面板數(shù)據(jù)模型基于Within估計(jì)的最優(yōu)設(shè)計(jì)

程 靖,岳榮先，王 萍

（1.安徽農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，合肥 230036；2.上海師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，上海 200234）

0 引言

面板數(shù)據(jù)模型是一類在經(jīng)濟(jì)學(xué)、心理學(xué)、管理學(xué)等科學(xué)領(lǐng)域中應(yīng)用較為廣泛的隨機(jī)系數(shù)回歸模型[1]。由于隨機(jī)效應(yīng)項(xiàng)的存在，很難獲得該模型中未知回歸系數(shù)的最佳線性無(wú)偏估計(jì)。常見的解決方法有兩種：一種方法是構(gòu)造回歸系數(shù)的兩步估計(jì)[2]；另一種方法是設(shè)法構(gòu)造回歸系數(shù)不含有未知參數(shù)的估計(jì)量[1]，其中Within估計(jì)是在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用廣泛、影響深遠(yuǎn)的一種估計(jì)量。由于消除了不可觀測(cè)的隨機(jī)個(gè)體效應(yīng)，Within估計(jì)量中不再包含未知參數(shù)，并具有無(wú)偏性和一致性等優(yōu)良性質(zhì)，同時(shí)它也是由面板數(shù)據(jù)模型衍生的一個(gè)子模型中未知參數(shù)的最佳線性無(wú)偏估計(jì)。

在統(tǒng)計(jì)模型中，未知參數(shù)估計(jì)的精度會(huì)依賴于收集數(shù)據(jù)的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方案。目前有關(guān)包含多個(gè)隨機(jī)效應(yīng)的隨機(jī)系數(shù)回歸模型最優(yōu)設(shè)計(jì)的研究[3-6]都將隨機(jī)效應(yīng)項(xiàng)的方差視為已知，而獲得的最優(yōu)設(shè)計(jì)通常都是依賴于隨機(jī)效應(yīng)項(xiàng)的方差比值，這在實(shí)際中較難實(shí)現(xiàn)。程靖和岳榮先[7]討論了單位正方形設(shè)計(jì)域上含有兩個(gè)解釋變量的面板數(shù)據(jù)基于Within估計(jì)的幾類最優(yōu)恒等設(shè)計(jì)，得到了不依賴于隨機(jī)效應(yīng)項(xiàng)方差的最優(yōu)設(shè)計(jì)。由于隨機(jī)系數(shù)回歸模型中最優(yōu)設(shè)計(jì)的結(jié)論并不能從單位設(shè)計(jì)域直接應(yīng)用到一般設(shè)計(jì)域上，本文將嘗試對(duì)相應(yīng)結(jié)論進(jìn)行一般化推廣，考慮該模型在矩形設(shè)計(jì)域[a，c]×[b，d]上基于Within估計(jì)的最優(yōu)恒等設(shè)計(jì)。本文首先證明了含有兩個(gè)解釋變量的面板數(shù)據(jù)模型在任意矩形設(shè)計(jì)域[a，c]×[b，d]上基于Within估計(jì)的最優(yōu)恒等設(shè)計(jì)可以在 (a，b)，(a，d)，(c，b)，(c，d)四個(gè)頂點(diǎn)上獲得，并進(jìn)一步證明了在對(duì)稱的矩形設(shè)計(jì)域四個(gè)頂點(diǎn)處的等權(quán)重設(shè)計(jì)是該模型基于Within估計(jì)D-、A-和I-最優(yōu)設(shè)計(jì)。

1 面板數(shù)據(jù)模型的Within估計(jì)

面板數(shù)據(jù)模型可表示為：

上式中zit表示第i個(gè)觀測(cè)對(duì)象在t時(shí)刻的觀測(cè)結(jié)果；xitj表示第i個(gè)觀測(cè)對(duì)象上第j個(gè)解釋變量在第t個(gè)觀測(cè)時(shí)刻的取值；β1，β2，…，βk為待估回歸系數(shù)；μi～N(0，σμ2)是第i個(gè)個(gè)體的隨機(jī)效應(yīng)，εit～N(0，σ2)是隨機(jī)誤差，這里σμ2和σ2是未知參數(shù)。假定所有的隨機(jī)個(gè)體效應(yīng)μi和隨機(jī)誤差εit互不相關(guān)。引入記號(hào)：

