行速度快(一般Ma數(shù)超過5)，飛行距離遠(yuǎn)，機(jī)動(dòng)能力強(qiáng)，軌跡形式復(fù)雜多變等特點(diǎn)，這給當(dāng)前的防空反導(dǎo)預(yù)警系統(tǒng)帶來極大的威脅。而作為防御方需要盡早發(fā)現(xiàn)目標(biāo)，保持連續(xù)跟蹤目標(biāo)，繼而準(zhǔn)確預(yù)測(cè)目標(biāo)彈道，才能及時(shí)制定攔截作戰(zhàn)方案，圓滿得對(duì)目標(biāo)實(shí)施攔截?？梢姅r截的關(guān)鍵在于軌跡的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。因此，研究NSRGV軌跡預(yù)測(cè)算法具有重要的意義。

文獻(xiàn)[4]針對(duì)無動(dòng)力高超聲速飛行器的軌跡預(yù)測(cè)問題，提出了分解集成軌跡預(yù)測(cè)模型。文獻(xiàn)[5]針對(duì)高超聲速滑翔飛行器再入拉起后升阻比呈近線性增長(zhǎng)的特點(diǎn)，提出一種基于升阻比變化規(guī)律的軌跡預(yù)測(cè)算法。文獻(xiàn)[6]基于對(duì)高超聲速飛行器軌跡特性的分析，以廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(generalized regression neural network,GRNN)理論為依據(jù)，對(duì)高超聲速飛行器的軌跡預(yù)測(cè)進(jìn)行研究。

由于NSRGV在巡航滑翔段飛行時(shí)間相對(duì)長(zhǎng)，攔截系統(tǒng)有相對(duì)充裕的反應(yīng)時(shí)間，攔截概率高[7]。因此，本文以NSRGV巡航段為對(duì)象，研究了平衡滑翔和跳躍滑翔2類軌跡的判別方法，并在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了基于控制律預(yù)測(cè)的軌跡預(yù)測(cè)算法，最終實(shí)現(xiàn)了軌跡的預(yù)測(cè)。

1 軌跡預(yù)測(cè)的可行性分析

1.1 飛行器動(dòng)力學(xué)方程

忽略地球自轉(zhuǎn)及非球形攝動(dòng)影響，假設(shè)飛行器的滾轉(zhuǎn)角為0°，根據(jù)受力特性可建立再入飛行器的運(yùn)動(dòng)方程為[8]

(1)

式中：v為飛行器速度;θ為航跡傾角;D為阻力;L為升力;α為攻角;φ為緯度;λ為經(jīng)度;ψ為偏航角;g為重力加速度;m為飛行器質(zhì)量;R為地球半徑。

飛行器飛行過程中受到阻力D和升力L的計(jì)算公式為

(2)

式中：ρ為大氣密度;S為飛行器空氣動(dòng)力參考面積；CD和CL分別為阻力系數(shù)以及升力系數(shù)。

當(dāng)飛行器飛行Ma數(shù)大于8時(shí)，升力系數(shù)可以簡(jiǎn)化為攻角的線性函數(shù)，阻力系數(shù)可以簡(jiǎn)化為攻角的二次函數(shù)，計(jì)算公式為[9]

(3)

1.2 未知量分析及其計(jì)算公式推導(dǎo)

由飛行器動(dòng)力學(xué)方程可以看出，要對(duì)下一時(shí)刻的軌跡進(jìn)行預(yù)測(cè)，需要獲知當(dāng)前時(shí)刻的參數(shù)：h，v，θ，φ，λ，ψ，ρ，m，S，α。對(duì)于防御方來說前6個(gè)參數(shù)都可以直接獲知或通過坐標(biāo)變換間接獲知[10]。所以要實(shí)現(xiàn)后續(xù)的軌跡預(yù)測(cè)，關(guān)鍵在于求解出m，S，α這3個(gè)參量。

(4)

由于面積、質(zhì)量不變，且很短時(shí)間的相鄰升力系數(shù)、阻力系數(shù)、大氣密度以及傾角變化很小，則將式(2)代入至式(4)，整理簡(jiǎn)化后得

(5)

則

(6)

而由式(3)得

(7)

綜上所述，已知相鄰2個(gè)時(shí)刻(k時(shí)刻與k+1時(shí)刻)的目標(biāo)信息，可以得到k時(shí)刻的攻角值與面質(zhì)比，依此類推，就能得到一系列的攻角值與面質(zhì)比。由于參考面積與質(zhì)量都為定值，遂可采用平均法來得出面質(zhì)比并用該面質(zhì)比來近似實(shí)際的面質(zhì)比。同理也可以得到質(zhì)面比。

