巧用轉(zhuǎn)化思想，發(fā)展思維能力

謝秀慧

【摘 要】隨著課程改革的不斷深入與反思，小學(xué)數(shù)學(xué)教育不僅繼承了注重“雙基”的傳統(tǒng)，而且更重要的是提出了使學(xué)生理解和掌握“基本的數(shù)學(xué)思想和方法”，獲得“基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”。作為小學(xué)數(shù)學(xué)教師，要巧用轉(zhuǎn)化思想，發(fā)展學(xué)生思維能力。

【關(guān)鍵詞】轉(zhuǎn)化；思想方法；發(fā)展；思維能力

數(shù)學(xué)思想方法是人們?cè)诮?shù)學(xué)理論或解決數(shù)學(xué)問題時(shí)所用到的一些思想方法?？梢哉f數(shù)學(xué)思想方法產(chǎn)生數(shù)學(xué)知識(shí)，而數(shù)學(xué)知識(shí)又蘊(yùn)載著數(shù)學(xué)思想方法，二者相輔相成，密不可分。正是數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想方法的這種辯證統(tǒng)一性，決定了我們?cè)趥魇跀?shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)必須重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。

轉(zhuǎn)化思想方法是數(shù)學(xué)最基本的思想方法之一，是把待解決的問題從一種形式轉(zhuǎn)化為另一種形式，使人較易于解決。以下結(jié)合自己的教育教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)淺談對(duì)這方面的認(rèn)識(shí)。

一、特殊化轉(zhuǎn)化思想方法

有的數(shù)學(xué)問題所要求的結(jié)論，在一般情況下不容易推導(dǎo)出來，但在特殊情況下非常容易解決，并且在很多時(shí)候，特殊情況對(duì)一般情況的解決有奠基或橋梁的作用，因此，把一般問題轉(zhuǎn)化為其特殊問題，常有助于問題的解決。運(yùn)用特殊化轉(zhuǎn)化思想解決一般性問題的關(guān)鍵在于能否找到一個(gè)或幾個(gè)最佳的特殊問題。

將此例推廣到其它問題的解決，從中讓我們明白：特殊情形相對(duì)于一般情形而言比較簡(jiǎn)單、直觀和具體，且易于找到解題途徑或思路，發(fā)展學(xué)生的思維。因此，特殊化思想是探索一般性問題解題途徑的重要思想之一。

二、一般化轉(zhuǎn)化思想方法

當(dāng)我們遇到某些特殊問題感到很難解決時(shí)，不妨適當(dāng)放寬條件或改變一些條件的限制，把待處理的特殊問題放在一個(gè)更廣泛、更為一般的問題中加以研究，先解決一般情形，再把解決一般情形的技巧、方法或結(jié)果應(yīng)用到特殊問題上，最后獲得特殊問題的解決，這種用來指導(dǎo)解決問題的思想稱之為一般化思想。

例如：一個(gè)房間里有四條腿的椅子和三條腿的凳子共16把，如果椅子腿數(shù)和凳子腿數(shù)加起來共有60條，那么有幾把椅子和幾條凳子？此類題目老師們很熟悉，有人把它稱為“雞兔同籠”的變型。對(duì)此題孩子們感到很難解決，到底是幾把椅子和幾條凳子才同時(shí)符合兩個(gè)特定條件呢？教學(xué)中以常見的“四條腿的椅子、三條腿的凳子”簡(jiǎn)單背景為研究素材，轉(zhuǎn)化為一般情況“如果椅子和凳子各8把，腿數(shù)合起來是56條，這樣總腿數(shù)少了，說明四條腿的椅子少了……”通過學(xué)生的觀察、猜想、實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)“每減少一把椅子就要增加一條凳子，腿的總數(shù)就要減少4-3=1?！睂W(xué)生在一般情形下嘗試不斷地歸納出此題的特殊規(guī)律，抽象出數(shù)學(xué)模型，并在此基礎(chǔ)上推廣到其他同類問題的研究中。

學(xué)生經(jīng)歷了觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)，得出數(shù)學(xué)結(jié)論。經(jīng)歷了數(shù)學(xué)化的學(xué)習(xí)過程，體會(huì)并感悟到從特殊到一般的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，為后續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)做好充分的準(zhǔn)備。

三、變換轉(zhuǎn)化思想方法

人們?cè)诮鉀Q問題時(shí)，對(duì)未解決的問題進(jìn)行一系列變換，將它逐步轉(zhuǎn)化為已知的問題，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的，這種用來指導(dǎo)解題的思想就是變換轉(zhuǎn)化思想。利用變換轉(zhuǎn)化思想解題的關(guān)鍵有兩個(gè)：一個(gè)是“變什么”，即確定變換的對(duì)象；另一個(gè)是“怎樣變”，即確定采用什么樣的變換。

