小學數(shù)學“運算能力”與“推理能力”中“核心素養(yǎng)”解讀

馬增福

摘 要：在教學中培養(yǎng)和發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)就需要教師堅持以讀懂《義務教育數(shù)學課程標準》的理念為指向；以理解把握教材為重點；以改變課堂教學方法為手段?，F(xiàn)結合人教版小學數(shù)學教材，簡析教材中“運算能力”和“推理能力”部分內(nèi)容中“核心素養(yǎng)”的體現(xiàn)及其教學實踐。

關鍵詞：小學數(shù)學；核心素養(yǎng)；教學實踐；運算能力；推理能力

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 文章編號：1009-010X（2018）28-0004-15

一、運算能力

《義務教育數(shù)學課程標準》（以下簡稱《課標》）指出：“運算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運算律正確地進行運算的能力。培養(yǎng)運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題”。

運算能力并非一種單一的、孤立的數(shù)學能力，而是運算技能與邏輯思維等的有機整合。在實施運算分析和解決問題的過程中，要力求做到善于分析運算條件，探究運算方向，選擇運算方法，設計運算程序，使運算符合算理，合理簡捷。換言之，運算能力不僅是一種數(shù)學的操作能力，更是一種數(shù)學的思維能力。運算的正確、靈活、合理和簡捷是運算能力的主要特征。這里，運算正確是指運算方法和結果正確，靈活是指運算過程不拘泥一種方法，合理是指運算符合算理、法則、公式或運算律等，簡捷是指運算方便、簡單明了。所以，運算正確是基礎，理解掌握運算技能是核心、形成運算能力是目的。

（一）教材中“運算能力”內(nèi)容簡析

運算是數(shù)學學習的重要內(nèi)容，在各個學段，運算都占有很大的比重。小學生在學習數(shù)學的過程中，要花費較多的時間和精力去學習和掌握各種運算的知識及技能?！墩n標》在學段目標的第一學段和第二學段“知識技能”部分都提出“掌握必要的運算技能”的要求。

1.口算技能

《課標》在第一學段“數(shù)的運算”部分提出：能熟練地口算20以內(nèi)的加減法和表內(nèi)乘除法，能口算簡單的百以內(nèi)的加減法和一位數(shù)乘除兩位數(shù)?！墩n標》在第二學段“數(shù)的運算”部分沒有再提出口算要求。其中20以內(nèi)加減法和百以內(nèi)加減法口算方法要遷移到多位數(shù)加減法口算中，如300+800，1600+700，2000+3200，180-50，2400-600，3200-300等；20以內(nèi)加減法和百以內(nèi)加減法口算，是多位數(shù)加減法和乘除法筆算的重要基礎。表內(nèi)乘除法和一位數(shù)乘除兩位數(shù)口算方法要遷移到多位數(shù)乘除法口算中，如：200×3，400×60，120×30，800÷4，1200÷3，2400÷80等。

（1）20以內(nèi)的加、減法口算，安排在教材一年級上冊和下冊

20以內(nèi)不進位加和不退位減及10加幾和10減幾，是口算進位加、退位減的基礎。20以內(nèi)進位加口算技能主要是“湊十法”，可以拆小數(shù)與大數(shù)湊十，也可以拆大數(shù)與小數(shù)湊十。如：8+7，可以拆小數(shù)湊大數(shù)，因為8加2等于10，所以把7分成2和5，8加2等于10，10再加5等于15；也可以拆大數(shù)湊小數(shù)，因為7加3等于10，所以把8分成5和3，7加3等于10，10再加5等于15。20以內(nèi)退位減口算技能主要有“破十法”“想加算減法”和“平十法”。如，15-7。破十法：把15分成10和5，10減7等于3，3加5等于8；想加算減法：因為7加8等于15，所以15減7等于8；平十法：因為被減數(shù)個位是5，所以把7分成5和2，15減5等于10，10再減2等于8。

（2）百以內(nèi)加減法口算，安排在教材一年級下冊

主要內(nèi)容包括整十數(shù)加減整十數(shù)，兩位數(shù)加減一位數(shù)和整十數(shù)。這部分內(nèi)容是學習筆算乘、除法的重要基礎。兩位數(shù)加一位數(shù)口算技能是否熟練，在一定程度上決定了乘法豎式計算的速度；兩位數(shù)減一位數(shù)口算技能是否熟練，在一定程度上決定了除法豎式的計算速度。

口算整十數(shù)加減整十數(shù)，思維方法是10以內(nèi)加減法計算方法的遷移。如計算30+40的思維方法是3個十加4個十得7個十，是70；計算90-30的思維方法是9個十減3個十得6個十，是60。

口算兩位數(shù)加減一位數(shù)或整十數(shù)。兩位數(shù)加一位數(shù)不進位的口算方法是：兩位數(shù)的個位數(shù)與一位數(shù)相加的和作個位數(shù)，十位數(shù)不變。如34+5=39。兩位數(shù)減一位數(shù)不退位的口算方法是：兩位數(shù)的個位數(shù)與一位數(shù)相減的差作個位數(shù)，十位數(shù)不變。如：48-6=42。兩位數(shù)加整十數(shù)的口算方法是：兩位數(shù)的十位上數(shù)字與整十數(shù)字相加的和作十位數(shù)，個位數(shù)不變。如：27+30=57。兩位數(shù)減整十數(shù)的口算方法是：兩位數(shù)的十位上數(shù)字減整十數(shù)字的差作十位數(shù)，個位數(shù)不變。如73-40=33。

兩位數(shù)加一位數(shù)進位加法的口算，教材呈現(xiàn)了兩種方法。一種是湊整十的方法，它是20以內(nèi)進位加口算方法的遷移。如：24+9，把9拆成6和3，24加6等于30，30再加3等于33。另一種是用整十數(shù)加兩位數(shù)的方法，先算個位上的4加9等于13，再用20加13等于33。另外，如果一位數(shù)接近10，還可以這樣口算：把9看作10，24加10等于34，多加了1，再減去1，34減去1等于33。

兩位數(shù)減一位數(shù)退位減法的口算，教材呈現(xiàn)了兩種方法。一種是“破十法”，如36-8，把36拆成26和10，10減8等于2，26加2等于28。另一種是把兩位數(shù)拆成整十數(shù)和十幾，先算十幾減一位數(shù)，再用整十數(shù)加差。把36拆成20和16，先算16減8等于8，再算20加8等于28。另外，兩位數(shù)減一位數(shù)退位減法也可以用“平十法”口算。先把8拆成6和2，36減6等于30，30再減2等于28。

（3）一位數(shù)乘兩位數(shù)口算，安排在教材三年級上冊和下冊

主要內(nèi)容包括：一位數(shù)乘整十數(shù)并擴展到乘整百、整千數(shù)，一位數(shù)乘兩位數(shù)積在100以內(nèi)不進位、進位乘法。

一位數(shù)乘整十、整百、整千數(shù)的口算方法是表內(nèi)乘法的遷移。如200×3的思維方法是：2個百乘3得6個百，就是600。

一位數(shù)乘兩位數(shù)口算是表內(nèi)乘法、一位數(shù)乘整十數(shù)及整十數(shù)加一位數(shù)口算技能的綜合應用。如：23×2，思考20乘2得40，3乘2得6，40加6得46；23×4，思考20乘4得80，3乘4得12，80加12得92。此口算方法后面要遷移到一位數(shù)乘整百整十數(shù)及整十數(shù)乘兩位數(shù)，如130×3，24×20，140×30等。