1.3 巡航段的控制律分析

在巡航段無動(dòng)力滑翔過程中，設(shè)滾轉(zhuǎn)角為0，則以攻角為控制參數(shù)進(jìn)行機(jī)動(dòng)。再入滑翔飛行器在巡航段主要有2種飛行方式：平衡滑翔式和跳躍滑翔式[11]。在初始條件相同的情況下，平衡滑翔式和跳躍滑翔式在攻角的控制律上有很大的不同。

其中在平衡滑翔飛行過程中，航跡傾角θ保持不變[12-13]，即

(8)

結(jié)合方程(2),(3),(8)得

(9)

進(jìn)一步得到控制律：

(10)

對(duì)式(10)進(jìn)行離散化處理后得

α[k]=

(11)

其中在跳躍滑翔飛行過程中由于受到過載、動(dòng)壓和熱流密度等的約束，控制律需盡可能地簡(jiǎn)單。攻角通常采用常值、分段線性以及線性等簡(jiǎn)單函數(shù)來描述。因此跳躍滑翔式主要考慮4種控制方式：常值攻角(以固定攻角飛行)、最大升阻比(由式(3)可得，升阻比只與攻角有關(guān)，因此保持最大升阻比飛行時(shí)的攻角為定值。最大升阻比為：3.625，對(duì)應(yīng)的攻角值為：α=0.200 rad)、攻角為時(shí)間的線性函數(shù)(攻角隨時(shí)間呈簡(jiǎn)單的線性關(guān)系變化)、攻角為速度的分段線性函數(shù)(飛行器在再入的初始階段為了滿足熱流約束一般先采用大攻角飛行，而后緩慢減少攻角，并在拉升后以最大升阻比飛行，以增加航程)[4-5,14]。

綜上，跳躍滑翔的控制方式實(shí)質(zhì)可以歸納為2種：攻角為時(shí)間的線性函數(shù)以及攻角為速度的分段線性函數(shù)。而且，在初始再入拉升后，控制方式更為簡(jiǎn)單，可以描述為：攻角為時(shí)間的線性函數(shù)。

通過上述分析可知，當(dāng)前時(shí)刻的攻角可以得到下一個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)量；平衡滑翔的后續(xù)控制參數(shù)可以根據(jù)式(11)來逐步預(yù)測(cè)，而跳躍滑翔的控制律具有一定的規(guī)律性，可以通過上述規(guī)律性對(duì)于后續(xù)的控制參量進(jìn)行預(yù)測(cè)，進(jìn)而結(jié)合式(3)，(5)預(yù)測(cè)出后續(xù)軌跡。因此軌跡預(yù)測(cè)是可行的。

2 軌跡預(yù)測(cè)算法

對(duì)于防御方來說，目標(biāo)以哪種方式飛行是未知的，所以必須先判別出目標(biāo)的軌跡類型。對(duì)于平衡滑翔軌跡，其航跡傾角變化率為0；而對(duì)于跳躍滑翔軌跡，其航跡傾角會(huì)發(fā)生變化，則可以通過航跡傾角變化率來區(qū)分這2類軌跡。同時(shí)，由于2類軌跡都有一個(gè)初始再入過程，在這個(gè)階段2類軌跡以及軌跡的控制律較為相似，而且跳躍滑翔式的控制律可能會(huì)出現(xiàn)分段情況。因此，軌跡的判別和預(yù)測(cè)應(yīng)在目標(biāo)第一次拉升之后。

對(duì)于平衡滑翔軌跡，其在平衡滑翔階段有個(gè)顯著的特點(diǎn)就是傾角變化率為0，因此可以結(jié)合式(10)來獲得當(dāng)前時(shí)刻的攻角，代入式(3)可以得到升力系數(shù)和阻力系數(shù)，再結(jié)合式(5)就可以獲得下一個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)量，依此類推，就可以預(yù)測(cè)出后續(xù)的攻角和軌跡。對(duì)于跳躍滑翔軌跡攻角變化比較簡(jiǎn)單，而且在第1次拉升后攻角變化表現(xiàn)為時(shí)間的線性函數(shù)，可通過直接線性擬合來得到攻角關(guān)于時(shí)間的變化規(guī)律表達(dá)式。因此，后續(xù)的攻角值都可以預(yù)測(cè)出來，代入式(3)可以得到升力系數(shù)和阻力系數(shù)，再結(jié)合式(5)即可以預(yù)測(cè)后續(xù)時(shí)刻的各狀態(tài)值，最終完成軌跡預(yù)測(cè)。

