試論“數(shù)學(xué)建?！彼仞B(yǎng)形成和發(fā)展的基本途徑

陳中峰

數(shù)學(xué)建模是新一輪課程改革提出的數(shù)學(xué)學(xué)科“六大”核心素養(yǎng)之一，是數(shù)學(xué)與外界聯(lián)系的橋梁，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式，也是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的手段，只有切實(shí)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，才能使學(xué)生切實(shí)感悟到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界間的密切聯(lián)系，才能自覺地從現(xiàn)實(shí)世界發(fā)現(xiàn)和提出與數(shù)學(xué)相關(guān)的問題，并用數(shù)學(xué)語言加以表達(dá)，用數(shù)學(xué)模型加以解決，因此，數(shù)學(xué)建模是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)“用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維思考世界，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界”重要載體，是促進(jìn)學(xué)生思維能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)發(fā)展的重要素養(yǎng)，正因?yàn)槿绱耍镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》十分關(guān)注數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，把“數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)”和函數(shù)、幾何與代數(shù)、統(tǒng)計(jì)與概率等并列作為貫穿課程始終的四條內(nèi)容主線之一，并在評(píng)價(jià)考試建議中，要求保證“一定數(shù)量的應(yīng)用問題”“重點(diǎn)考查學(xué)生的思維過程、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)”等，讓促進(jìn)學(xué)生實(shí)踐創(chuàng)新能力和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的發(fā)展實(shí)實(shí)在在落在數(shù)學(xué)課程中，落在數(shù)學(xué)教學(xué)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、評(píng)價(jià)考試中，那么，在課程實(shí)施中應(yīng)如何有效地促進(jìn)學(xué)生“數(shù)學(xué)建?！彼仞B(yǎng)的形成和發(fā)展呢？本文擬就此作些探討.

1 數(shù)學(xué)建模的含義

數(shù)學(xué)建模（ Mathematical Modeling）是指用數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)式子、程序、圖表等對(duì)現(xiàn)實(shí)世界相關(guān)問題的本質(zhì)屬性進(jìn)行抽象，并用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行準(zhǔn)確而又簡(jiǎn)潔的刻劃，提煉出能夠恰好反映問題本質(zhì)的數(shù)學(xué)模型（Mathematical Model），并通過對(duì)這個(gè)數(shù)學(xué)模型的解決，實(shí)現(xiàn)或解釋某些客觀現(xiàn)象、或預(yù)測(cè)未來發(fā)展規(guī)律、或?yàn)榭刂颇骋滑F(xiàn)象的發(fā)展提供某種意義下的最優(yōu)策略或較好策略的目的，當(dāng)然，這里的數(shù)學(xué)模型，一般并非現(xiàn)實(shí)問題的直接翻版，它的建立常常既需要人們對(duì)現(xiàn)實(shí)問題深入細(xì)微的觀察和分析，又需要人們靈活巧妙地利用各種數(shù)學(xué)知識(shí)，建立教學(xué)模型的過程，是把錯(cuò)綜復(fù)雜的實(shí)際問題簡(jiǎn)化、抽象為合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過程，數(shù)學(xué)建模一般包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計(jì)算求解，驗(yàn)證結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題等環(huán)節(jié)，

數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)，是最重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)之一，是聯(lián)系數(shù)學(xué)世界與現(xiàn)實(shí)世界的基本橋梁，將數(shù)學(xué)的知識(shí)、方法和思想應(yīng)用于數(shù)學(xué)之外，解決實(shí)際問題的基本通道，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的創(chuàng)新意識(shí)與應(yīng)用意識(shí)，具有數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的學(xué)生，能夠在若干具體的現(xiàn)實(shí)世界中抽象出數(shù)學(xué)問題，并靈活運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法和思想創(chuàng)造性地解決問題，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)有利于激發(fā)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí)，促進(jìn)學(xué)生實(shí)踐、創(chuàng)新能力的提高，

根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》，高中學(xué)生“數(shù)學(xué)建?！彼仞B(yǎng)的相關(guān)要求如下表：