（4）一位數(shù)除兩位數(shù)口算，安排在教材三年級下冊

主要內(nèi)容包括：一位數(shù)除整十數(shù)并擴展到除整百、整千、整萬數(shù)，一位數(shù)除兩位數(shù)并擴展到除整百整十或整千整百數(shù)。

一位數(shù)除整十、整百、整千、整萬數(shù)的口算方法是表內(nèi)除法的遷移。如8000÷4，思考8個千除以4是2個千，就是2000。

一位數(shù)除兩位數(shù)、整百整十數(shù)、整千整百數(shù)包括兩類，一類是用口訣求商，如240÷8，方法是：把240看作24個十，除以8得3個十，就是30；另一類是每一位上的數(shù)除以一位數(shù)都能除盡而沒有余數(shù)的，如96÷3，方法是：90除以3得30，6除以3得2，30加2得32。

2.四則運算的筆算技能

《課標》在第一、二學段“數(shù)的運算”部分提出：能計算兩位數(shù)和三位數(shù)的加減法，一位數(shù)乘兩位數(shù)和三位數(shù)，兩位數(shù)乘兩、三位數(shù)的乘法，兩位數(shù)和三位數(shù)除以一位數(shù)、兩位數(shù)的除法。這里的計算是指豎式筆算和橫式的簡算。

（1）豎式筆算

小學階段有很大部分的計算題都要求學生通過豎式的方式進行筆算。豎式筆算技能主要是按照法則寫出豎式后按順序進行計算且計算結果的書寫位置正確。這里寫豎式、按順序計算和書寫得數(shù)既是基礎也是重點，按順序計算過程主要是加、減、乘、除口算技能的應用。所以，豎式筆算“多題一解”的運算過程十分普遍，體現(xiàn)了運算法則的普適性。如用豎式計算214×18：①相同數(shù)位對齊；②先用第二個因數(shù)的個位上的數(shù)字8去乘第一個因數(shù)214，得數(shù)1712的末位和因數(shù)的個位對齊；③再用第二個因數(shù)十位上的數(shù)字“1”去乘第一個因數(shù)214，得數(shù)是214個十，所以末位和因數(shù)的十位對齊；④然后把兩次的積加起來，寫在對應數(shù)位的下面。

（2）加、減法的橫式簡算

①加數(shù)接近整百、整千數(shù)的簡算。教材在三年級上冊“萬以內(nèi)的加法和減法（二）”例3，安排了一個加數(shù)接近整百數(shù)的簡便算法。運算技能是：在橫式轉化過程中，多加的要減去，少加的要加上。如：445+298=445+300-2=745-2=743。此題中，298在加上轉化成300時多加了2，所以最后要減去2。

②減數(shù)接近整百、整千數(shù)的簡算。對應加法簡算，減法內(nèi)容也應引導學生學會這種簡算。運算技能是：在橫式轉化過程中，多減的數(shù)要加上（多減幾，差就減少幾），少減的數(shù)的要接著減去。如練習第6題中：1000-599=1000-600+1=400+1=401。減數(shù)599轉化成600，多減了1，差就減少了1，所以要加上1。再比如，1000-603=1000-600-3=400-3=397。

3.運算律、運算性質(zhì)應用的簡算技能

在整數(shù)乘法、除法及四則混合運算中，有些題型應用運算律或運算性質(zhì)可以使計算簡便。簡算技能主要是觀察、分析算式特點，根據(jù)運算符號、數(shù)字特征，選擇、應用合適的運算定律或運算性質(zhì)，使計算簡便。運算定律、運算性質(zhì)在第二學段要推廣到小數(shù)四則混合運算和分數(shù)四則混合運算。

①加法運算定律的應用。四年級下冊“加法運算定律”例3，安排了應用加法交換律、結合律進行簡便運算的內(nèi)容。運算技能：應用加法交換律，改變加數(shù)位置；應用加法結合律，使結合的幾個加數(shù)的和湊成整百、整千或整萬數(shù)。如，115+132+118+85。運算分析：這道題是連加運算，其中115與85的和是整百數(shù)，132與118的和是整百整十數(shù)?？梢钥紤]先應用加法交換律，交換加數(shù)位置，再應用結合律使計算簡便。

115+132+118+85=115+85+132+118=（115+85）+（132+118）=200+250=450

②減法運算性質(zhì)的應用。四年級下冊“加法運算定律”例4，安排了應用減法運算性質(zhì)進行簡便運算的內(nèi)容。運算技能：觀察連減算式中的減數(shù)，如果這幾個減數(shù)的和能湊成整百、整千或整萬的數(shù)，把連續(xù)減去幾個數(shù)轉化成減去這幾個數(shù)的和，這樣可以使計算簡便。如，236-66-34。運算分析：兩個減數(shù)66與34的和是100，把連續(xù)減去兩個數(shù)轉化成減去這兩個數(shù)的和，使計算簡便。236-66-34=236―（66+34）=236-100=136。

③乘法交換律、結合律的運用。乘法交換律是將因數(shù)交換位置，結合律是將兩個因數(shù)的積是整百、整千、整萬的數(shù)結合在一起，使計算簡便。如：25×5×4×2，運算分析：在連乘算式中，第一、三兩個因數(shù)的積是整百數(shù)，第二、四兩個因數(shù)的積是整十數(shù)。所以，先用乘法交換律，再用乘法結合律可以使計算簡便。25×5×4×2=25×4×5×2=（25×4）×（5×2）=100×10=1000。

④乘法分配律運用。在一個多項式中，如果各項都含有相同的因數(shù)，而各項中的另一個因數(shù)的和是整十、整百……，此時可以反用乘法分配律使計算簡便。如：42×53+42×46+42。運算分析：在算式中，三項都含有因數(shù)“42”，各項中（42看作42×1）的另一個因數(shù)的和是100。所以可以反用乘法分配律使計算簡便。42×53+42×46+42=42×（53+46+1）=42×100=4200。

⑤乘法運算律的靈活應用。兩個或幾個數(shù)連乘，可以根據(jù)數(shù)字特征，先分拆再靈活運用乘法結合律或分配律使計算簡便。如：120×25。運算分析：25是一個特殊數(shù)，它與2或4相乘都比較容易口算，所以120可以轉換成30乘4的積，再用乘法結合律使計算簡便；也可以把120轉換成100加20的和，再用乘法分配律使計算簡便。120×25=30×4×25=30×（4×25）=30×100=3000。120×25=（100+20）×25=2500+500=3000。再比如，31.4×2.5+0.86×25。運算分析：兩項中都含有數(shù)字“25”，只是小數(shù)點位置不同，而這兩項中的另兩個數(shù)如果移動小數(shù)點后也可以湊成整十數(shù)。所以，可以考慮先轉化，再應用乘法分配律使計算簡便。31.4×2.5+0.86×25=31.4×2.5+8.6×2.5=（31.4+8.6）×2.5=40×2.5=100。

