數(shù)形結(jié)合

俞潔文

日常教學(xué)中很多問題被膚淺地一帶而過，靜下來思考往往會(huì)有意想不到的收獲.人教版六下P91頁練習(xí)十八第18題是一道星號(hào)題，“用一根長24厘米的鐵絲圍一個(gè)長方體（或正方體）框架.在這個(gè)長方體的表面糊一層紙，怎樣圍用紙最多？”.翻閱教師教學(xué)用書關(guān)于此題有如下分析：讓學(xué)生通過嘗試驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)長方體棱長總和一定的情況下，長、寬、高越接近，即越接近正方體，它的體積越大，表面積越大.當(dāng)長、寬、高分別為2 cm，2 cm，2 cm，圍成正方體時(shí)，表面積最大.教學(xué)建議：可讓學(xué)生假設(shè)具體值并計(jì)算，比較，體會(huì)這一規(guī)律.

一、嘗試列表比較，體會(huì)規(guī)律

分析題中條件，求出長方體的一組長、寬、高之和：24÷4=6（cm）.按照教師用書要求，假設(shè)具體值列表解決應(yīng)該不是難事.

如上表，觀察數(shù)據(jù)猜測得出結(jié)論，當(dāng)長、寬、高分別為2 cm，2 cm，2 cm，圍成正方體時(shí)，表面積最大.根據(jù)上述數(shù)據(jù)的某種屬性，推理得出結(jié)論，至此，這個(gè)問題是圓滿地解決了嗎？伴隨這個(gè)問題的深入研究會(huì)產(chǎn)生哪些有意義的思考？

二、化“立體”為“平面”數(shù)形結(jié)合

（一）化“立體”為“平面”

將長方體展開為6個(gè)長方形的面，6個(gè)面中相對(duì)的面相等，假設(shè)長、寬、高分別用字母a，b，h表示，只要確保三個(gè)面ab+ah+bh之和最大即可.知道長寬高的總和，怎樣確保三個(gè)面之和最大？回到問題原點(diǎn)，已知長方形長與寬的和，長和寬分別是多少時(shí)面積最大？這是三年級(jí)討論過的問題.

假設(shè)一長方形周長12厘米，長寬之和12÷2=6（厘米）如下表：

通過上表得出結(jié)論，長方形長與寬的和一定，當(dāng)長和寬相等時(shí)，長方形面積最大.這一結(jié)論將在“解決三個(gè)面ab+ah+bh之和最大值問題”中奠定基石.

（二）數(shù)形結(jié)合顯神通

將問題轉(zhuǎn)化成“求三個(gè)面ab+ah+bh之和最大”，始終確保三個(gè)面中a與b相等形成正方形，然后調(diào)整h的大小，尋找最大表面積.

已知一組長、寬、高之和為6，確定h是1，則a與b的和是5，根據(jù)上述結(jié)論當(dāng)a=b=2.5時(shí)，長方體的上、下面為正方形，面積最大，此時(shí)表面積為22.5.如①號(hào)圖形所示.

以上，首先將長方體轉(zhuǎn)化為展開的六個(gè)長方形平面，再將問題轉(zhuǎn)化為探究相交于同一頂點(diǎn)的三個(gè)面大小.始終固定三個(gè)面中一個(gè)面為正方形，調(diào)整高度，通過數(shù)形結(jié)合得出了結(jié)論.即：長方體棱長總和一定的情況下，長、寬、高越接近，即越接近正方體，它的體積越大，表面積越大.

比起讓學(xué)生列舉長、寬、高具體數(shù)值，求出表面積加以比較，化“立體”為“平面”，圍繞著某個(gè)需探討的主題，通過數(shù)形結(jié)合對(duì)特例分析和解釋，揭示一般性規(guī)律，從中得出一個(gè)普遍性的結(jié)論，數(shù)形結(jié)合充實(shí)和完善結(jié)論，在思維程度上做了一定的拓展，培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力.

三、數(shù)形結(jié)合“調(diào)整逼近”，尋找最大表面積

給出幾個(gè)具體的、特殊的數(shù)、式或圖形，要求找出其中的變化規(guī)律，從而猜想出一般性的結(jié)論，解題的思路是特殊向一般的轉(zhuǎn)化.除了上面的列表，化“立體”為“平面”，不計(jì)算能找到最大表面積嗎？采用調(diào)整中的調(diào)整逼近會(huì)怎么樣呢？

觀察上表：通過調(diào)整，長寬高越來越接近，表面積越來越大.可以想象，繼續(xù)調(diào)整下去，當(dāng)長寬高相等時(shí)，不能再調(diào)整，此時(shí)表面積最大.結(jié)論：長方體的棱長總和一定，當(dāng)長寬高相等時(shí)，圍成的正方體的表面積最大.數(shù)形結(jié)合“調(diào)整逼近”將計(jì)算遠(yuǎn)遠(yuǎn)拋于身后，同樣尋找最大表面積.

原本看似普通的問題，可以假設(shè)數(shù)值列表解決，長寬高三個(gè)數(shù)據(jù)均發(fā)生變化，比較重探究問題，可以轉(zhuǎn)化為三個(gè)面，確定其中一個(gè)面為正方形，即長等于寬，調(diào)整高獲得結(jié)論;可以調(diào)整逼近不計(jì)算解決問題.在這三個(gè)層次的活動(dòng)中，緊緊抓住長寬高總和一定、抓住“長方形長與寬的和一定，當(dāng)長和寬相等時(shí)，長方形面積最大”這兩個(gè)核心要素.三種不同的思路反映不斷提升的思維方式.

善于深入思考，挖掘普通問題的深刻內(nèi)涵，讓普通變得不普通，用心與孩子們一同學(xué)習(xí)小學(xué)數(shù)學(xué)總是會(huì)有美妙的享受.