巧用反比例函數(shù)中的12|k|求圖形面積

孟祥玲

【摘要】反比例函數(shù)中的k的幾何意義是歷年中考的重要考點之一，它常與三角形、矩形、平行四邊形等圖形的面積結(jié)合，以選擇題和填空題的形式來考查學(xué)生對這一知識點的掌握，需要引起同學(xué)們的重視.現(xiàn)在就以幾個中考題為例向大家詳細(xì)講解，希望能幫助到同學(xué)們.

【關(guān)鍵詞】反比例函數(shù);12|k|;面積

一、推導(dǎo)反比例函數(shù)中的一個重要結(jié)論

如圖1所示，已知反比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖像經(jīng)過點A，過A點作AB⊥x軸，垂足為B.則S△AOB=.

解∵點A在反比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖像上，∴可設(shè)A（x，y），

∴S△AOB=12OB·AB=12|xy|=12|k|.

由此可以得到，過反比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖像上任意一點向坐標(biāo)軸作垂線，以這一點和垂足及坐標(biāo)原點為頂點的直角三角形的面積等于12|k|，且保持不變.這是反比例函數(shù)的一個非常重要的性質(zhì)，可以幫我們快速地解決與反比例函數(shù)相關(guān)的面積問題.

二、反比例函數(shù)中與面積相關(guān)的典型例題

例1反比例函數(shù)y=-3x（x<0）的圖像，如圖2所示，則矩形OAPB的面積是（）.

A.3B.-3C.32D.-32

解S矩形OAPB=2S△AOP=2×12|k|=|k|=|-3|=3.故A正確.

點評：在反比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖像中任取一點，過這個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值|k|.

例2如圖3所示，雙曲線y=-32x（x<0）經(jīng)過ABCO的對角線交點D，已知邊OC在y軸上，且AC⊥OC于點C，則OABC的面積是（）.

A.32

B.94

C.3D.6

解∵點D為ABCO的對角線交點，雙曲線y=-32x（x<0）經(jīng)過點D，AC⊥y軸，

∴S平行四邊形ABCO=4S△COD=4×12|k|=4×12-32=3.故選C.

點評：由于平行四邊形的兩條對角線把圖形分成了四個面積相等的三角形，所以S平行四邊形ABCO=4S△COD，從而借助前面的重要結(jié)論解決問題.

例3如圖4所示，點A是反比例函數(shù)y1=1x（x>0）圖像上一點，過點A作x軸的平行線，交反比例函數(shù)y2=kx（x>0）的圖像于點B，連接OA，OB，若△OAB的面積為2，則k的值為.

解延長BA，與y軸交于點C，

∵AB∥x軸，∴BC⊥y軸，

∵A是反比例函數(shù)y1=1x（x>0）圖像上一點，B為反比例函數(shù)y2=kx（x>0）的圖像上的點，

∴S△AOC=12，S△BOC=k2，

∵S△AOB=2，即k2-12=2，

解得k=5，故答案為5.

點評：本題是一道把反比例函數(shù)和三角形面積結(jié)合的題目，在解決時充分借助重要結(jié)論，把△OAB的面積與k值結(jié)合起來，從而求解問題.

例4如圖5所示，直線y=mx與雙曲線y=kx交于A，B兩點，過點A作AM⊥x軸，垂足為點M，連接BM，若S△ABM=2，則k的值為（）.

A.-2B.2C.4D.-4

解∵直線y=mx與雙曲線y=kx交于A，B兩點，

∴點A與點B關(guān)于原點中心對稱，

∴S△OAM=S△OBM，

而S△ABM=2，∴S△OAM=1，∴12|k|=1，

∵反比例函數(shù)圖像在第二、四象限，

∴k<0，∴k=-2.故選A.

點評：本題考查了反比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖像關(guān)于原點的中心對稱性和系數(shù)k的幾何意義：從反比例函數(shù)y=kx（k≠0）圖像上任意一點向x軸和y軸作垂線，垂線與坐標(biāo)軸所圍成的矩形面積為|k|.

通過以上例題，同學(xué)們應(yīng)該可以感受到利用k值求圖形的面積的題目比較靈活多變，但百變不離其宗，需要同學(xué)們在平時的學(xué)習(xí)中及時總結(jié)和發(fā)現(xiàn)規(guī)律，提高分析和解決問題的能力.