綜上所述，結(jié)合軌跡判別以及控制律預(yù)測(cè)方法，可以設(shè)計(jì)軌跡預(yù)測(cè)算法步驟如下：

步驟1跟蹤獲取最新的N個(gè)目標(biāo)點(diǎn)跡：{X1,X2,…,Xk,…,XN-1,XN}，并分別坐標(biāo)變換得到對(duì)應(yīng)的參數(shù)：h，v，θ，φ，λ，ψ，ρ。

步驟2軌跡所處階段判斷。判斷傾角變化率是否為0，是則不在初始再入階段，轉(zhuǎn)至步驟4；否則轉(zhuǎn)至步驟3。

步驟3判斷軌跡是否上升，是則不在初始再入階段，轉(zhuǎn)至步驟4；否則轉(zhuǎn)至步驟1。

步驟4跟蹤獲取最新的(記為k+1時(shí)刻)目標(biāo)點(diǎn)跡，并坐標(biāo)變換得到各參數(shù)。

步驟5結(jié)合式(6)計(jì)算出升阻比，并結(jié)合式(7)計(jì)算攻角值，再結(jié)合式(5)計(jì)算出面質(zhì)比與質(zhì)面比。

步驟6判斷跟蹤時(shí)間是否達(dá)到設(shè)置值，是轉(zhuǎn)至步驟7；否則轉(zhuǎn)至步驟4。

步驟7軌跡類型判別。判斷傾角變化率是否為0，是則判斷為平衡滑翔軌跡，轉(zhuǎn)至步驟8；否則，判斷為跳躍滑翔軌跡，轉(zhuǎn)至步驟9。

步驟8平衡滑翔軌跡預(yù)測(cè)。求出質(zhì)面比均值，可以預(yù)測(cè)后續(xù)的質(zhì)面比并結(jié)合式(10)，(3)以及(5)對(duì)后續(xù)攻角及軌跡進(jìn)行預(yù)測(cè)。

步驟9跳躍滑翔軌跡預(yù)測(cè)。求出面質(zhì)比均值，并對(duì)得到的一系列攻角值，擬合出線性攻角變化規(guī)律，進(jìn)而可以預(yù)測(cè)后續(xù)的攻角值和面質(zhì)比，最后結(jié)合方程(3)和(5)預(yù)測(cè)出后續(xù)軌跡。

3 仿真及分析

3.1 仿真條件

根據(jù)高超聲速通用航空飛行器CAV-H[15](common aero vehicle)，設(shè)置飛行器的基本參數(shù)：m=900 kg，S=0.48 m2；初始狀態(tài)設(shè)置為：h0=60 km，v0(Ma數(shù))=12，θ0=0°。仿真時(shí)間設(shè)置為500 s。為了驗(yàn)證算法有效性，設(shè)計(jì)了3條軌跡。

第1條是平衡滑翔軌跡，生成的軌跡結(jié)束初始再入階段時(shí)間大約在10 s。

第2條是攻角-速度分段線性函數(shù)下的跳躍滑翔軌跡：

(12)

生成的軌跡結(jié)束初始再入階段時(shí)間大約在106 s。

第3條是攻角-時(shí)間線性函數(shù)下的跳躍滑翔軌跡：

α2=-2.000×10-4t+0.300 0 rad,

(13)

生成的軌跡結(jié)束初始再入階段時(shí)間大約在110 s。

3.2 軌跡預(yù)測(cè)結(jié)果及分析

假設(shè)預(yù)警系統(tǒng)在目標(biāo)飛行120 s后才檢測(cè)到目標(biāo)并開始穩(wěn)定連續(xù)的跟蹤，跟蹤130 s后，即目標(biāo)飛行250 s后進(jìn)入軌跡預(yù)測(cè)階段，跟蹤采樣周期為0.1 s。

3.2.1 軌跡1跟蹤及預(yù)測(cè)結(jié)果

判別出軌跡1為平衡滑翔軌跡，則得到的預(yù)測(cè)結(jié)果如圖1～3所示。其中圖1為后續(xù)攻角的真實(shí)值與預(yù)測(cè)結(jié)果，兩者最大誤差為1.117×10-2rad。圖2為軌跡跟蹤及預(yù)測(cè)結(jié)果。圖3為經(jīng)-緯-高預(yù)測(cè)誤差，可以看到預(yù)測(cè)誤差隨著預(yù)測(cè)時(shí)間增加而增大，預(yù)測(cè)100 s的誤差為718.1 m；預(yù)測(cè)250 s的誤差為1 593.7 m。