2 促進(jìn)“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)形成和發(fā)展的基本途徑

通過上述討論我們知道：數(shù)學(xué)建模實(shí)際上是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題數(shù)學(xué)化處理，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法建構(gòu)模型解決問題的過程，完整的數(shù)學(xué)建模一般包括模型建構(gòu)、數(shù)學(xué)求解及模型解釋三個(gè)階段，模型建構(gòu)階段主要是利用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)含在現(xiàn)實(shí)世界中的問題，借助數(shù)學(xué)思維對(duì)問題進(jìn)行分析，并利用數(shù)學(xué)語言對(duì)問題進(jìn)行表達(dá)，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)從現(xiàn)實(shí)世界到數(shù)學(xué)世界的過渡，其核心在于合理地選擇、應(yīng)用數(shù)學(xué)模型;數(shù)學(xué)求解階段主要是利用數(shù)學(xué)的知識(shí)、技能、方法和思想對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，得到數(shù)學(xué)模型的解，其核心在于科學(xué)合理地應(yīng)用數(shù)學(xué)手段準(zhǔn)確地求解;而模型解釋階段主要是借助數(shù)學(xué)模型的解，驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論與實(shí)際問題的吻合程度，并據(jù)此對(duì)模型進(jìn)行反思、調(diào)整和改進(jìn)，確保模型能較好地反映實(shí)際問題，并用于預(yù)測(cè)或決策，由此可見，數(shù)學(xué)建模是一種綜合運(yùn)用知識(shí)分析解決問題的過程，不但要有敏銳的數(shù)學(xué)眼光，而且要有扎實(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的形成和發(fā)展不可能是一蹴而就的，具有階段性、連續(xù)性、整合性等特點(diǎn)，是一個(gè)漫長(zhǎng)的過程，因此，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》在談到數(shù)學(xué)建模時(shí)特別強(qiáng)調(diào)，“教師應(yīng)整體設(shè)計(jì)、分步實(shí)施數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生從類比模仿到自主創(chuàng)新、從局部實(shí)施到整體構(gòu)想，經(jīng)歷‘選題、開題、做題、結(jié)題的活動(dòng)過程，積累發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的經(jīng)驗(yàn)，養(yǎng)成獨(dú)立思考與合作交流的習(xí)慣”.

2.1 借助習(xí)題教學(xué)，交給“數(shù)學(xué)建模”方法

發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的目的在于使學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光去認(rèn)識(shí)自己生活的社會(huì)和環(huán)境，學(xué)會(huì)以數(shù)學(xué)的思維方式對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的問題進(jìn)行思考，并將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法及思想合理地應(yīng)用于生活實(shí)踐，解決現(xiàn)實(shí)生活中的問題，但是，任何的學(xué)習(xí)都是從模仿開始的，學(xué)生數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng)也是在一節(jié)課一節(jié)課、一個(gè)單元一個(gè)單元、一個(gè)主題一個(gè)主題的學(xué)習(xí)中不斷積累，逐步從模仿、吸收、內(nèi)化的過程中形成和發(fā)展起來的，在日常教學(xué)中，應(yīng)關(guān)注尋找數(shù)學(xué)知識(shí)在客觀世界中的實(shí)際背景，引導(dǎo)學(xué)生提煉相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，分析模型的實(shí)際意義及適用情景，如，在函數(shù)的教學(xué)中應(yīng)有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生把握直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等函數(shù)模型，分析各種模型的增長(zhǎng)含義及其在人口增長(zhǎng)、利息計(jì)算、投資回報(bào)等方面的實(shí)際應(yīng)用，剖析各種增長(zhǎng)模型在現(xiàn)實(shí)生活中的適用情形，建構(gòu)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的認(rèn)知基礎(chǔ)，并在這個(gè)基礎(chǔ)上，合理利用具有實(shí)際應(yīng)用意義的例習(xí)題，通過對(duì)問題的合理解剖、分析，引導(dǎo)學(xué)生初步學(xué)會(huì)通過數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問題，初步掌握數(shù)學(xué)建模的基本方法和過程，

案例1假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下：

方案1：每月回報(bào)40元;

方案2：第一個(gè)月回報(bào)10元，以后每月比前一月多回報(bào)10元;

方案3：第一個(gè)月回報(bào)0.4元，以后每月的回報(bào)比前一月翻一番，

請(qǐng)問，你會(huì)選擇哪種投資方案？

要解決這個(gè)問題，可以先建立三種投資方案所對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型，再通過比較它們的增長(zhǎng)情況，選擇投資方案，為此，設(shè)第x月所得回報(bào)是y元，則方案1可以用函數(shù)y= 40.xeN*進(jìn)行描述;方案2可以用函數(shù)y=lOx.x∈N*進(jìn)行描述;方案3可以用函數(shù)y= 0.4×2x-1，x∈N+進(jìn)行描述，

三個(gè)模型，第一個(gè)是常數(shù)函數(shù)，后兩個(gè)都是遞增函數(shù)模型，要對(duì)三個(gè)方案作出選擇，就要對(duì)它們的增長(zhǎng)情況進(jìn)行分析，為此，我們先用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)計(jì)算三種方案所得回報(bào)的增長(zhǎng)情況如下表：