⑥除法運算性質(zhì)的應用。四年級下冊“乘法分配律”例8，安排了應用除法運算性質(zhì)進行簡便運算的內(nèi)容。運算技能：觀察連除算式中的除數(shù)，如果這幾個除數(shù)的積是整十、整百……，把連續(xù)除以幾個數(shù)轉化成除以這幾個數(shù)的積，這樣可以使計算簡便。如2800÷25÷4。運算分析：被除數(shù)是整千整百數(shù)，兩個除數(shù)的積是整百數(shù)。所以把連續(xù)除以兩個數(shù)轉化為除以這兩個數(shù)的積，可以使計算簡便。2800÷25÷4=2800÷（25×4）=2800÷100=28。

4.估算技能

估算是重要的運算技能，是運算能力的特征之一。估算可以對問題進行有效的探索，快速形成大致答案。進行估算不僅需要掌握一定的方法，積累一定的經(jīng)驗，而且估算需要經(jīng)過符合邏輯的思考，需要有一定的依據(jù)。估算要避免出現(xiàn)過大的誤差，要使估算的結果盡量接近實際情況，要能對實際問題作出合理的解釋。估算與數(shù)感、空間觀念密切相關。如長度、面積、體積的估計與空間觀念有關，運算結果的估計與數(shù)感有關。所以，對教材中估算內(nèi)容的分析與理解應與數(shù)感和空間觀念有機結合。

《課標》在第一、二學段關于估計、估算提出五條要求，歸納起來有兩點：一是結合生活情境感受大數(shù)的意義，并能進行估計；二是結合具體情境，選擇適當?shù)膯挝贿M行簡單估算，在解決問題過程中，能選擇合適的方法進行估算。

（1）估計技能

教材在結合生活情境感受大數(shù)意義及選擇適當單位建立空間觀念方面安排了許多的估計內(nèi)容。

①結合生活情境感受大數(shù)意義的估計。如，一年級下冊“100以內(nèi)數(shù)的認識”主題圖：估一估有多少只羊？估計策略是羊的只數(shù)“比20只多的多”，以10只羊為一堆，圖中大約有幾個10只。二年級下冊“萬以內(nèi)數(shù)的認識”主題圖：猜一猜體育館大約能坐多少人？估計策略是座位“比100多的多”，圖中座位有很多區(qū)，每個區(qū)都有幾百個座位，所以座位數(shù)是一個很大的數(shù)。四年級上冊，估計1億張紙撂在一起有多高？估計策略是先量出100張紙的厚度，再推算1萬張紙、1億張紙撂在一起有多高。等等。教材在練習中安排了估一估、數(shù)一數(shù)以及估計填空等習題。

②結合學習計量單位進行估計。如二年級下冊“克和千克”估一估，下面哪些物品比1克輕？估一估，帶來的物品有多重？三年級上冊“測量”估一估數(shù)學書的長、寬和厚大約是多少厘米？例6，估一估，從你家到學校有多遠？三年級下冊“面積”估計長方形面積是多少平方厘米？五年級上冊“組合圖形面積”請你估計這片葉子的面積等。這些內(nèi)容都是用學生自己熟悉的數(shù)量作為單位描述實際問題中較大的數(shù)量，估計策略都是以一個計量單位的感受、體驗、表象作支撐，選擇合適的單位來進行估計。練習中安排了很多在括號里填寫計量單位或數(shù)的習題，以培養(yǎng)學生的估計意識和能力。

（2）估算技能

估算主要是指加、減、乘、除運算的估算。由于學生的經(jīng)驗積累、思維層次和水平不同，面對同一個問題，所采取的估算策略也可能不同。所以，在估算合理的情況下，估算結果一般不存在對錯問題，而是哪種估算更好，更接近準確值。教材中解決問題的估算策略與算式的估算策略不盡相同，解決問題中的估算，需要根據(jù)實際情況用“進一法”或“去尾法”估算，而算式的估算，可以用接近整十、整百或整百整十、整千整百等進行估算。這種估算策略隨著學習的深化，將遷移到小數(shù)四則運算。在估算時，往往估算越簡便，誤差越大；估算難度越大，估算結果越接近準確值。

①加、減法的估算。加、減法估算集中安排在二、三年級。估算均用語言或符號描述方式展開，以體現(xiàn)解決問題的估算過程和探索算式“和或差”的大概取值或取值范圍。

解決問題估算。二年級下冊“萬以內(nèi)數(shù)的認識”例13，安排了用加法、減法思路解決問題的估算。提問買這兩件商品500元夠嗎？加法估算策略：電話機超過300元，電吹風超過200元。300+200=500，帶500元肯定不夠。減法估算策略：電話機超過300元，用500元買了300多元的電話機，剩下的錢不到200元，肯定不夠買電吹風；即使電話機300元，剩下200元也不夠買電吹風。三年級上冊“萬以內(nèi)加法和減法（一）”例4， “巨幕影院有441個座位，一到三年級來了221人，四到六年級來了234人”。提出“六個年級的學生同時看巨幕電影坐得下嗎？”的問題。教材先呈現(xiàn)了按整百數(shù)進行估算：221大于200，234也大于200，221加234一定大于400，但還是不能確定是否大于441。這種估算方法簡便，但不能解決問題，揭示了估算方法的不合理性。接著呈現(xiàn)按整百整十數(shù)進行估算：221>220，234>230，220+230=450，221+234一定大于450，450>441，所以一定坐不下。這種按整百整十進行估算并用符號展示估算過程，體現(xiàn)了估算方法的合理性。

加減法算式的估算。三年級上冊“萬以內(nèi)的加法和減法（二）”加法例3，445+298。由于298接近300，可以看作300來估算，445加300等于745，所以兩個數(shù)的和應該接近745。教材在練習八第2題安排了“先估一估，再計算下面各題”的內(nèi)容。如659+306。下面三種方法的描述都是正確的。Ⅰ. 把306看作300，659加300等于959，和應該接近959；Ⅱ. 659接近并小于660，306接近并小于310，660加310等于970，和應該小于970；Ⅲ. 659大于650，306大于300，650加300等于950，和應該大于950。再如整理與復習第3題（2）：

解決這個問題，用估算方法能快速找到答案。如：159大于150，97大于90，150加90等于240，實際和大于240，更比200大。900減700等于200，69比89小不夠減，所以差小于200。104小于110，89小于90，110加90等于200，實際和小于200。101大于100，300減100等于200，實際差小于200。

②乘法估算。乘法估算一方面可以在生活中快速解決一些簡單實際問題，另一方面乘法估算也能快速判斷積的大概取值或取值范圍。熟練掌握乘法估算，能有效提升乘法計算的正確率。

解決問題的估算：三年級上冊“多位數(shù)乘一位數(shù)”例7，安排了用乘法估算解決問題的內(nèi)容?！伴T票每人8元，三（1）班有29人參觀，帶250買門票夠嗎”。估算策略：29人接近30人，如果按30人算錢夠，那么29人一定夠。教材第一次使用“≈”號連接算式與得數(shù)，呈現(xiàn)了乘法算式估算的書寫格式。

