在柱面坐標(biāo)系下三重積分計(jì)算法的探討

鄧 進(jìn)

（湖南工程學(xué)院理學(xué)院，湖南 湘潭 411104）

0 引言

三重積分的計(jì)算是多元積分學(xué)中的重要知識(shí)章節(jié)。 教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生往往反映難度很大；困難之處在于將三重積分轉(zhuǎn)化為累次積分時(shí)， 無(wú)法順利地確定累次積分的積分上限和積分下限。 一般教材和已有文獻(xiàn)多是介紹在直角坐標(biāo)下三重積分的計(jì)算方法中的投影法和截面法，[2]介紹了在柱面坐標(biāo)下的投影法，即將積分區(qū)域投影到極坐標(biāo)面上的投影法。 但是， 柱面坐標(biāo)下三重積分的投影法并不完善。 本文給出柱面坐標(biāo)中的新的投影的概念， 并進(jìn)一步探討在柱面坐標(biāo)下將三重積分轉(zhuǎn)化為三次積分的投影法。

1 柱面坐標(biāo)系[1，2]

設(shè)M(x,y,z) 為空間內(nèi)一點(diǎn)，并且設(shè)點(diǎn)M 在坐標(biāo)面xOy 上的投影M'的極坐標(biāo)為(r,θ)，則有序三元數(shù)組(r,θ,z)就叫做點(diǎn)M 的柱面坐標(biāo)(如圖1 所示)。

圖1 柱面坐標(biāo)系

這里規(guī)定r,θ,z 的變化范圍分別為：

0 ≤r<+∞,0 ≤2π,-∞

由圖1 可知，點(diǎn)M 的直角坐標(biāo)(x,y,z)和柱面坐標(biāo)(r,θ,z)的關(guān)系為：

x=rcosθ,y=rsinθ,z=z

柱面坐標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo)面分別為：

r 為常數(shù)：以z 軸為中心軸的圓柱面；

θ 為常數(shù)：過(guò)z 軸的半平面；

z 為常數(shù)：與xOy 面平行的平面.

不難知道， 柱面坐標(biāo)下三重積分的體積微元dv=rdrdθdz，因此利用可得柱面坐標(biāo)下三重積分的形式為：

2 投影法

[2]中詳細(xì)介紹了柱面坐標(biāo)下三重積分的投影法，即將積分區(qū)域投影到極坐標(biāo)面并進(jìn)一步將三重積分轉(zhuǎn)化為三次積分。

下面介紹一種新的投影法。

②石孝友《卜算子》(見(jiàn)也如何暮)：雙調(diào)44字，上闋4句3仄韻，下闋4句3仄韻。句式：5575。5575。

圖2 在半平面內(nèi)的投影示意圖

定義1 設(shè)θ=θ0為固定的半平面，過(guò)點(diǎn)M 作垂直于z軸的平面，該平面與z 軸的交點(diǎn)為O'，在該平面內(nèi)以O(shè)'為 圓 心， 以|O'M|為 半 徑 作 圓 交 半 平 面θ=θ0于 點(diǎn)M'，稱點(diǎn)M'為點(diǎn)M 在半平面內(nèi)θ=θ0的投影(如圖2 所示)。

將空間區(qū)域Ω 內(nèi)任一點(diǎn)均投影到半平面θ=θ0上，得到空間區(qū)域Ω 在半平面θ=θ0上的投影區(qū)域D。

一般而言，選取θ=0 為所需的固定半平面。

此 時(shí)， 區(qū) 域Ω 的 邊 界 面 上 有 兩 個(gè) 曲 面θ=θ1(r,z)，θ=θ2(r,z)此外，還有可能有一部分是以為中心軸，由投影區(qū)域D 的邊界曲線繞軸旋轉(zhuǎn)而得到的旋轉(zhuǎn)曲面的一部分。 如圖3 和圖4 所示的兩種情況。

圖3 區(qū)域Ω 的邊界面(情形1)

圖4 區(qū)域Ω 的邊界面(情形2)

因此， 空間立體Ω 的質(zhì)量可以看作密度不均勻的平面薄片D(r,z)的質(zhì)量，只需要求出面密度ρ(r,z)即可。 而對(duì)區(qū)域D(r,z)內(nèi)的任一點(diǎn)(r,z)，

從而

因此，

進(jìn)一步，可將外層的二重積分轉(zhuǎn)化為二次積分。

如果投影區(qū)域D(r,z)表示為

則

從而，把三重積分轉(zhuǎn)化為先對(duì)θ，再對(duì)z，最后對(duì)r的三次積分。

如果投影區(qū)域D(r,z)表示為

則

從而，把三重積分轉(zhuǎn)化為先對(duì)θ，再對(duì)r，最后對(duì)z的三次積分。

特別地，如果積分區(qū)域?yàn)椋?/p>

Ω={(r,θ,z)|α ≤θ ≤β,α ≤r ≤b,c ≤z ≤d}

則三重積分可轉(zhuǎn)化為：

綜上所述， 柱面坐標(biāo)下三重積分的投影法可以總結(jié)為一句口訣，即“一投二交三積分”。

在上面公式的推導(dǎo)中， 假定了垂直于z 軸的平面內(nèi)任意以z 軸和該平面的交點(diǎn)為圓心的圓弧與空間區(qū)域Ω 的邊界曲面相交于不超過(guò)兩點(diǎn)(位于Ω 的邊界上的圓弧除外)。 實(shí)際上，對(duì)于更一般的情況以上公式同樣成立， 只需要將分為若干個(gè)滿足上述條件的區(qū)域的和， 然后利用三重積分關(guān)于積分區(qū)域的可加性計(jì)算即可。