3.2.2 軌跡2跟蹤及預(yù)測(cè)結(jié)果

3.2.3 軌跡3跟蹤及預(yù)測(cè)結(jié)果

綜上所述，該算法能自動(dòng)識(shí)別出軌跡類型，并進(jìn)行軌跡預(yù)測(cè)。3條不同軌跡的攻角與面質(zhì)比(質(zhì)面比)預(yù)測(cè)精度都較高；同時(shí)，隨著預(yù)測(cè)時(shí)間的增加，都表現(xiàn)出誤差的增大，在預(yù)測(cè)時(shí)間100 s的誤差都在1 000 m之內(nèi)，預(yù)測(cè)時(shí)間250 s的誤差在2 500 m以內(nèi)。仿真結(jié)果表明了該算法的有效性。

3.3 影響軌跡預(yù)測(cè)精度的因素分析

為進(jìn)一步研究分析影響軌跡預(yù)測(cè)精度的因素，在上述仿真設(shè)置基礎(chǔ)上，以軌跡3為例，分別仿真分析跟蹤時(shí)長(zhǎng)以及跟蹤起始點(diǎn)對(duì)預(yù)測(cè)精度的影響。

(1) 改變跟蹤時(shí)長(zhǎng)(跟蹤起始點(diǎn)均在120 s處，分別設(shè)置跟蹤時(shí)長(zhǎng)為80，100，130，180 s，則軌跡預(yù)測(cè)分別從200，220，250，300 s開始)，仿真結(jié)果如圖10所示。

從圖10可以看出，4條誤差線的斜率隨著跟蹤時(shí)間的增加而依次減少，這表明，跟蹤時(shí)間越長(zhǎng)，后續(xù)的軌跡預(yù)測(cè)精度越高。但黑藍(lán)2條線斜率相差較小，表明跟蹤時(shí)間并非越多越好，達(dá)到了一定的時(shí)間長(zhǎng)度后，對(duì)于預(yù)測(cè)精度的影響會(huì)趨于穩(wěn)定。

(2) 改變跟蹤起始點(diǎn)(跟蹤起始點(diǎn)分別位于80，120，160，200 s處，跟蹤時(shí)長(zhǎng)均為130 s，則軌跡預(yù)測(cè)分別從210，250，290，330 s開始)，仿真結(jié)果如圖11所示。

從紅、黑、藍(lán)3條線的斜率基本相同可以得出：跟蹤起始點(diǎn)對(duì)于軌跡預(yù)測(cè)誤差影響較??；而對(duì)于紫紅色的線，斜率大于其他3條，那是因?yàn)楦櫰瘘c(diǎn)位于飛行器的初始再入階段，軌跡預(yù)測(cè)算法對(duì)跟蹤有效點(diǎn)的選取是從該階段結(jié)束后開始的，所以其實(shí)質(zhì)是跟蹤時(shí)長(zhǎng)變小了，才影響了其跟蹤精度。綜上，跟蹤起始點(diǎn)對(duì)于預(yù)測(cè)精度的影響在于：跟蹤起點(diǎn)位于初始再入階段會(huì)較大地影響軌跡預(yù)測(cè)的精度，而跟蹤起點(diǎn)位于初始再入階段之后，對(duì)軌跡預(yù)測(cè)精度影響較小。

4 結(jié)論

本文針對(duì)臨近空間再入高超聲速滑翔飛行器巡航段軌跡預(yù)測(cè)問題，提出了一種基于飛行器控制律預(yù)測(cè)的軌跡預(yù)測(cè)方法。通過仿真得出以下結(jié)論：

(1) 雖然高超聲速滑翔飛行器具有不同的飛行方式和控制方式，但是該算法依然有較高的預(yù)測(cè)精度，具有較強(qiáng)的適用性。

(2) 該算法預(yù)測(cè)精度還有一定的提升空間，可以通過適當(dāng)?shù)卦黾痈檿r(shí)長(zhǎng)來提高預(yù)測(cè)精度。

(3) 在獲得目標(biāo)少量的跟蹤數(shù)據(jù)(不需要獲取目標(biāo)整個(gè)周期)情況下，該算法仍具有較高的預(yù)測(cè)精度。因此，這在目標(biāo)受遮擋、地球曲率等不利因素影響下，仍能較好地實(shí)現(xiàn)軌跡預(yù)測(cè)，也有助于解決此類軌跡的連續(xù)跟蹤問題。