基于核心素養(yǎng)視角下的高考試題賞析與拓展
——以2018年全國卷3第16題為例

四川省成都市玉林中學 (郵編：610041) 四川省成都樹德中學 (郵編：610031)

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》指出，數(shù)學學科核心素養(yǎng)包括6種，它們既相對獨立又相互交融，是一個有機的整體．如何培養(yǎng)和評價學生的學科素養(yǎng)呢? 2018年高考試題給了我們答案：命制以檢測學生素養(yǎng)達成情況為背景的創(chuàng)新型試題，主要考查學生的思維能力．下面就從一道高考題出發(fā)，來談如何在解題中養(yǎng)育學生的核心素養(yǎng)、發(fā)展學生的能力．

1 題目與賞析

題目已知點M(-1，1)和拋物線C：y2=4x，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A、B兩點．若∠AMB=90°，則k=__________．

視角一數(shù)學運算

數(shù)學運算指的不是四則運算而是一種思維過程，它是解決數(shù)學問題的基本手段．依據(jù)研究對象的不同，我們可以選擇不同的運算思路但最終卻可以得到相同的結果．在該題中根據(jù)運算對象的不同，得到了解決此問題的以下三種方法．

方法一從直線入手

本題是直線與拋物線的位置關系問題，可以通過聯(lián)立直線與拋物線的標準方程，然后利用向量的數(shù)量積、借助韋達定理求解．

方法二從點入手

本題也可以根據(jù)拋物線標準方程的特性，用單變量表示出A、B兩點的坐標，然后利用斜率公式、向量的數(shù)量積，借助整體代換的思想求解．

則y1+y2=2，故k=2．

方法三借助參數(shù)方程

此種方法和方法二本質是相同的．

視角二直觀想象

直觀想象不是直觀和想象的簡單組合，而是二者的相互融合、相互滲透．直觀想象的表現(xiàn)不外乎三個方面：借助圖形描述問題情境，通過數(shù)形結合建立形與數(shù)的聯(lián)系，基于圖形理解構建數(shù)學直觀．我們知道，解析幾何也屬于幾何的范疇，自然可以采用平面幾何描述代數(shù)問題，即將代數(shù)問題圖形化．

本題是利用拋物線的幾何定義構建幾何圖形描述數(shù)學問題．

又M′為AB的中點，則MM′平行于x軸．

則tanα=2，即k=2．

方法五建立數(shù)形聯(lián)系、凸顯直觀想象

著名數(shù)學家華羅庚生動地描述了數(shù)與形的關系：“數(shù)形本是相倚依，焉能分作兩邊飛；數(shù)形結合百般好，隔離分家萬事休．”本題中蘊含著線段成比例的幾何關系(圖形)，我們利用中位線分線段成比例，得到直線AB中點的縱坐標(數(shù))，再通過點差法建立中點的縱坐標于直線斜率的關系即可．數(shù)與形的有效結合，可以最大程度上優(yōu)化解題過程，提高解題效率．

設A(x1,y1)，B(x2,y2)，故y1+y2=2.

2 變式拓展

解題只是培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)眾多環(huán)節(jié)中的一環(huán)，與解題本身相比，更為重要的是反思和再創(chuàng)造．正如荷蘭數(shù)學家弗雷登塔爾曾指出，“反思是數(shù)學思維活動的核心和動力．”下面我們立足于核心素養(yǎng)的視角對這道高考題進行探索、再加工．

視角三邏輯推理

文[1]中指出：邏輯推理是指從一切事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的思維過程．加里寧曾說：“數(shù)學是鍛煉思維的體操．”數(shù)學思維不僅有生動活潑的探究過程，其中包括想象、類比、聯(lián)想、直覺、頓悟等，而且有嚴謹理性的證明過程，通過數(shù)學解題培養(yǎng)學生的邏輯思維能力也不失為一種經濟的方法．筆者利用歸納、類比推理方法得到了下面的一些命題．

拓展4-1 已知拋物C：y2=2px(p>0)，點M在拋物線C的準線上，過點M作C的切線且切于A、B兩點，證明直線AB恒過拋物線C的焦點．

拓展4-2 已知拋物C：y2=2px(p>0)，過C的焦點的直線與C交于A、B兩點，過A、B兩點分別作C的切線交于點M，證明點M在拋物線C的準線上．

總之，數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)絕非一日之功，也不可能立竿見影，它是一種養(yǎng)成性教育，需要教師從長計議，從點滴做起，持之以恒，注重后發(fā)效應．在日常的教學中多嘗試以下措施：

首先，注重課堂教學的多視角、知識的多模塊滲透．除了解題教學外，我們應該在概念教學、問題解決教學、復習課教學等教學活動中使學生去切身體驗．

其次，針對不同年齡階段結合教學內容和案例，重視學生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，逐步提高學生的六大素養(yǎng)能力．比如直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)要加強學生對三種語言的理解與轉化，多看多想、想與看結合．

最后，加強教學反思，不斷提高自身專業(yè)素養(yǎng)，以身示范，育人才是素養(yǎng)的風向標．