則上述模型（1）可簡(jiǎn)化為：

上式中1NT表示元素全部是1的NT維列向量，IN表示N階單位陣，?表示Kronecker乘積。易見：

容易證明上式中的矩陣JˉNT，P，Q，P1均為對(duì)稱冪等陣，且這些矩陣是兩兩相互正交的。在面板數(shù)據(jù)模型（2）兩側(cè)同時(shí)乘對(duì)稱冪等陣Q，得到：

易得模型（3）中未知回歸系數(shù)β的BLUE（最佳線性無(wú)偏估計(jì)）是：

由式（4）所表示的估計(jì)量就稱為面板數(shù)據(jù)模型（2）中未知參數(shù)β的Within估計(jì)，并有：

2 最優(yōu)設(shè)計(jì)

本文將對(duì)程靖和岳榮先[7]中的結(jié)論進(jìn)行進(jìn)一步推廣，

考慮含有兩個(gè)解釋變量的面板數(shù)據(jù)模型在一般矩形設(shè)計(jì)域[a，c]×[b，d]上基于Within的最優(yōu)恒等設(shè)計(jì)。為了簡(jiǎn)便起見，下文中對(duì)含有兩個(gè)解釋變量的面板數(shù)據(jù)模型改用如下記號(hào)：

其中 (xit，yit)∈[a，c]×[b，d]。大多數(shù)實(shí)際情況下，不同單元的觀測(cè)的時(shí)刻和解釋變量的指標(biāo)選取往往相同，即對(duì) ?i，j=1，2，…，N，xit=xjt，yit=yjt。本文也僅考慮此類恒等設(shè)計(jì)中的近似最優(yōu)設(shè)計(jì)。記恒等設(shè)計(jì):

其中可以看出Within估計(jì)的協(xié)方差陣中的未知參數(shù)σ2對(duì)設(shè)計(jì)方案的選擇沒有影響，不失一般性，這里假定σ2=1。則在近似恒等設(shè)計(jì)（6）下模型（5）基于Within估計(jì)的信息陣可以表示為：

由此可以推出下述結(jié)論：

定理1：考慮含有兩個(gè)解釋變量的面板數(shù)據(jù)模型（5）基于Within估計(jì)的恒等設(shè)計(jì)，那么對(duì)設(shè)計(jì)域[a，c]×[b，d]上任一形如式（6）的近似設(shè)計(jì)，存在一個(gè)支撐點(diǎn)在設(shè)計(jì)域四個(gè)頂點(diǎn)上的近似設(shè)計(jì)：

滿足M(ξ?)≥M(ξ)。

證明：令：

即M(ξ?)≥M(ξ)。

經(jīng)典的D-、A-和I-等最優(yōu)設(shè)計(jì)準(zhǔn)則的準(zhǔn)則函數(shù)均具有Loewner偏序性質(zhì)[8]，即對(duì)兩個(gè)設(shè)計(jì)ξ1，ξ2的信息陣，如果M(ξ?)≥M(ξ)都有 Φ(M(ξ1)) ≤Φ(M(ξ2))。由于最優(yōu)設(shè)計(jì)就是尋找使得信息陣的準(zhǔn)則函數(shù)達(dá)到最小的設(shè)計(jì)，因此結(jié)合定理1的結(jié)論可知：對(duì)于由式（5）所描述的面板數(shù)據(jù)模型，其基于Within估計(jì)的最優(yōu)恒等設(shè)計(jì)可在形如式（7）的設(shè)計(jì)類中獲得。在恒等設(shè)計(jì)（7）下:

其中：

對(duì)于確定的設(shè)計(jì)域，可以通過(guò)優(yōu)化上述信息陣的準(zhǔn)則函數(shù)來(lái)獲得最優(yōu)設(shè)計(jì)的解析或數(shù)值結(jié)果。本文是對(duì)其中的某一些或某一類設(shè)計(jì)域能夠獲得具有優(yōu)良性質(zhì)的最優(yōu)設(shè)計(jì)。下面僅考慮面板數(shù)據(jù)模型（5）在對(duì)稱設(shè)計(jì)域[-h，h]×[-l，l]上基于Within估計(jì)的最優(yōu)恒等設(shè)計(jì)。由定理1可知最優(yōu)設(shè)計(jì)形式如下：