五年級上冊“小數(shù)乘法”例8，安排了綜合應用加法、乘法估算解決實際問題的內(nèi)容?！皨寢寧?00元去超市購物。她買了2袋大米，每袋30.6元。還買了0.8千克肉，每千克26.5元。剩下的錢還夠買一盒10元的雞蛋嗎？夠買一盒20元的嗎？”教材呈現(xiàn)了語言描述和符號化解決問題的估算過程（略）。此題的估算策略要使學生感受估算方法的合理性，既按商品價錢的大數(shù)估算夠，則帶的錢一定夠；按大數(shù)估算不夠，不一定不夠。按商品價錢的小數(shù)估算不夠，帶的錢則一定不夠；按小數(shù)估算夠，則不一定夠。

乘法算式的估算：三年級上冊“多位數(shù)乘一位數(shù)”例3中安排了描述性估算“24×9”積的取值范圍的內(nèi)容。估算方法：Ⅰ. 每箱24瓶，10箱是240瓶，9箱一定比240少，所以24×9的積一定小于240；Ⅱ. 由于20乘9等于180，30乘9等于270，24介于20到30之間，所以24×9的積在180和270之間；Ⅲ. 由于24小于25，9大于8，25乘8等于200，所以24×9的積大約在200左右。此估算可以擴展到三位數(shù)乘一位數(shù)。如218×6。由于218大于200，200乘6等于1200，所以218乘6的積大于1200。也可以這樣估算：由于218小于220，220乘6的積等于1320，所以218乘6的積小于1320。

四年級上冊“三位數(shù)乘兩位數(shù)”，教材呈現(xiàn)了乘法算式的估算，既145×12≈1500。估算方法是：把145看作150，12看作10，所以145×12≈1500。有些乘法算式估算結果可以不唯一，只要合理，接近準確值，都是正確的。如：293×31。

另外，乘法估算還可以進行一些特殊的估算，如127×8。估算方法是把127看作125，乘8等于1000。所以127×8≈1000。

③除法估算。除法估算一方面可以在生活中快速解決一些實際問題，另一方面也是除法豎式計算的重要基礎。估算方法靈活，掌握的熟練，能有效提升除法豎式計算的試商速度和計算的正確率。

解決問題的估算：三年級下冊“除數(shù)是一位數(shù)除法”例8，安排了用除法估算解決問題的內(nèi)容?！澳銈冏?天，住宿費一共是267元”，提出“每天的住宿費大約多少錢？”的問題。估算策略：一是看作整百數(shù)估算，估算簡便，但誤差較大。既267看作300，300÷3=100（元），267÷3≈100（元）。每天住宿費大約100元。二是看大湊口訣估算，思考難度大，但誤差小，與準確值接近。想3個幾十接近267，3個90是270，把267看作270來估算，270÷3=90（元），267÷3≈90（元）。每天的住宿費大約90元，實際每天不足90元。三是看小湊口訣估算，想3個80是240也接近267（但沒有270接近），240÷3=80（元），267÷3≈80（元）。每天的住宿費大約80元。想實際每天住宿費80元不夠，所以策略三估算不合理。策略一和策略二估算雖然都合理，但兩者比較，策略二估算更為接近精確值。

除法算式的估算：用湊口訣方法估算，估算結果與精確值比較接近。如估算523÷7的商大約是多少？下面兩種方法都是正確的。

方法一與方法二估算都是對的。但方法一比方法二思考難度大，與精確值更接近。

四年級上冊安排了除數(shù)是兩位數(shù)的除法估算。估算策略也是湊口訣方法。如184÷31，思考31接近整十數(shù)30，想30和幾相乘接近184并小于184，30乘6等于180，所以184÷31≈6。

（二）在教學中，如何培養(yǎng)和發(fā)展學生的運算能力

運算能力的培養(yǎng)與發(fā)展是一個長期的過程，應伴隨著數(shù)學知識的積累和深化。正確理解相關的數(shù)學概念，是逐步形成運算能力，發(fā)展運算能力的前提。運算能力的培養(yǎng)與發(fā)展不僅包括運算技能的逐步提高，還應包括運算思維素質(zhì)的提升和發(fā)展。

1.由具體到抽象，正確理解概念和算理

小學第一學段初步學習整數(shù)四則運算以及簡單的小數(shù)、分數(shù)加、減運算。第二學段進一步學習整數(shù)四則運算及小數(shù)和分數(shù)的四則運算（包括混合運算），了解并初步應用運算律。學生對這些運算概念的認識與理解，一開始總是和具體事物相聯(lián)系，之后逐步脫離具體事物，抽象成數(shù)與式或方程運算。教材中從整數(shù)加法、減法、乘法和除法概念、運算方法的建立到擴展到小數(shù)、分數(shù)都離不開實物操作。所以，教學時要遵循由具體到抽象的過程，正確理解概念的內(nèi)含和算理。

如加法概念和算理。以10以內(nèi)加法概念為例。概念引入是把兩種顏色氣球的數(shù)量合在一起，用加法計算，明確加法的含義，知道加法的計算方法，可以合起來以后數(shù)出總數(shù)量，還可以在一個加數(shù)基礎上接著數(shù)出第二個加數(shù)的數(shù)量，數(shù)的結果就是兩個數(shù)量的和。在理解加法含義基礎上，結合數(shù)的組成和擺實物等具體操作活動，抽象出把兩部分數(shù)量合起來用加法計算并寫出算式，脫離實物計算出得數(shù)。

20以內(nèi)的進位加法。由具體實物湊十方法抽象出算式的分解式湊十計算方法。運算時，可以分小數(shù)湊大數(shù)成10，也可以分大數(shù)湊小數(shù)成10。為了使學生形成正確的思維方式，由具體到抽象，教學時要完成由分解到分步再到抽象的數(shù)學思考的形成過程。

100以內(nèi)兩位數(shù)加兩位數(shù)加法。小棒操作，兩個加數(shù)的小棒數(shù)量，單根與單根對齊、整捆與整捆對齊，分別相加，抽象出加法豎式計算方法，既：相同數(shù)位對齊，從個位加起（相同的計數(shù)單位上的數(shù)相加），個位滿十向十位進一。100以內(nèi)計算方法的算理后面遷移到多位數(shù)加法及小數(shù)、分數(shù)加法。

2.由法則到算理，形成運算技能

小學生學習和掌握算式、方程運算，在應用法則練習和相互交流過程中，會逐步形成機械化的運算技能，教師不能滿足于這樣的運算技能，應該創(chuàng)設機會引發(fā)學生對“怎樣算”“怎樣算的好”“為什么要這樣算”等一系列問題進行思考，更應該提供多種形式讓學生學會分析，把對法則的演練提升到對算理的思考，把運算從操作的層面提升到思維的層面，這是運算能力發(fā)展的重要內(nèi)容。

如二年級上冊“連加”，計算28+34+22。首先啟迪學生思考：用豎式怎樣列式計算？怎樣計算的簡便？然后讓學生用自己喜歡的方法列豎式計算。學生會列出不同的豎式。

重點交流簡便算法，為什么這樣寫豎式？這樣寫豎式的好處是什么？為什么要先算8加2的和？這種豎式連加的簡便算法將遷移到多位數(shù)連加和小數(shù)連加計算。

再比如三年級上冊“周長”例4，計算長6厘米，寬4厘米長方形的周長。首先引發(fā)學生思考：怎樣計算這個長方形的周長？根據(jù)自己對周長概念的理解，用自己喜歡的方法計算這個長方形的周長。學生會出現(xiàn)下面三種計算方法。

