運(yùn)用高中函數(shù)知識解決數(shù)學(xué)應(yīng)用問題

吳驍龍

摘要：高中函數(shù)知識應(yīng)用得比較廣泛，而在實際應(yīng)用數(shù)學(xué)中，比較常用函數(shù)建模思想來解決。本文對其具體應(yīng)用方式進(jìn)行了研究，在建模思想的基礎(chǔ)上，提高了對問題的有效分析能力。以此為解題模板，拓寬思維，有利于學(xué)習(xí)效率的提升。

關(guān)鍵詞：高中；函數(shù)知識；數(shù)學(xué)應(yīng)用；函數(shù)建模；思想

一、建立實際應(yīng)用題中的函數(shù)建模思想

首先我們要有一個觀念，實際應(yīng)用題要把文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，我們就需要畫出抽象的示意圖來簡明表達(dá)，所以首先就是要考慮函數(shù)模型的構(gòu)建，根據(jù)定義域在有限的區(qū)間去考慮。其解題步驟是：（1）閱讀理解，審清題意：分析出已知什么，求什么；（2）數(shù)學(xué)建模：弄清題目中的已知條件和數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，若是需要圖解的，根據(jù)題意畫出示意圖，并將已知條件在圖形中標(biāo)出；（3）解函數(shù)模型：利用數(shù)學(xué)方法得出函數(shù)模型的數(shù)學(xué)結(jié)果，將所求解的問題歸結(jié)到一個或幾個三角形中，通過合理運(yùn)用正弦定理、余弦定理等有關(guān)知識正確求解；（4）驗證結(jié)論：檢驗解出的結(jié)果是否具有實際意義，對結(jié)果進(jìn)行取舍，得出正確答案；（5）實際問題作答：將數(shù)學(xué)問題的結(jié)果轉(zhuǎn)化成實際問題作出解答。

二、建模思想在三角函數(shù)例題中的應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)函數(shù)部分的知識都比較抽象，我們在學(xué)習(xí)的過程中要把握題型的轉(zhuǎn)換和學(xué)會舉一反三看來問題，找出最優(yōu)解，那我們就需要充分掌握函數(shù)部分的知識，在做題時能夠快速知道所考題型需要那部分知識點，我認(rèn)為找準(zhǔn)模型是關(guān)鍵，我們在訓(xùn)練的過程中需要有意識地把建模思想提煉出來。從文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言需要我們?nèi)ゼ庸ぃ瑨伒粲杏貌糠譃槲覀兯?，函?shù)與圖像語言的有機(jī)結(jié)合可以使我們把復(fù)雜的問題變得比較簡單，還可以幫助我們梳理思路，這樣對于我們建立解題思維很有幫助。比如，我們在學(xué)習(xí)三角函數(shù)的問題時，常常需要把實際問題轉(zhuǎn)化為圖像問題。

【例1】（2013·江蘇高考）游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50 m/min.在甲出發(fā)2 min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1 min后，再從B勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動的速度為130 m/min，山路AC長為1 260

m，經(jīng)測量， .

（1）求索道AB的長.

（2）問：乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？

（3）為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？

【解析】（1）首先根據(jù)題意畫出圖形，在△ABC中，因為 ，所以 .從而sin B=sin[π-（A+C）]=sin（A+C）=sin Acos C+cos Asin C=

由正弦定理得

（2）假設(shè)乙出發(fā)t分鐘后，甲、乙兩游客距離為d，此時，甲行走了（100+50t）m，乙距離A處130t m，所以由余弦定理得

d2=（100+50t）2+（130t）2-2×130t×（100+50t）× =200（37t2-70t+50），

因0≤t≤ 即0≤t≤8，故當(dāng)t= （min）時，甲、

乙兩游客距離最短.

（3）由正弦定理算出，再根據(jù)題意時間限制選擇符合的速度區(qū)間。

在解答實際應(yīng)用題的過程中，我們需要注意以下兩點：（1）解決實際問題時注意對模型進(jìn)行檢驗，將模型求解結(jié)果與實際情境進(jìn)行比較，做到與實際吻合。（2）應(yīng)用三角函數(shù)建立函數(shù)模型時，突出了對三角函數(shù)工具性的考查，建模時注意相關(guān)角的范圍。

三、建模思想在函數(shù)綜合題中的應(yīng)用

高考中普遍會出函數(shù)綜合題，這就需要我們有扎實的知識功底和解題技巧。一方面，在學(xué)習(xí)書上的知識點時，全面掌握有關(guān)的函數(shù)知識，這是解題的首要因素。另外，在做題時要有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度，仔細(xì)審題，盲目做題多半會出錯，所以我們先要弄清題目的已知條件，另外在實際應(yīng)用題中，往往還會有隱含條件，需要我們?nèi)ゴ?，充分利用好條件之間的關(guān)系，以問題為導(dǎo)向，運(yùn)用相關(guān)方法和知識點去解決問題，逐步使邏輯明白化。在解決函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題時，經(jīng)常涉及到物價、路程、產(chǎn)值、環(huán)保等實際問題，也可涉及角度、面積、體積、造價的最優(yōu)化問題。解答這類問題的關(guān)鍵是確切的建立相關(guān)函數(shù)解析式，然后應(yīng)用函數(shù)、方程、不等式和導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識加以綜合解答。比如，可以利用函數(shù)方程的建模思想來求二次函數(shù)的零點問題，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），求該二次函數(shù)的零點。我們可以畫出大概的草圖，當(dāng) 時，根據(jù)三點法求出交點坐標(biāo)，同理畫出

的圖像，我們會發(fā)現(xiàn) >0，那么方程ax2+bx+c=0就會有兩個不等的實根，△=0，那么方程會有兩個相等的實根，也就是我們所說的二重根，這時二次函數(shù)的圖象會與x軸有一個交點，而二次函數(shù)有一個二重零點或者是二階零點；△<0，那么方程沒有實根，二次函數(shù)圖象與x軸沒有交點，該二次函數(shù)也沒有零點。

四、結(jié)語

由此可見，函數(shù)與建模思想在高中數(shù)學(xué)實際應(yīng)用問題中具有非常重要的意義，能夠使例題變得更加簡單，使我們的解題思路更加清晰，從而激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣。

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