還原基本結(jié)構(gòu) 重塑題目原型

陳心紅

幾何學是研究觀實世界中物體的形狀，大小和位置關系的一門學科，立體幾何研究的空間是現(xiàn)實空間，認識空間圖形，可以培養(yǎng)學生的空間想象能力、運用圖形語言進行交流的能力及幾何直觀能力，

本文的思考源于蘇教版數(shù)學2必修書本第71頁第20題（以下簡稱為原題）.該題從“補”的角度，將空間圖形還原成基本結(jié)構(gòu)來研究和處理問題，讓讀者從中體會到，抓住基本結(jié)構(gòu)是解決立體幾何問題的關鍵，從而可以使問題的解決得以優(yōu)化，現(xiàn)將該題呈現(xiàn)如下，

原題設P，A，B，C是球0上的四個點，PA，PB，PC兩兩垂直，且P=PB= PC =1，求球的體積和表面積.

分析 很多學生讀完該題后無從下筆，主要原因在于，如何把符合題意的圖形畫出來呢？PA，PB，PC兩兩垂直這個條件怎么用？球心在哪？長度怎么用？半徑怎么求？越想思路越亂，頭腦一片空白，

出現(xiàn)上述現(xiàn)象的原因應該是學生沒有將題意給出的關鍵條件——三條線PA，PB，PC兩兩垂直進行深入分析，且沒有從PA= PB= PC=1的這個條件發(fā)現(xiàn)更為重要的隱含信息，更為關鍵是沒有想到立體幾何的基本結(jié)構(gòu)——正方體，及其正方體的性質(zhì)，即沒有把長度相等、兩兩垂直且有公共點的三條線段構(gòu)成的幾何體還原成立體幾何的基本結(jié)構(gòu)——正方體，以至于圖形畫不出、條件不會用，

思路 P，A，B，C四點構(gòu)成的以P為頂點，長度相等，兩兩垂直的幾何體剛好含在棱長為1的正方體中，它們有共同的外接球0（如圖1）.而外接球0的直徑2r剛好為正方體棱長的√3倍，故2r=√3，r=√3/2，從而易得球的體積和表面積，

總結(jié) 部分同學在遇到類似的抽象題目時，頭腦不夠清晰，思路不夠發(fā)散，局限于題目本身，總想試圖從題目中獲取直接的線索，當題目條件抽象和線索不明時，要多讀幾遍題目，培養(yǎng)一個求解類似題目的習慣：把復雜的問題簡單化考慮，將抽象的題意還原成它的最基本的結(jié)構(gòu)，重塑題目原型，所謂的復雜抽象的題目便可迎刃而解，

變式 棱長為a的正四面體ABCD的四個頂點均在一個球面上，求球的半徑R.

分析 此題初看具有一定的難度，題干短小精悍，解題線索少且較為抽象，一時無法下手，更重要的是，該題對學生的空間想象能力要求較高，需要具備較為扎實的空間幾何的基礎知識儲備，難點在于根據(jù)題意的描述，很難快速和準確地將圖形畫出來，以至于無法繼續(xù)解題，一方面很多學生不知道球心在哪、怎么畫，另一方面有的學生雖然知道球心的位置，但不會求解，課堂現(xiàn)場教學中，很少有學生能夠計算出正確答案，而本題考察知識點較多，解題中用到數(shù)學方法具備典型性，且解法多樣，值得探究，

該思路的運算量較大，對學生的空間想象能力要求較高，外接球的球心假設非常關鍵，如果不能對此作適當假設，并不能將重心和球心很好地銜接，該題也不易解決，該思路需要運用的知識點也較多，用到直角三角形性質(zhì)、正四面體性質(zhì)、重心及球心特性等，雖然最后得到答案，但費時費力，實際中操作性較差，

思路2 如果此時能夠換一種思考方式，發(fā)散數(shù)學思維，去偽存真，題目便露出原型，因正四面體的外接球難以作圖，而想到把正四面體還原成基本結(jié)構(gòu)——正方體，利用正四面體與正方體有共同的外接球的特性，便可巧妙將圖形畫出來（如圖3）.

這樣的解答過程，不僅運算量大大減少，出現(xiàn)計算錯誤的概率也大大減少，而且節(jié)省了大量的時間，化繁為簡，出其不意，

思路2 使學生深刻體會到在研究立體幾何時，往往把不好處理的幾何體通過轉(zhuǎn)化還原成基本結(jié)構(gòu)——長方體、正方體、正四面體、球、正三角形等基礎圖形來解決問題，不僅可以使問題得以解決，而且還可以優(yōu)化解法，同樣地，我們在遇見其它類似的平面幾何、解析幾何、概率及復雜的函數(shù)等問題時候，要能夠及時變換思路，嘗試去探索你認為最不可能的簡單結(jié)構(gòu)，將題目分解成一個個微小部分，創(chuàng)新解題方法，

事實上，在立體幾何的日常學習中，只要注重將基本知識點融會貫通，關注類似問題求解策略的相似性，善于將復雜問題變換為基本圖形結(jié)構(gòu)，則立體幾何問題的輕松求解、空間想象能力和幾何直觀能力的大幅提高，都應該是不難實現(xiàn)的目標，

參考文獻

[1]單墫主編.普通高中課程標準實驗教科書.數(shù)學2必修[M].南京：江蘇教育出版社， 2012