重點交流后兩種方法，這樣列式的道理是什么？每一步求的是什么？比較三種計算方法，你認為哪種計算方法好，為什么？

數(shù)形結合思想可以有效地幫助學生理解算理，掌握算法。

3.由單項思維到多項思維，培養(yǎng)思維的靈活性

在實施運算時，常會遇到多因素情況，需要不同的思維方向、不同的解題思路和不同解決問題的方法。通過比較，加以擇優(yōu)選用。這是運算思維達到一個新的高度的重要標志，是運算能力培養(yǎng)的高級階段。如：

20以內(nèi)退位減法。學生在理解例1“15-9”的算法后，做一做“16-9=？”要讓學生交流各自的算法。說一說是怎樣算的？為什么要這樣算？通過交流比較，明確“破十法”“相加算減法”和“平十法”在口算時的思考方法，哪種方法更適合自己。

乘法運算律的應用。用簡便方法計算75×12。思考：用乘法結合律怎樣分拆算式？用乘法分配律怎樣分拆算式？對簡便計算的過程：①75×12=25×3×4×3=（25×4）×（3×3）=100×9=900。②75×12=（100-25）×12=100×12-25×4×3=1200-300=900。要讓學生說一說“為什么這樣算？是怎樣分拆算式的？你認為哪種算法好？”等問題。

解方程：78-4x=30。解方程前思考：用等式的性質(zhì)怎樣解方程？用數(shù)量關系式怎樣解方程？解方程后交流：用等式性質(zhì)解方程的依據(jù)是什么？用數(shù)量關系解方程的依據(jù)是什么？你認為哪種解方程的方法好，為什么？

4.由模仿練習到變式練習，提高思維深刻性

培養(yǎng)和發(fā)展學生的運算能力，練習內(nèi)容不能長期停留在模仿練習上，而需要根據(jù)所學內(nèi)容進行適度的變式練習。如乘法對加法分配律在簡便運算中的應用。

基礎題型：

①（20+4）×25

②27×34+27×66 89×163-89×63

①括號外的數(shù)分別乘括號里的兩個數(shù)得到整百數(shù)，再把積相加。

②兩個積中有相同的因數(shù)，另兩個因數(shù)的和（或差）是整百數(shù)，把算式轉化成相同的因數(shù)乘另兩個數(shù)的和（或差）。

變式題型：

①125×81

②25×396

③78×99+78 125×81-125

④22×32+11×36 65×42-30×21

在實施運算分析時，運用轉化思想。（轉化方法不唯一）

①把81轉化成（80+1）。

②把396轉化成（400-4）。

③把算式轉化成78×（99+1），125×（80-1）。

④把22×32轉化成11×64；把65×42轉化成130×21。

二、推理能力

推理在數(shù)學中具有重要的地位?！墩n標》指出：“推理是數(shù)學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經(jīng)常使用的思維方式”。學習數(shù)學就是要學習推理。具有一定的推理能力是培養(yǎng)學生數(shù)學素養(yǎng)的重要內(nèi)容，也是數(shù)學課程和課堂教學的重要目標。

推理能力在數(shù)學中是屬于數(shù)學思考（思維）能力中的一種，因此《課標》在數(shù)學思考的目標表述中作了明確要求，指出：要“發(fā)展合情推理和演繹推理能力”。小學階段多用合情推理，演繹推理則在中學階段使用較多。在小學合情推理主要運用“歸納推理”和“類比推理”。 歸納和類比是常用的合情推理。從推理形式上看，歸納是由部分到整體、個別到一般的推理，類比是由特殊到特殊的推理。歸納推理和類比推理的共同點，都是根據(jù)已有的事實，從具體問題出發(fā)，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納、類比，然后提出猜想。小學生學習數(shù)學獲得結論的過程，主要是猜想與合情推理。

（一）教材中“推理能力”內(nèi)容簡析

《課標》在第一、二學段數(shù)學思考目標中提出：在觀察、操作等活動中，能提出一些簡單的猜想。在觀察、實驗、猜想、驗證等活動中，發(fā)展合情推理能力。根據(jù)《課標》要求，縱觀小學數(shù)學教材，猜想與合情推理幾乎涉及到數(shù)學的方方面面。合情推理是學生在學習數(shù)學過程中，根據(jù)自己在生活或?qū)W習中積累的知識、經(jīng)驗，在教師指導下經(jīng)過非演繹的思維而得到合乎情理一般性結論的推理方式。其主要表現(xiàn)在：“看一看”（觀察），“它可能是……”（猜測），“做一做”（實驗），“做出來看一看”（驗證），“由上所述可得……”（歸納），“由一類對象特征推測相關聯(lián)的另一類對象特征”（類比），“可以想象……”（聯(lián)想）等。

1.數(shù)與代數(shù)

（1）數(shù)概念的合情推理

學生在經(jīng)過三年多對“數(shù)”的學習，在四年級上冊歸納出“整數(shù)”的概念，既“表示物體個數(shù)的1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11等都是自然數(shù)。0也是自然數(shù)。所有的自然數(shù)都是整數(shù)”。在給出概念之前，觀察這一列數(shù)會發(fā)現(xiàn)，這些數(shù)都可以用來記錄物體的個數(shù)、后面的數(shù)都比前面的數(shù)大、沒有最大的數(shù)等特點。因為沒有最大的整數(shù)，所以這里的歸納就是不完全歸納。在三年級上冊歸納出分數(shù)的概念，既“像1/2、1/3、1/4、1/5這樣的數(shù)都是分數(shù)”。這里要觀察、想象“這樣的數(shù)”一類數(shù)的特點，就是都含有分數(shù)線、分子和分母。也就是含有分數(shù)線、分子和分母的這樣的數(shù)，都是分數(shù)。

（2）數(shù)大小比較的合情推理

學生首先認識10以內(nèi)的數(shù)，數(shù)大小概念的建立過程是從數(shù)物體個數(shù)的操作活動直觀感知開始。1個添上1個是2個，2個添上1個是3個……。10個比9個多1個，9個比8個多1個……，10比9大，9比8大，10比8也大……。由以上的觀察可以得出：兩個數(shù)比較大小，哪個數(shù)含有的“1”（計數(shù)單位）多，那個數(shù)就大。把這個結論類推到在學習100以內(nèi)、萬以內(nèi)及多位數(shù)的大小比較時，是否也成立呢？可以用“類比推理”提出猜想。通過實物（小棒、計數(shù)器）驗證發(fā)現(xiàn)是成立的。如42>37，數(shù)位相同，42里面有4個十，37里面有3個十，4個十比3個十多，所以如42>37。23<25，數(shù)位相同，23、25每個數(shù)里面都有2個十，但23的個位有2個一，25的個位里面有5個一，所以23<25。把這個結論類推到學習分數(shù)大小比較，也可以提出猜想，分數(shù)單位相同的兩個分數(shù)，是否分子大的那個分數(shù)大呢？通過直觀圖可以看出2/5<3/5。因為2/5里面有2個1/5（分數(shù)單位），3/5里面有3個1/5。所以2/5<3/5。

