將問題發(fā)散開來

周學俊

[摘 要] 學生發(fā)散思維的培養(yǎng)是數(shù)學教學的重要內容，在日常教學環(huán)節(jié)，教師需要改變傳統(tǒng)的提問方式，增強問題的發(fā)散性，進而引導學生充分思考，強化思維鍛煉. 文章選取北師大版高中數(shù)學，結合教學實例，對課堂教學中的問題引導方式進行了探討，以期切實提升學生的發(fā)散思維能力.

[關鍵詞] 數(shù)學教學；發(fā)散思維；提問方式

【案例引入】 2017年高考數(shù)學北京卷第20題

在一次數(shù)列習題課上，筆者選取了這道高考真題對學生進行思維訓練.第一問的結果反饋較理想，學生知道通過求解出數(shù)列{cn}的通項公式就能證明其為等差數(shù)列；對第二問學生就遇到了較大的問題，僅僅局限于題目給定的條件去作答，效果比較差. 其實，這一問雖然難，但并非一點分都拿不了. 其實質是對“放縮法”的考查，要求學生具備一定的問題分析及問題解決能力，需要學生進行分類討論與轉化.

本次練習的結果反映了發(fā)散思維能力的培養(yǎng)極為重要，基礎知識的掌握情況大多數(shù)學生是差不多的，差別就在于對知識點的發(fā)散以及準確使用. 誠然，高中數(shù)學是難度比較大的學科，除了其本身的枯燥性，造成這種狀況的主要原因還是學生自身思維過于局限，這也反映了在教學過程中教師沒有組織開展有效的思維訓練. 因此，在數(shù)學教學過程中，教師需要結合課程內容，改善提問技巧，適當?shù)靥岢鲆恍┌l(fā)散性的問題，引導學生發(fā)展發(fā)散性思維. 事后筆者針對這堂習題課，從以下三個方面進行了反思與總結.

首先，觀察題目，舉一反三

教師提問：黑板上展示的是一道極值問題，同學們認為這道題考查的是什么？

學生甲：三角函數(shù)、不等式.

學生乙：導數(shù).

學生丙：還可以利用幾何法解決！

教師提問：如果是求導，原函數(shù)會變成什么樣子？

學生乙：（在草稿紙上驗算）好像又變成差不多的分式了.

教師評論：沒錯，這道題如果利用求導來做，同學們會發(fā)現(xiàn)分式上下仍然同時存在正弦函數(shù)與余弦函數(shù)，和原題形式差不多. 甲同學，說說你的解題思路吧.

學生丙：我們可以把原函數(shù)看成動點（cosx，sinx）與定點（2，2）形成直線的斜率，題目就轉化成求斜率的極值.

教師評論：這個方法很好（在黑板上畫出示意圖），是一種數(shù)形結合的思想方法. 今后同學們在遇到函數(shù)或者其他代數(shù)問題時，可以嘗試畫出示意圖，看題目中的數(shù)量關系有沒有幾何意義，這樣能極大地簡化大家的解題過程.

評析：在答題過程中，學生如果能從題干信息中找到或者提煉關鍵條件，那么解題思路與解答過程都能圍繞這些關鍵條件展開，用這樣一個條件可以得到很多的有效結論，這些結論能反作用于學生的解題過程，提供新的思路，極大地鍛煉了學生的發(fā)散性思維. 在思考過程中，引導學生舉一反三，感受到不通數(shù)學思想方法之間的區(qū)別與聯(lián)系，這能使得學生在解決同類或相似問題的過程中游刃有余. 在數(shù)學學科中鍛煉到的自主思考能力能對其他學科的學習產生積極的促進作用，對學生的成長有很大的幫助.

其次，鞏固基礎，有的放矢

教師板書：已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c過原點，同時過（5，0）和（6，-6）兩點，試求該函數(shù)解析式.

教師提問：這是一道求二次函數(shù)解析式的題目，屬于基礎演繹題，考查的是大家對二次函數(shù)基礎知識的掌握情況. 大家在學習的時候接觸到好幾種二次函數(shù)表達式，可以回憶一下，用多種方法來求解這道題.同學們說說這道題要怎么解決？

同學甲：可以采用二次函數(shù)一般式進行解決. 由題干信息我們可以知道該函數(shù)過原點，即函數(shù)同時過（0，0）、（5，0）以及（6，-6）三個已知點，我們可以將這三個點代入函數(shù)表達式，聯(lián)立方程組可得：

評析：在日常的教學過程中，教師要強化基礎知識的鞏固練習，讓學生具備扎實的學科基礎知識，這樣才能在解題過程中有更多合理的選擇，思維的發(fā)散才能最高效、最合理，而不是漫無目的地瞎想. 只有在基礎理論知識掌握得足夠好的前提下，學生才能在做題的過程中有更多的思路，熟練地運用各種方法.

最后，多面思考

教師板書：已知等差數(shù)列前十項和為310，前二十項和為1220，請求出該數(shù)列的前n項和Sn.

教師提問：在題干信息中我們已經知道了該等差數(shù)列的前十項和以及前二十項和，要求解數(shù)列的前n項和. 同學們有什么思路？

學生甲：要想求解數(shù)列的前n項和，我們就要知道首項與公差之間的關系，然后就可以用求和公式得出數(shù)列的前n項和.

教師評論：總體思路是對的，總結下來，這道題可以有兩種不同的思考角度，一種是求數(shù)列通項公式，另一種是直接由求和公式列方程求解.用通項公式的方法需要怎么做呢？

消元得d=6，繼而將公差代入任意一個表達式，求出a1=4，則等差數(shù)列前n項和Sn=3n2+n.

評析：在本例中，教師可以作為問題解決的輔助者，給學生提供多個角度的思考方向，引導學生從多個角度進行解讀，激發(fā)學生對于問題展開多方面、多角度的思考，達到深入學習的教學目的.

以上就是筆者由一道高考題引發(fā)的教學思考. 高中數(shù)學教學的目的不單單是向學生傳授知識，在當前新課改的大背景下，數(shù)學教學更應該關注學生學習方法的改善，引導學生形成適合自己的思維能力，學會獨立分析問題、解決問題. 因此，數(shù)學教師在日常的教學過程中就要注意對學生發(fā)散性思維能力的培養(yǎng). 這并不需要對現(xiàn)有的教學模式做出多大的改革，只需要對提問方式進行完善，杜絕淺嘗輒止式的提問方式，要由點到面，由一道題、一個知識點去發(fā)散，這樣能極大地提升教學效率，更重要的是能“就題而不論題”，培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維.