在教學(xué)求圓柱體的表面積時(shí)，學(xué)生要先明白圓柱的表面積包括兩個(gè)底面積和一個(gè)側(cè)面積。兩個(gè)底面積就是兩個(gè)圓的面積。而側(cè)面積是一個(gè)曲面，通過學(xué)生的思考與實(shí)踐，把圓柱的側(cè)面展開后就是一個(gè)長(zhǎng)方形，把求曲面的面積轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的長(zhǎng)方形的面積，達(dá)到了化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的，發(fā)展學(xué)生的思維能力，這就是變換轉(zhuǎn)化思想的優(yōu)點(diǎn)。

四、對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)化思想方法

對(duì)應(yīng)思想是人類最早期、最容易掌握的一種思維方式。早期我們的祖先就是用一一對(duì)應(yīng)來判斷物品的數(shù)量和多少。發(fā)展到今天人們利用對(duì)應(yīng)思想來解決各種問題，因此，對(duì)應(yīng)思想不僅是一種重要的數(shù)學(xué)思想，而且是人類最早掌握、最普遍使用的一種思想方法。

例如：有36人參加象棋淘汰比賽，兩人一組，勝者進(jìn)入下一輪比賽，敗者直接淘汰，如果遇到某一輪的選手為單數(shù)，則令其中一名選手直接進(jìn)入下一輪比賽。如此下去，最后決出冠軍，一共要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？學(xué)生可能會(huì)這樣進(jìn)行計(jì)算：第一輪36人分成18組，進(jìn)行18場(chǎng)比賽；第二輪18人分成9組，進(jìn)行9場(chǎng)比賽；第三輪9人，一人輪空，分成4組，進(jìn)行4場(chǎng)比賽；第四輪5人，一人輪空，分成2組，進(jìn)行2場(chǎng)比賽；第五輪3人，一人輪空，分成1組，進(jìn)行1場(chǎng)比賽；第六輪2人進(jìn)行一場(chǎng)比賽決出冠軍。因此，總的比賽場(chǎng)次是：18+9+4+2+1+1=35。這種算法雖然也可以解決問題，但這是一種不太高明的算法。我們?cè)O(shè)想一下，當(dāng)參賽的選手更多時(shí)，計(jì)算就更麻煩了。數(shù)學(xué)家利用對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)化思想方法，輕松地解決了這個(gè)問題。因?yàn)槊恳粓?chǎng)比賽都會(huì)淘汰一名選手，反之每一名被淘汰的選手在唯一的一場(chǎng)比賽中被淘汰。因此，被淘汰的選手的集合與比賽場(chǎng)次的集合之間可以建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。假設(shè)最初有n名選手參加比賽，不管n是多少，最后只有1名冠軍，其余的n-1名選手均被淘汰，所以恰好要進(jìn)行n-1場(chǎng)比賽。這一種解法無須任何計(jì)算，而且具有更深刻更本質(zhì)的意義。

又如：德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯在很小的時(shí)候，有一次老師給同學(xué)們出了一道算術(shù)題：1+2+3+4+5+……+98+97+98+99+100=？當(dāng)同學(xué)們還沒理清頭緒時(shí)，高斯已經(jīng)說出了答案。高斯的方法是：設(shè)S=1+2+3+4+……+97+98+99+100，S=100+99+98+97+……+4+3+2+1，高斯把1和100相加，2和99相加，……最后100和1相加，它們的和都是101，因此2S的和是100個(gè)101，所以S=（100×101）÷2=5050。高斯求和方法的妙處，就在于它將集合A={1，2，3，……，100}與A本身元素之間進(jìn)行了合理的配對(duì)，即建立的A到A的一一對(duì)應(yīng)，這一對(duì)應(yīng)使得每一對(duì)原象與象之和都等于101，從而把加法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，大大地簡(jiǎn)化了求和的運(yùn)算過程。

由此兩例可見，對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)化思想在優(yōu)化、簡(jiǎn)化解題方法方面有著重要的作用，學(xué)生的思維能力將更上一個(gè)新的水平。

五、數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化思想方法

數(shù)學(xué)思想方法的滲透是發(fā)展學(xué)生智力、培養(yǎng)學(xué)生思維能力、提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一把金鑰匙。轉(zhuǎn)化思想方法只是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的眾多思想方法的一種，教師要廣泛學(xué)習(xí)，鉆研教材，相互切磋，提煉精華。只有這樣，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)才能更有效、更全面。

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