（3）數(shù)運算的合情推理

教材中加、減、乘、除運算法則的形成、拓展過程，都是運用合情推理得以結論和拓展。如加法計算法則，二年級上冊通過例1“兩位數(shù)加一位數(shù)不進位加”，初步得出結論：個位與個位對齊，個位兩個數(shù)相加的和寫在個位的下面；例2“兩位數(shù)加兩位數(shù)不進位加”，再次得出結論：相同數(shù)位對齊，從個位算起，哪一位上兩個數(shù)相加的和寫在那一位的下面；例3“兩位數(shù)加兩位數(shù)進位加”，最后得出結論：相同數(shù)位對齊，從個位算起，個位相加滿十向十位進一。教材通過三個例題的三個特殊算式及做一做多題的練習實驗、驗證，歸納出兩位數(shù)加兩位數(shù)的一般計算法則，這一計算法則具有普適性。隨著學習的深入，兩位數(shù)加兩位數(shù)的計算法則類比推理到多位數(shù)加法和小數(shù)加法。

（4）規(guī)律中的合情推理

教材中積的變化規(guī)律，商不變的規(guī)律、商的變化規(guī)律以及探索規(guī)律等內(nèi)容，結論的形成和運用過程都經(jīng)歷了觀察、尋找特點、發(fā)現(xiàn)關系和變化趨勢，猜測和發(fā)現(xiàn)新結論的過程。這一過程正是合情推理的過程。如教材在四年級上冊“三位數(shù)乘兩位數(shù)”例3，呈現(xiàn)了兩組算式，每組由三個特殊關系的算式組成。通過從上到下觀察每一組三個算式，尋找因數(shù)的關系，變化的特點，變化的趨勢，及猜測如果一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)乘1000，積會怎樣變化等，發(fā)現(xiàn)積的變化規(guī)律，既“一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)乘（或除以）幾，積也乘（或除以）幾”。

（5）方程中的合情推理

五年級上冊安排了“簡易方程”，不論是用字母表示方程模型的建構，還是等式性質(zhì)結論的總結，都用到了合情推理。如用字母表示數(shù)的例1，從具體問題情境出發(fā)，根據(jù)小紅與爸爸的對話，以表格形式有序地呈現(xiàn)了“小紅年齡與爸爸年齡”的列表。觀察列表，分析發(fā)現(xiàn)，這些式子中的每個式子都可以表示兩重含義， 一是表示某一年爸爸的年齡；二是表示小紅與爸爸之間的年齡關系。再通過分析、比較“爸爸年齡的等式”這些式子的相同點，發(fā)現(xiàn)這些式子的數(shù)量關系都一樣，都是“小紅年齡+30=爸爸的年齡”（歸納整理）。在此基礎上提出猜想，能否用一個式子表示任何一年爸爸的年齡？為學生用字母（符號）表示小紅的年齡和用含有字母（符號）的式子表示爸爸的年齡創(chuàng)造了新知識的生成環(huán)境。從算式到含有字母式子的變化，是由確定量（唯一量）到不確定量（變量）的轉變，是由特殊到一般的質(zhì)變。算式只能表示一個特定情況，含有字母的式子不僅能表示一種特定情況，還能表示一個集合中任意一個值的量，即能一般化的表示一類量。

（6）運算定律中的合情推理

教材中的運算定律主要是指：加法交換律、結合律，乘法交換律、結合律和分配律。乘法交換律、結合律，教材的呈現(xiàn)方式是通過學生列出幾個例6、例7這樣的等式，再通過觀察這幾個等式有限的共同特點后歸納概括出交換律和結合律。這是一種歸納推理。另外，加法作為一種運算，具有交換律和結合律，分析乘法與加法之間的關系，乘法作為加法的一種簡便運算，也應該具有交換律和結合律。這是類比推理，可以提出猜想：乘法算式在交換因數(shù)的位置后是否還相等？連乘算式，先乘前兩個數(shù)再與第三個數(shù)相乘與先乘后兩位數(shù)再與第一個數(shù)相乘，結果一樣嗎？然后讓學生自主列式，嘗試計算，進行驗證。通過驗證再歸納出“乘法交換律、結合律”的結論。

2.圖形與幾何

（1）圖形認識中的合情推理

教材中圖形有很多種，許多圖形名稱的認識都是采用了歸納推理方式。如“長方形”的初步的認識， 一年級下冊教材中呈現(xiàn)了形狀、大小、長短、寬窄都不相同的四個圖形。觀察這四個圖形的不同點和相同點，發(fā)現(xiàn)這四個圖形大小不同、邊的長短、寬窄也都不同，相同點是每個圖形都有四條邊，都有四個直角，每個圖形中都有兩條比較長的邊和兩條比較短的邊。把具有這種相同點的圖形叫做長方形。

平行線的認識：教材設計了在紙上畫兩條直線的操作活動，通過學生畫出兩條直線位置的各種情況，歸納為在一張紙畫出的四種情況。兩條直線不相交有A、B兩種情況，兩條直線相交有C、D兩種情況。

繼續(xù)研究A、B兩種情況，把A、B兩種情況的兩條直線延長，發(fā)現(xiàn)，A種情況兩條直線無論怎樣延長，永遠不相交；B種情況兩條直線延長（或想象延長）后會相交。總結，類似A種情況的兩條直線的位置關系，叫做平行線。即：在同一個平面內(nèi)不相交的兩條直線，叫做平行線，也可以說這兩條直線互相平行。這里要展開想象，同一個平面是什么意思？這個平面有多大？不相交是什么意思？兩條直線有多長？

（2）公式推導中的合情推理

圖形與幾何中的公式主要指：平面圖形的周長公式，平面圖形的面積公式，立體圖形的表面積公式，立體圖形的體積公式及容器的容積公式等。

圓周長公式：教材首先呈現(xiàn)了用繞線法、滾動法計算圓的周長的方法，使學生感受到這樣的計算方法繁瑣。然后引發(fā)學生思考，圓的周長和圓的大小有關系嗎？這里可采用類比推理方法。思考長方形的周長取決于長方形的長和寬，圓的周長取決于圓的什么？提出猜想。為學生探索圓的周長與這個圓的直徑、半徑關系創(chuàng)設了學習環(huán)境和探究欲望。接著，通過實驗方法，分別測量出大小不同圓的周長和直徑，并計算出周長和直徑的比值，填入表中。觀察表中的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，圓的周長不同、直徑不同，也就是圓的大小不同，但周長與直徑的比值都是3倍多一些。由此歸納出一句話，每一個圓的周長都是這個圓直徑的3倍多一些。到底多多少？根據(jù)測量精準度不同，得到的答案也不盡相同，集中大家意見，確定一個取值區(qū)間。在此基礎上介紹圓周率（π）并總結圓周長公式。

三角形面積公式：教材首先呈現(xiàn)了學生交流，在沒有學習三角形面積計算方法情況下，如何計算紅領巾三角形面積的思路轉化方法。提出“能不能把三角形也轉化成學過的圖形來計算面積”的猜想和“我們試一試”的實驗愿望。接著呈現(xiàn)了三位學生分別用兩個完全一樣的直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形拼圖的情境，并發(fā)現(xiàn)“用同樣的兩個三角形可以拼出一個平行四邊形”的結論（由三類特殊三角形推理出一般結論）。然后提出“觀察各自拼成的平行四邊形和原來的三角形，你能發(fā)現(xiàn)什么？”的問題。發(fā)現(xiàn)三角形不論任何形狀，拼出的平行四邊形的底就是原來三角形的底，平行四邊形的高也是三角形的高（由特殊到一般）。以此推理出一個三角形的面積等于拼成的平行四邊形（原來兩個三角形）面積的一半。所以，三角形的面積=底×高÷2。依據(jù)“三角形面積=底×（高÷2）”和“三角形面積=底÷2×高”，可以為探索一個三角形如何轉化推導面積計算公式提供猜想思路和方向。

