“數(shù)形結(jié)合”巧解二次函數(shù)問(wèn)題

一、原題呈現(xiàn)

蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)下冊(cè)第25頁(yè)例題：

不畫(huà)圖像，判斷二次函數(shù)y=-x2+5x-8的圖像與x軸是否有公共點(diǎn).

【解析】此題考查的是對(duì)二次函數(shù)的圖像與x軸公共點(diǎn)的認(rèn)識(shí)情況，涉及由函數(shù)模型到方程模型的轉(zhuǎn)化.要想判斷二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像和x軸的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，只需將這個(gè)二次函數(shù)先轉(zhuǎn)化為一元二次方程ax2+bx+c=0，再根據(jù)一元二次方程的根的情況來(lái)判斷即可：（1）b2-4ac＞0，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)；（2）b2-4ac=0，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸有一個(gè)公共點(diǎn)；（3）b2-4ac＜0，一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸沒(méi)有公共點(diǎn).此題答案是：沒(méi)有公共點(diǎn).

那么除了采用“根的判別式”法判斷之外，有時(shí)解方程是更加直接的方法.我們?cè)倏幢卷?yè)練習(xí)的第一小題：

不畫(huà)圖像，判斷二次函數(shù)y=x2-x的圖像與x軸的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).

解法一：∵一元二次方程x2-x=0的根的判別式b2-4ac=（-1）2-4×1×0＞0，

∴方程x2-x=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

∴二次函數(shù)y=x2-x的圖像與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn).

解法二：∵一元二次方程x2-x=0的根為x1=1，x2=0，

∴二次函數(shù)y=x2-x的圖像與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn).

【總結(jié)】x軸其實(shí)可以看作是直線y=0，所以要想判斷二次函數(shù)y=-x2+5x-8的圖像與x軸是否有公共點(diǎn)，其實(shí)也就是判斷拋物線y=-x2+5x-8和直線y=0是否有公共點(diǎn)，也就是的解的情況，于是得到方程-x2+5x-8=0.從解析式入手，借助方程組倒是一個(gè)可以解決二次函數(shù)的圖像和直線（一次函數(shù)）的公共點(diǎn)問(wèn)題的通法.

二、變化延伸

教材上的例題是專家們精心琢磨的數(shù)學(xué)范例，它就像一粒種子，蘊(yùn)藏著巨大的能量.近幾年來(lái)，二次函數(shù)的圖像與x軸的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題成為中考的熱點(diǎn).而將參數(shù)引入二次函數(shù)，二次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸、直線、線段等的公共點(diǎn)問(wèn)題是這個(gè)例題最常見(jiàn)的生長(zhǎng)方向.

延伸1

例1 已知二次函數(shù)y=kx2-2x-1的圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則k的取值范圍為_(kāi)____.

例2 若二次函數(shù)y=x2+mx+4的圖像如圖所示，則m的值為 .

【解析】考題中經(jīng)常將二次函數(shù)的圖像和x軸的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)作為條件，通過(guò)文字或者圖像等方式給出，要求求出參數(shù)的值或者范圍.

在第一題中，由二次函數(shù)的圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)想到一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，從而列出不等式b2-4ac＞0，解出k的范圍，另外，要注意二次項(xiàng)系數(shù)不可以為0；觀察第二題的圖像，不難發(fā)現(xiàn)拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，可根據(jù)b2-4ac=0，計(jì)算出m的值，需要注意的是，此題還需要考慮二次函數(shù)圖像的隱藏條件：對(duì)稱軸在y軸的左側(cè).此題在考查知識(shí)的同時(shí)，還滲透著數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

解：1.∵二次函數(shù)y=kx2-2x-1的圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

∴一元二次方程kx2-2x-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

∴b2-4ac＞0，

∴（-2）2-4·k·（-1）＞0，

∴k＞-1，

又∵k≠0，

∴k＞-1且k≠0.

∴m=4.延伸2例3 已知二次函數(shù)y=2（x-1）（x-m-3）（m為常數(shù)）.

（1）求證：不論m取何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有公共點(diǎn).

（2）當(dāng)m取何值時(shí)，該函數(shù)的圖像與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方？

【解析】考題中經(jīng)常出現(xiàn)含參的二次函數(shù)，并要求判斷該函數(shù)的圖像與x軸的公共點(diǎn)情況.這道題給出的二次函數(shù)的形式很特別，所以我們?cè)诮鉀Q問(wèn)題時(shí)，既可以像往常一樣，化成一般形式，從總有公共點(diǎn)聯(lián)想到一元二次方程總有實(shí)數(shù)根，從而借助根的判別式進(jìn)行判斷.需要注意的是，在配方時(shí)，二次項(xiàng)的系數(shù)不可以直接去掉.當(dāng)然，我們也可以將該二次函數(shù)轉(zhuǎn)化成方程形式2（x-1）（x-m-3）=0，直接解出兩個(gè)根，以根的具體形式進(jìn)行討論.

