淺談“反證法”在高中數(shù)學(xué)的應(yīng)用

雷紫同

【摘要】反證法，是數(shù)學(xué)中諸多證明方法中的一種重要的證明方法.如今學(xué)生在運(yùn)用反證法解題中，基礎(chǔ)一般的學(xué)生受到了思維能力的局限，則表現(xiàn)出對(duì)其敬而遠(yuǎn)之.所以筆者列舉出使用反證法證明的多種題型，希望學(xué)生讀后能夠正確的使用反證法，并對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚的興趣.

【關(guān)鍵詞】反證法;思維能力;多種題型

在高中數(shù)學(xué)解題中有多種證明的方法，我們把“反證法”稱為間接證明法.由于新課程的改革，更加注重培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解題過程中更傾向于順向思維而非逆向思維.同時(shí)學(xué)生在初中對(duì)反證法的排斥，到了高中難度突然增加，從而導(dǎo)致反證法成為他們學(xué)習(xí)的難點(diǎn).筆者建議如果正向思考更復(fù)雜、抽象，不妨試試簡(jiǎn)便、快捷的逆向思考，即所謂的“正難則反”.

一、反證法的概念

（一）反證法定義

從原命題結(jié)論的反面出發(fā)，通過正確的邏輯推理過程，導(dǎo)致矛盾的結(jié)果，從而肯定原命題結(jié)論正確的證明方法叫反證法.

（二）反證法解題思路

反證法解題的基本步驟分為三步：

1.反設(shè)：先否定結(jié)論，假設(shè)原命題的結(jié)論不成立，而設(shè)其反面成立.

2.歸謬：將“反設(shè)”作為條件，通過一系列推理論證，推導(dǎo)出與已知條件、題設(shè)、定理等自相矛盾的結(jié)論.

3.下結(jié)論：由矛盾得出“反設(shè)”不成立，則原命題結(jié)論正確.

二、反證法的應(yīng)用（四大類型）

（一）函數(shù)類型

例1設(shè)二次函數(shù)f（x）=x2+px+q，求證：|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|中至少有一個(gè)不小于12.

證明假設(shè)|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|都小于12，則有

|f（1）|+2|f（2）|+|f（3）|<2.①

另一方面，由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，有

|f（1）|+2|f（2）|+|f（3）|≥|f（1）-2f（2）+f（3）|

=|（1+p+q）-2（4+2p+q）+（9+3p+q）|=2.②

顯然①②兩式相互矛盾，所以假設(shè)不成立，則原命題結(jié)論正確.

（二）數(shù)列類型

例2設(shè)數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和.

（1）求證：數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列;

（2）數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列嗎？并說明理由.

證明（1）假設(shè)數(shù)列{Sn}是等比數(shù)列，則S22=S1S3，

即a21（1+q）2=a1·a1·（1+q+q2），因?yàn)閍1≠0，

所以（1+q）2=1+q+q2，即q=0，這與公比q≠0矛盾，

所以數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列.

解（2）當(dāng)q=1時(shí)，{Sn}是等差數(shù)列;

當(dāng)q≠1時(shí)，{Sn}不是等差數(shù)列，

否則2S2=S1+S3，即2a1（1+q）=a1+a1（1+q+q2），

得q=0，這與公比q≠0矛盾.

（三）不等式類型

例3已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求證：a，b，c>0.

證明假設(shè)a<0，∵abc>0，∴bc<0，

又a+b+c>0，∴b+c=-a>0，

∴ab+bc+ca=a（b+c）+bc<0，與題設(shè)矛盾.

若a=0，則與abc>0矛盾，∴必有a>0，

同理可證：b>0，c>0.

（四）幾何類型

例4如圖所示，⊙O兩弦NP，MQ相交于點(diǎn)A，且NP，MQ均不過O點(diǎn).求證：弦NP，MQ不能互相平分.

證明假設(shè)NP與MQ互相平分，平分點(diǎn)是A，

由垂徑定理得OA⊥NP，同時(shí)OA⊥MQ，

∴NP∥MQ，這與已知中的NP與MQ相交矛盾，

∴NP，MQ不能互相平分.

三、結(jié)論

總之，通過對(duì)反證法概念，解題步驟和例題的具體介紹，體現(xiàn)了在數(shù)學(xué)這門嚴(yán)謹(jǐn)且富含邏輯的學(xué)科里，反證法的重要性.同時(shí)反證法的難點(diǎn)也顯而易見，通過提出的假設(shè)與已知條件、題設(shè)、定理等自相矛盾，進(jìn)而展開思路，尋找出解決的方法.此外，只要我們熟練地掌握反證法的使用，它不僅可以單獨(dú)使用，也可以與別的方法結(jié)合一起使用.學(xué)習(xí)和運(yùn)用反證法會(huì)培養(yǎng)我們嚴(yán)謹(jǐn)、創(chuàng)新的思維，從而慢慢形成一種優(yōu)良的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

【參考文獻(xiàn)】

[1]楊婷.數(shù)學(xué)中反證法的應(yīng)用[J].佳木斯教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2013（3）：133-134.

[2]劉福山.中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的反證法[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2015（30）：52-53.

[3]劉寶蘭.淺談反證法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].新課程學(xué)習(xí)（下），2012（11）：32.