圓柱的體積：教材首先提出在已會計算長方體和正方體的體積基礎上，怎樣計算圓柱的體積呢？能不能將圓柱轉化成學過的立體圖形，計算出它的體積呢？這是教材為學習圓柱體積計算提出的轉化思想，怎樣轉化呢？可以用類比推理提出猜想，即圓的面積公式推導時，將圓轉化成了學過的長方形，猜想圓柱體能轉化成學過的哪種立體圖形，怎樣轉化呢？教材以學生交流方式呈現(xiàn)，把圓柱的底面分成許多相等的扇形，把圓柱切開，再拼成一個近似的長方體。多媒體課件展示，把圓柱底面平均分成16等份、32等份，切開再拼近似長方體。使學生在想象中感受到：等分成的小扇形越多，拼成的立體圖形越接近長方體。這里是不完全歸納的聯(lián)想推理，也是培養(yǎng)學生空間觀念的有效方法。接著，教材提出：把拼成的長方體與原來的圓柱進行比較，你能發(fā)現(xiàn)什么？這是一個觀察、分析的過程。立體轉化前后什么沒有變？發(fā)現(xiàn)體積沒變，底面積沒變，高沒變，只是形狀變了。由此推出：長方形的底面積=圓柱底面積，長方體的高=圓柱的高。由長方體的體積等于底面積乘高可以得到：圓柱的體積=底面積×高。

3.統(tǒng)計與概率

（1）統(tǒng)計中的合情推理

數(shù)據(jù)收集整理是統(tǒng)計的重點內(nèi)容，是完成統(tǒng)計制表、制圖的前提和基礎。數(shù)據(jù)的收集要通過整理形成一個結論，而小學生收集數(shù)據(jù)的過程大多是“小樣本枚舉法”，通過特殊的個例來歸納一般的結果。如：教材二年級下冊“數(shù)據(jù)收集整理”例1，學校要給同學們訂做校服，有下面四種顏色（紅、黃、藍、白），選哪種顏色合適？理論上應是選大多數(shù)同學喜歡的顏色為選取的方向。那怎樣知道哪種顏色是大多數(shù)同學喜歡的呢？通過學生討論、交流，發(fā)現(xiàn)在全校調(diào)查，人數(shù)太多，不可能，進而形成要在班里進行調(diào)查的意見。通過有條件的收集數(shù)據(jù)，整理成了如下統(tǒng)計表（實際教學應以本班調(diào)查數(shù)據(jù)為準）。通過比較，發(fā)現(xiàn)喜歡藍色的人數(shù)最多。得出結論：如果這個班訂做校服，選擇藍色的合適。全校選擇這種顏色做校服合適嗎？為什么？這里要使學生感受到，這種不完全歸納推理得出的結論，未必正確，需要驗證（征求其它班級的意見）。教材設計體現(xiàn)了歸納推理的過程：①從現(xiàn)實問題出發(fā)；②選取有限的學生人數(shù)收集數(shù)據(jù)；③歸納、整理、觀察、分析；④提出帶有規(guī)律性的結論，即猜想；⑤檢查猜想。

求平均數(shù)。在教材中呈現(xiàn)了兩種求平均數(shù)的方法。

方法一，移多補少。通過實際操作（或觀察示意圖，展開想象），用實驗、驗證的方法感受求平均數(shù)方法的可行性。

方法二，計算。把四個小隊收集到的礦泉水瓶總數(shù)平均分成4份，每份就是這四個小隊的平均數(shù)。

推斷決策：可以用移多補少的方法求平均數(shù)，也可以用數(shù)據(jù)的總數(shù)除以數(shù)據(jù)的個數(shù)求平均數(shù)。

（2）概率中的合情推理

五年級上冊“可能性”安排了簡單概率的內(nèi)容。例1，教材呈現(xiàn)了“三人抽簽表演節(jié)目”的情境。首先，通過猜想“每個人可能抽到什么節(jié)目”，感受等可能性（枚舉法）。接著讓小明先抽簽，猜想抽到什么節(jié)目？實際抽簽，抽到跳舞，感受抽的結果與想抽的愿望可能一致，也可能不一致，抽前是不確定的，但抽到跳舞后，可以判斷并確定剩下的兩人不可能再抽到跳舞…通過猜想、驗證、排除的循環(huán)，直到推出最后的確定現(xiàn)象。經(jīng)過這個游戲活動，學生一方面感受抽簽的不確定現(xiàn)象，另一方面體會猜想、推斷結果的可能性，以及驗證的確定性。做一做，體會左邊盒子摸到紅棋子是確定的，不能摸到綠棋子也是確定的（演繹推理：大前提正確，結論一定正確）；右邊盒子摸到紅、綠、黃、藍棋子是不確定的。

例3，教材設計了摸球游戲?！昂凶永镅b有紅、黃兩種顏色的球，每個小組的盒子里裝的球都是一樣的?！卑凑战滩幕顒右?，每個小組摸20次，記錄摸球的顏色，最后整理成統(tǒng)計表（實際教學以本班活動統(tǒng)計數(shù)據(jù)為研究資源）。觀察、分析摸球統(tǒng)計情況，雖然各小組摸到紅球、黃球的次數(shù)不盡相同，但都是摸到紅球的次數(shù)比黃球的次數(shù)多，摸到紅球的總次數(shù)比摸到黃球的總次數(shù)多的多。以此來推斷盒子里紅球比黃球多，但不能確定盒子里紅球有幾個、黃球有幾個。如果各小組再摸一次，可以確定大多數(shù)小組能摸到紅球，但不能確定每個小組都會摸到紅球。這個活動，使學生感受歸納推理結論的不確定性，要通過驗證才能確定。

（二）在教學中，如何培養(yǎng)學生的推理能力

對學生推理能力的培養(yǎng)是一個逐漸提升的長期過程，《課標》明確要求“推理能力的發(fā)展應貫穿于整個教學學習過程中”。這里的“貫穿整個教學學習過程”應該有這樣幾層含義：

1.它應貫穿于整個數(shù)學課程的各個學習內(nèi)容

這一點，前面結合教材已經(jīng)作了簡要分析。

2.它應貫穿于數(shù)學課堂教學的各種課型

概念教學。讓學生經(jīng)歷直觀感知，建立表象，揭示本質(zhì)屬性的過程，從特定對象的本質(zhì)屬性入手，抽象、概括形成概念。如周長。從現(xiàn)實生活中的多種實物入手，直觀感知物體的表面都有邊線。樹葉邊線的總長是樹葉的周長；三角尺三條邊線的總長是三角尺的周長；數(shù)學課本封面四條邊線的總長是數(shù)學課本封面的周長；鐘表盤邊線的總長是鐘表面的周長等，在頭腦中建立物體表面周長的概念。然后，抽象出物體表面的幾何圖形，直觀認識封閉圖形一周的長度，是這個圖形的周長。