由上表和圖象可知，方案1的函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，方案2、方案3的函數(shù)都是增函數(shù)，但方案3的函數(shù)與方案2的函數(shù)的增長(zhǎng)情況很不相同，可以看到，盡管方案1、方案2在第1個(gè)月所得回報(bào)分別是方案3的100倍和25倍，但它們的增長(zhǎng)量固定不變，而方案3是“指數(shù)增長(zhǎng)”，其“增長(zhǎng)量”是成倍增加的，從第7月開始，方案3比其他兩個(gè)方案增長(zhǎng)得快得多，這種增長(zhǎng)速度是方案1、方案2無法企及的，從每月所得回報(bào)看，在第1-4月，方案1最多;在第5-8月，方案2最多;第9月開始，方案3比其他兩個(gè)方案所得回報(bào)多得多，再通過比較投資期間的總收益，知道：如果投資時(shí)間不超過7個(gè)月，選擇方案1;投資時(shí)間超過7個(gè)月但不超過10個(gè)月，選擇方案2;投資時(shí)間超過10個(gè)月，選擇方案3.

結(jié)合問題的解決，在解決問題的過程中闡述數(shù)學(xué)建模的基本過程，并給出解決問題的流程圖：

在這個(gè)階段，側(cè)重點(diǎn)是讓學(xué)生熟悉相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，把握數(shù)學(xué)模型的含義及適用情形，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的基本流程，是方法的習(xí)得階段，實(shí)現(xiàn)“了解熟悉的數(shù)學(xué)模型的實(shí)際背景及其數(shù)學(xué)描述，了解數(shù)學(xué)模型中的參數(shù)、結(jié)論的實(shí)際含義”，“知道數(shù)學(xué)建模的過程”，達(dá)到數(shù)學(xué)建模水平1的要求，是數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的初步養(yǎng)成階段.

2.2 經(jīng)歷問題解決，積累“數(shù)學(xué)建?！苯?jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)建模是綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)問題的過程，需要靈活地將所學(xué)的數(shù)學(xué)模型合理地應(yīng)用于實(shí)際問題之中，單憑模仿是無法完成的，模仿的目的是為了能夠自主地應(yīng)用，當(dāng)然，這個(gè)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，不但要掌握數(shù)學(xué)建模的基本流程，還需要具備較豐富的數(shù)學(xué)模型、把握相關(guān)模型的含義及適用情形，這需要一個(gè)漫長(zhǎng)的逐步內(nèi)化的過程，因此，在數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)中應(yīng)根據(jù)具體數(shù)學(xué)模型，通過適時(shí)的合理變式，營(yíng)造解決實(shí)際問題的氛圍，讓學(xué)生初步經(jīng)歷應(yīng)用知識(shí)解決問題的過程，通過相對(duì)獨(dú)立地解決實(shí)際問題，實(shí)現(xiàn)“能夠選擇合適的數(shù)學(xué)模型表達(dá)所要解決的數(shù)學(xué)問題;理解模型中參數(shù)的意義，知道如何確定參數(shù)，建立模型，求解模型;能夠根據(jù)問題的實(shí)際意義檢驗(yàn)結(jié)果，完善模型，解決問題;能夠在關(guān)聯(lián)的情境中，經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程，理解數(shù)學(xué)建模的意義;能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)語言，表述數(shù)學(xué)建模過程中的問題以及解決問題的過程和結(jié)果，形成研究報(bào)告，展示研究成果”，達(dá)到數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平二的要求，并在這個(gè)過程中積累數(shù)學(xué)建模的基本經(jīng)驗(yàn)，為數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的進(jìn)一步發(fā)展提供保證，

案例2 在解三角形的教學(xué)中，在講解相關(guān)例題的基礎(chǔ)上，通過變式讓學(xué)生借助皮尺、測(cè)角器測(cè)量河對(duì)岸的某建筑物的高度，引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)數(shù)學(xué)建模的基本流程進(jìn)行分析討論：

這個(gè)階段是知識(shí)的初步應(yīng)用階段，應(yīng)合理把握問題的難度及其與所學(xué)知識(shí)的關(guān)聯(lián)度，不宜選擇過難或過于綜合的問題，并堅(jiān)持以“教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體”的原則，在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生自主嘗試應(yīng)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模、解決問題，重在個(gè)體體驗(yàn)，讓學(xué)生體驗(yàn)中初步學(xué)會(huì)應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，為進(jìn)一步提高數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)積累經(jīng)驗(yàn).