這里信息陣滿足：

其中γ1=ω3+ω4-ω1-ω2，γ2=ω2+ω4-ω1-ω3，γ3=ω1+ω4-ω2-ω3。綜合ωj的取值范圍及設(shè)計(jì)點(diǎn)的個(gè)數(shù)不能少于2個(gè)可得-1＜γi＜1，i=1，2，3。

恒等設(shè)計(jì)（8）下，信息陣的D-最優(yōu)設(shè)計(jì)準(zhǔn)則函數(shù)為:

對(duì)上式分別關(guān)于γi，i=1，2，3 求偏導(dǎo)，并令偏導(dǎo)值為0，可得：

當(dāng)γ2=γ3=γ1=0,即時(shí)，即ΦD(M-1(ξ?)) 取得極小值。故有定理2。

定理2：考慮含有兩個(gè)解釋變量的面板數(shù)據(jù)模型（5）基于Within估計(jì)的恒等設(shè)計(jì)，則該模型在設(shè)計(jì)域[-h，h]×[-l，l]上的D-最優(yōu)設(shè)計(jì)為四個(gè)對(duì)稱頂點(diǎn)處的等權(quán)重設(shè)計(jì)：

恒等設(shè)計(jì)（8）下，信息陣的A-最優(yōu)設(shè)計(jì)準(zhǔn)則函數(shù)為：

對(duì)上式分別關(guān)于γi，i=1，2，3 求偏導(dǎo)，令偏導(dǎo)值為0，可得：

當(dāng)γ2=γ3=γ1=0,即ω1=ω2=ω3=ω4=時(shí) ，ΦA(chǔ)(M-1(ξ?))取得極小值。從而有定理3。

定理3：考慮含有兩個(gè)解釋變量的面板數(shù)據(jù)模型（5）基于Within估計(jì)的恒等設(shè)計(jì)，則該模型在設(shè)計(jì)域[-h，h]×[-l，l]上的A-最優(yōu)設(shè)計(jì)為四個(gè)對(duì)稱頂點(diǎn)處的等權(quán)重設(shè)計(jì)：

恒等設(shè)計(jì)（8）下，信息陣的I-最優(yōu)設(shè)計(jì)準(zhǔn)則函數(shù)為：

對(duì)上式分別關(guān)于γi，i=1，2，3求偏導(dǎo)，令偏導(dǎo)值為0可得：

同樣可得當(dāng)γ2=γ3=γ1=0 ，即時(shí)，ΦI(M-1(ξ?)) 取得極小值。故有定理4。

定理4：考慮含有兩個(gè)解釋變量的面板數(shù)據(jù)模型（5）基于Within估計(jì)的恒等設(shè)計(jì)，則該模型在設(shè)計(jì)域[-h，h]×[-l，l]上的I-最優(yōu)設(shè)計(jì)為四個(gè)對(duì)稱頂點(diǎn)處的等權(quán)重設(shè)計(jì)：

3 結(jié)論

本文對(duì)含有兩個(gè)解釋變量的面板數(shù)據(jù)模型（5）最優(yōu)設(shè)計(jì)的結(jié)論進(jìn)行了推廣，證明了在矩形設(shè)計(jì)域上考慮該模型基于Within估計(jì)的最優(yōu)恒等設(shè)計(jì)時(shí)，仍可以將最優(yōu)設(shè)計(jì)的尋找限定在設(shè)計(jì)域的頂點(diǎn)處。特別地，如果設(shè)計(jì)域?yàn)閷?duì)稱的矩形區(qū)域，可直接采用設(shè)計(jì)域四個(gè)頂點(diǎn)上的等權(quán)重作為設(shè)計(jì)方案，此時(shí)等權(quán)重設(shè)計(jì)同時(shí)具有D-、A-和I-最優(yōu)性質(zhì)。