計算教學。它貫穿于小學數(shù)學的每個領域。在計算活動過程中尋找方法，這是一個經(jīng)歷觀察、計算、歸納等合情推理去發(fā)現(xiàn)計算方法的過程。因此，小學數(shù)學教學中應注意挖掘計算素材中的合情推理，促進學生合情推理能力的培養(yǎng)。如，三年級上冊“多位數(shù)乘一位數(shù)”。讓學生經(jīng)歷從特殊到一般運算法則的建立過程。從簡單運算入手，經(jīng)歷幾個案例的計算和分析過程，歸納出一般的計算方法。例1，理解并掌握不進位乘法豎式的書寫格式，乘的順序和積的書寫位置。例2，理解并掌握一次進位乘法豎式的書寫格式，乘的順序和積的書寫位置。例3，理解并掌握連續(xù)進位乘法豎式的書寫格式，乘的順序和積的書寫位置。在經(jīng)過三個例題學習基礎上，歸納總結出多位數(shù)乘一位數(shù)乘法的計算法則：從個位乘起，用一位數(shù)依次乘多位數(shù)的每一位，哪一位上乘得的積滿幾十，就向前一位進幾。

規(guī)律教學。在探索某規(guī)律的過程中，學生需要用到觀察、發(fā)現(xiàn)、猜想、驗證、概括等思維方法。發(fā)現(xiàn)規(guī)律往往要經(jīng)歷多次猜想、驗證的探究過程，即類比猜想，舉例推翻猜想，改變方法，再次猜想，驗證猜想，得出結論。如五年級下冊“3的倍數(shù)的特征”。學生學過2、5的倍數(shù)特征，知道只需要看個位數(shù)，就可以判斷這個數(shù)是不是2或5的倍數(shù)。學習3的倍數(shù)前，類比猜想：只看個位數(shù)能不能判斷一個數(shù)是3的倍數(shù)？推翻猜想：3、6、9是3的倍數(shù)，13、16、19是3的倍數(shù)嗎？再次猜想：一個數(shù)各位上數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個數(shù)是3的倍數(shù)嗎？猜想驗證：觀察百數(shù)表中各數(shù)，圈出3的倍數(shù)，發(fā)現(xiàn)3的倍數(shù)排成“斜行”，通過討論發(fā)現(xiàn)規(guī)律，即十位與個位數(shù)字的和不變，是3的倍數(shù)。最后得出結論：一個數(shù)各位上數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個數(shù)是3的倍數(shù)。舉例驗證通過學生自主去完成。

實驗操作教學。小學階段學生的數(shù)學思維以形象、直觀思維為主，而抽象性與邏輯性思維是數(shù)學思維活動的特點之一，這兩者存在矛盾。指導學生通過動手操作，如擺一擺、折一折、剪一剪、量一量、畫一畫、掂一掂及各種實驗，去體驗、感受數(shù)學的思考過程，有利于縮小這一矛盾。學生在操作過程中，進行觀察、發(fā)現(xiàn)、分析、歸納、概括等數(shù)學活動，可以經(jīng)歷知識的形成過程，有利于學生合情推理能力的培養(yǎng)。如：二年級“平均分”、四年級“三角形的內(nèi)角和”、五年級“長方體表面展開圖”、六年級“圓錐的體積”等。

四年級下冊“三角形的內(nèi)角和”。①發(fā)現(xiàn)現(xiàn)象：連接長方形對角線進行觀察，長方形的四個角都是90°，內(nèi)角和是360°。②提出猜想：直角三角形是長方形的一半，內(nèi)角和應該是180°。③驗證猜想：用任意（最好選取直角、銳角和鈍角）三角形進行驗證。（合情推理三種方法）

測算法。用量角器分別測量三個角的度數(shù)，再把三個角的度數(shù)加起來，得到三角形的內(nèi)角和是180°或大約180°。

剪拼法。把三角形的3個角剪下來，拼到一起得到一個平角。平角是180°，所以三角形的內(nèi)角和是180°。

折拼法。把三角形的3個角折到一起得到一個平角。這樣就得出三角形的內(nèi)角和是180°。

解決問題教學。三年級上冊“長方形和正方形周長”例5，用16張邊長是1分米的正方形紙拼長方形和正方形。怎樣拼才能使拼成的圖形周長最短？通過閱讀與理解，明確“用16張正方形紙拼圖形，有不同的拼法”和待解決的問題“怎樣拼周長最短”。解決問題的方法，可以用實物正方形動手拼一拼，也可以畫圖進行。解決問題的關鍵是觀察、分析、推斷拼出的多種圖形。先交流展示拼出的各種圖形，再猜想哪種拼圖周長最短。最后通過分別計算各圖形的周長發(fā)現(xiàn)規(guī)律：拼成長方形的長與寬，小正方形的個數(shù)越接近，這個長方形的周長越小。拼成的正方形周長最小。當學習長方形面積之后，這一結論可以通過類比推理猜想，長方形的面積一定，長、寬如何變化，周長最小。如，面積是24平方分米的長方形，周長最小是多少？

3.它應貫穿于整個數(shù)學學習的環(huán)節(jié)

如：預習，復習、課堂教學、練習、檢測考試……在所有的這些學習環(huán)節(jié)中，逐步要求學生做到言必有據(jù)，合乎邏輯。

預習。抓住新舊知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，適時地提出猜想要求，如學習分數(shù)的基本性質(zhì)前，預習除法的基本性質(zhì)。提出：根據(jù)分數(shù)與除法的關系，除法有基本性質(zhì)，分數(shù)有這樣的基本性質(zhì)嗎？如果有，猜一猜，分數(shù)的基本性質(zhì)可能是什么？學習比的基本性質(zhì)前，提出根據(jù)“兩個數(shù)相除也叫兩個數(shù)的比”，猜想“比”有這樣的基本性質(zhì)嗎？如果有，猜一猜比的基本性質(zhì)可能是什么？

復習?；仡檶W過相關知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，建構知識鏈，培養(yǎng)學生的猜想、聯(lián)想、類比等數(shù)學思維能力。如多邊形面積計算的復習。提出：平行四邊形、三角形、梯形面積公式的推導方法有哪些相同點？推導時抓住“什么變了？什么沒變？”進行推導。想象：當梯形的上底逐漸縮小，成為0時，梯形變成了什么圖形？猜想：梯形的面積公式變成了什么？想象：當梯形的上底逐漸變長，變成與下底一樣長時，梯形變成了什么圖形？猜想：梯形的面積公式變成了什么？

練習。在模仿練習、變式練習基礎上增強綜合練習內(nèi)容。如在學過兩位數(shù)乘多位數(shù)及乘法估算后，提升學生的估算和推理能力的練習：把下面四個算式的運算結果從小到大排序。A. 28×12； B. 26×12； C. 11×26； D. 13×28。學過周長計算后，提升學生視圖和推理能力的練習。把下面四個圖形的周長按從小到大排序。學過面積后，把四個圖形的面積按一定順序排列。學過分數(shù)的大小比較后，把下面的分數(shù)按大小排列。等等。