超幾何分布與二項(xiàng)分布的錯(cuò)解和正解的數(shù)學(xué)期望值相等

武增明

(云南省玉溪第一中學(xué) 653100)

一、問(wèn)題的由來(lái)

在我校2017屆數(shù)學(xué)模擬考試中有兩道涉及超幾何分布與二項(xiàng)分布的概率題目，學(xué)生做得很不理想.具體題目如下：

1.為了解今年某校高三畢業(yè)班準(zhǔn)備報(bào)考飛行員學(xué)生的體重情況，將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫出了頻率分布直方圖(如圖1)，已知圖中從左到右的前3個(gè)小組的頻率之比為1∶2∶3，其中第2小組的頻數(shù)為4.

(1)求該校報(bào)考飛行員的總?cè)藬?shù)；

(2)以這所學(xué)校的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)全省的總體數(shù)據(jù)，若從全省報(bào)考飛行員的同學(xué)中(人數(shù)很多)任選3人，設(shè)X表示體重超過(guò)60公斤的學(xué)生人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

2.某中學(xué)動(dòng)員學(xué)生在2017年春節(jié)期間至少參加一次社會(huì)公益活動(dòng)(下面簡(jiǎn)稱為“活動(dòng)”).該校合唱團(tuán)共有100名學(xué)生，他們參加活動(dòng)的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如圖2所示.

(1)求合唱團(tuán)學(xué)生參加活動(dòng)的人均次數(shù)；

(2)從合唱團(tuán)中任選2名學(xué)生，求他們參加活動(dòng)次數(shù)恰好相等的概率；

(3)從合唱團(tuán)中任選2名學(xué)生，用ξ表示這兩人參加活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ.

不少學(xué)生在解答這兩題的最后一問(wèn)時(shí)出現(xiàn)了如下的典型錯(cuò)誤：

1.(2)錯(cuò)解 由題知，體重在60公斤以下的有6人，60公斤以上的有10人.隨機(jī)變量X服從超幾何分布且可以?。?，1，2，3.

2.(3)錯(cuò)解 由題知，在每次抽取中，抽到參加1次、2次、3次活動(dòng)的概率分別為0.1，0.5，0.4；

隨機(jī)變量ξ的取值為0，1，2.

為了便于說(shuō)明問(wèn)題，我們給出兩題的正確解答.

所以X服從二項(xiàng)分布，

隨機(jī)變量X的分布列為：

X0123P27512135512225512125512

2.3正解 隨機(jī)變量ξ的取值為0，1，2，

ξ的分布列為：

ξ012P41995099899

數(shù)學(xué)期望

反思上述兩題中學(xué)生所犯的典型錯(cuò)誤，我覺(jué)得我們需要思考為什么正解與錯(cuò)解中的數(shù)學(xué)期望值相等這個(gè)問(wèn)題.

二、問(wèn)題的解決

超幾何分布定義(普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書，數(shù)學(xué)2-3(A)，2009年4月第3版)：

X01…mPC0MCn-0N-MCnNC1MCn-1N-MCnN…CmMCn-mN-MCnN

為超幾何分布列，稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.

依數(shù)學(xué)期望的定義公式有：

故超幾何分布與二項(xiàng)分布的錯(cuò)解和正解的數(shù)學(xué)期望值相等.