2.1 通過實(shí)踐活動(dòng)，提升“數(shù)學(xué)建模”素養(yǎng)

當(dāng)代教育理論研究表明，學(xué)生精確地掌握好基本概念、基本原理，并使之高度概括化、結(jié)構(gòu)化，是促進(jìn)知識(shí)遷移和能力發(fā)展的最重要的條件;但知識(shí)和方法的學(xué)習(xí)僅僅是能力和素養(yǎng)形成的一種條件，而人的能力和素養(yǎng)只能在一定的實(shí)踐活動(dòng)中形成和發(fā)展，因此，教學(xué)中不但要引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)建模的基本方法，掌握數(shù)學(xué)模型的確切含義及實(shí)際意義，更要在這個(gè)基礎(chǔ)上，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)積累適時(shí)地選擇適量的具有一定挑戰(zhàn)性的實(shí)際問題，引導(dǎo)學(xué)生綜合應(yīng)用相關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問題的數(shù)學(xué)建模實(shí)踐，實(shí)現(xiàn)“能夠選擇合適的數(shù)學(xué)模型表達(dá)所要解決的數(shù)學(xué)問題;理解模型中參數(shù)的意義，知道如何確定參數(shù)，建立模型，求解模型;能夠根據(jù)問題的實(shí)際意義檢驗(yàn)結(jié)果，完善模型，解決問題;能夠在綜合的情境中，運(yùn)用數(shù)學(xué)思維進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)情境中的數(shù)學(xué)關(guān)系，提出數(shù)學(xué)問題;能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的一般方法和相關(guān)知識(shí)，創(chuàng)造性地建立數(shù)學(xué)模型，解決問題”等，不斷提高數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，

案例3 一杯88°的熱水，放在室溫為24°的房間，那么水溫自然冷卻到35°，需要多少分鐘？

這是一個(gè)實(shí)際問題，應(yīng)如何解決它呢？要解決這個(gè)問題，必須知道熱水在自然冷卻過程中水溫變化的曲線，如何得到這條曲線呢？這樣自然就有以下解決問題的過程：

（1）提出問題：將水加熱到一定溫度后放在室溫中自然冷卻，采集冷卻過程中水的溫度y隨著時(shí)間x的變化數(shù)據(jù)，作出水溫隨時(shí)間變化的曲線圖，選用一個(gè)函數(shù)模型表示該曲線并求出該函數(shù)的解析式.

（2）數(shù)據(jù)采集與整理：記下室溫，將一杯水加熱到一定溫度，借助計(jì)算機(jī)與TI溫度傳感器采集水溫變化數(shù)據(jù).

（3）數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)與分析：利用TI圖形計(jì)算器將收集到的數(shù)據(jù)發(fā)送到“數(shù)據(jù)與統(tǒng)計(jì)”，得到一條溫度隨時(shí)間變化的散點(diǎn)圖.

（4）模型選取與建立：觀察曲線形狀，選擇一種恰當(dāng)?shù)幕貧w模型，得到一條回歸曲線及其方程，如二次回歸模型、三次回歸模型、指數(shù)回歸模型等.

（5）模型求解與檢驗(yàn)：根據(jù)不同的模型分別計(jì)算某些時(shí)刻的水溫，發(fā)現(xiàn)：用二次回歸模型刻畫，經(jīng)過一定的時(shí)間，水溫將回升;用三次回歸模型刻畫，隨著時(shí)間的推移，水溫將不斷下降，低于室溫，這都與事實(shí)不符，不合常理，事實(shí)上，隨著時(shí)間的推移，水溫應(yīng)該無限趨向于室溫，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可對(duì)指數(shù)函數(shù)模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，選用f（x）= abx+c（其中c為室溫）模型進(jìn)行擬合，

問題的解決經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的完整過程，體現(xiàn)了較高的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，解決問題的基本流程見文末，

必須指出的是，流程圖中三條途徑雖然是從不同的側(cè)面提出的，但在教學(xué)的過程中它們常常是互相交融，相互促進(jìn)的有機(jī)整體，呈交替進(jìn)行螺旋上升的態(tài)勢(shì)，數(shù)學(xué)模型的把握和理解、數(shù)學(xué)建模方法的掌握是開展數(shù)學(xué)建模實(shí)踐、積累數(shù)學(xué)建模經(jīng)驗(yàn)的前提和基礎(chǔ)，而豐富的數(shù)學(xué)建模實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)又進(jìn)一步促進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)建模方法的掌握及更深刻理解地?cái)?shù)學(xué)模型的含義與價(jià)值，

數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)是一項(xiàng)綜合性素養(yǎng)，涉及了數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理等素養(yǎng)，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的形成和發(fā)展不是一朝一夕能夠完成的，它需要日積月累的循序漸進(jìn)的過程，本文僅僅從它的形成和發(fā)展的途徑方面作些探討，至于如何高效地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的發(fā)展尚待日后作進(jìn)一步深入研究，

參考文獻(xiàn)

[1]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[S] （2017版）[S].北京：人民教育出版社，2018

[2]朱立明，胡洪強(qiáng)，馬云鵬.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理解與生成路徑——以高中數(shù)學(xué)課程為例[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018 （1）： 42-46