第二題主要考查了對(duì)二次函數(shù)的圖像與y軸交點(diǎn)的認(rèn)識(shí)情況，難度不大，但方法很多，既可以根據(jù)與y軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)特征為0，求出交點(diǎn)縱坐標(biāo)來(lái)研究，也可以借助圖像來(lái)判斷m+3與0和1的大小關(guān)系，或者根據(jù)對(duì)稱軸的位置求出m的范圍，滲透著數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想.

證明：（1）方法一：令y=0，得2（x-1）（x-m-3）=0，

整理得：2x2-2（m+4）x+2m+6=0，

∵b2-4ac=［-2（m+4）］2-4×2（2m+6）=4m2+16m+16=4（m2+4m+4）=4（m+2）2≥ 0，

2.∵二次函數(shù)y=x2+mx+4的圖像與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，

∴一元二次方程x2+mx+4=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

∴b2-4ac=0，

∴m2-4×1×4=0，

∴m=4或-4，

∵對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，

∴不論m取何值，該方程總有實(shí)數(shù)根，

∴不論m取何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有公共點(diǎn).

方法二：令y=0，得2（x-1）（x-m-3）=0，

解這個(gè)方程得，x1=1，x2=m+3，

∴不論m取何值，該方程總有實(shí)數(shù)根，

∴不論m取何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有公共點(diǎn).

解：（2）解法一：當(dāng)x=0時(shí)，y=2m+6，

∴由2m+6＞0，得m＞-3，

∴m＞-3時(shí)，該函數(shù)的圖像與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方.

解法二：2（x-1）（x-m-3）=0的兩根為x1=1，x2=m+3，

若m+3＜0，如下圖，不符合題意，∴舍去.

若m+3=0，如下圖，不符合題意，∴舍去.

若0＜m+3＜1，如下圖，符合題意，∴-3＜m＜-2.

若m+3=1，如下圖，符合題意，∴m=-2.

若m+3＞1，如下圖，符合題意，∴m＞-2.

綜上，m＞-3.

∴m＞-3時(shí)，該函數(shù)的圖像與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方.

解法三：2（x-1）（x-m-3）=0的兩根為x1=1，x2=m+3，

∴該函數(shù)的對(duì)稱軸是直線x=2+0.5m，

∵函數(shù)的圖像與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方，

∴2+0.5m＞0.5，

∴m＞-3，

∴m＞-3時(shí)，該函數(shù)的圖像與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方.

延伸3

例4 若函數(shù)y=x2-2x+b的圖像與坐標(biāo)軸有3個(gè)交點(diǎn)，則b的取值范圍是（ ）.

A.b＜1且b≠0 B.b＞1

C.0＜b＜1 D.b＜1

【解析】根據(jù)二次函數(shù)的圖像特征，它與y軸必有一個(gè)公共點(diǎn).而題中y=x2-2x+b的圖像與坐標(biāo)軸有3個(gè)交點(diǎn)，也就意味著該函數(shù)圖像與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，接下來(lái)可以根據(jù)二次函數(shù)所對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式Δ＞0列出不等式，求出b的范圍.但是，需要注意的是，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線與x軸的交點(diǎn)和與y軸的交點(diǎn)在原點(diǎn)處重合，不符合題中與坐標(biāo)軸有3個(gè)交點(diǎn)的條件，故需舍去.

解：∵函數(shù)y=x2-2x+b的圖像與坐標(biāo)軸有3個(gè)交點(diǎn)，

∴函數(shù)y=x2-2x+b的圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

∴一元二次方程x2-2x+b=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

∴Δ＞0，

∴（-2）2-4×1·b＞0，

∴b＜1.

∵函數(shù)y=x2-2x+b的圖像與坐標(biāo)軸有3個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線與x軸的交點(diǎn)和與y軸的交點(diǎn)在原點(diǎn)處重合，

∴b＜1且b≠0.

故選A.

延伸4

例5 在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=4x+4與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，拋物線y=ax2+bx-3a經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，將點(diǎn)B向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)C.

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo).

（2）求拋物線的對(duì)稱軸.

（3）若拋物線與線段BC恰有一個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖像，求a的取值范圍.

【解析】（1）（2）略.在第三題中，由于線段BC是有范圍的，且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以通過(guò)函數(shù)圖像找出不等關(guān)系，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，分類討論，即可求出a的取值范圍.

解：（1）∵A（-1，0），B（0，4），∴C（5，4）.

（3）∵拋物線始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0），且對(duì)稱軸為直線x=1，由拋物線對(duì)稱性，可知拋物線一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)（3，0）.

∴只需對(duì)a進(jìn)行分類討論即可.

①當(dāng)a＞0時(shí)，如下圖，

把x=0代入拋物線解析式得y=-3a，把x=5代入拋物線解析式得y=12a.

③當(dāng)拋物線頂點(diǎn)在線段BC上時(shí)，頂點(diǎn)為（1，4），如下圖，

把點(diǎn)（1，4）代入拋物線解析式，得a=-1.

總之，要解決二次函數(shù)的圖像公共點(diǎn)問(wèn)題，我們只需抓住方程、不等式、函數(shù)之間的聯(lián)系，關(guān)注二次函數(shù)的“式結(jié)構(gòu)”和“形結(jié)構(gòu)”，留意題中的隱含條件，就可以做到一通百通.