淺談數(shù)列的教學(xué)

張云標(biāo)

摘要：對于高考中的數(shù)列解答題，因它能有效地考查學(xué)生的邏輯推理能力，運算能力，以及運用相關(guān)知識分析問題，解決問題的能力，所以在命題的方向上常將數(shù)列與函數(shù)，數(shù)列與方程，數(shù)列與不等式等知識進行有機的結(jié)合，從而使試題變得更具有新意，更能有效地考查學(xué)生的思維品質(zhì)和創(chuàng)新意識，且試題往往具有較好的區(qū)分度。為此，筆者結(jié)合自已的高中教學(xué)實踐對高中數(shù)列的教學(xué)談幾點看法，以供讀者參考。

關(guān)鍵詞：數(shù)列；迭代法；策略

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1672-1578（2018）36-0149-02

1.要注重an與sn的關(guān)系并把其作為解題的突破口，來尋求解決數(shù)列問題的解題途徑

案例1已知數(shù)列{an}的前n項和sn滿足sn=2an+（-1）n，n≥1

（1）寫出數(shù)列{an}的前三項a1，a2，a3； （2）求數(shù)列{an}的通項公式

（3）證明：對任意的整數(shù)有m>4，有1a4+1a5+…+1am<78.

解：（1）由題設(shè)所給條件易得：a1=1，a2=0，a3=2.

（2）由an與sn的關(guān)系：易得∴an=23[2n-2+（-1）n-1] （n≥1）.

（3）證明：由通項公式得a4=2，當(dāng)n≥3且n為奇數(shù)時，

1an+1an+1=32[12n-2+1+12n-1-1]=

32·2n-1+2n-222n-3+2n-1-2n-2-1

<32·2n-1+2n-222n-3=32·（12n-2+12n-1）

所以，當(dāng)m>4且m為偶數(shù)時，

1a4+1a5+…+1am=1a4+（1a5+1a6）+（1a7+1a8）+…+（1am-1+1am）<12+32·14×（1-12m-4）<78

同理， 當(dāng)m>4且m為奇數(shù)時，

1a4+1a5+…+1am=1a4+（1a5+1a6）+（1a7+1a8）+…+（1am-2+1am-1）+1am

<78+3（<12m-1+2-12m-2）<78.

綜上所述，1a4+1a5+…+1am<78.

小結(jié)：本例以an與sn的關(guān)系為主線找出解題的突破點，然后借助于不等式的知識一氣呵成，巧妙求解.

2.要注重“迭代法”在求解數(shù)列問題中的作用和地位

案例2，已知點的序列An（xn，0），n∈N+其中x1=0，x2=a（a>0）.A3是線段A1A2的中點，是線段A2A3的中點……，An是線段An-2An-1的中點……，求數(shù)列{xn}的通項.

解： 由題設(shè)所給條件易得

xn=xn-1+xn-222xn+xn-1=2xn-1+xn-2=……=2x2+x1=2a.故xn=-12xn-1+a.

∴xn-23a=-12（xn-1-23a）利用“迭代法”即得所求數(shù)列的通項：xn=23a[1-（-12）n-1]

小結(jié)：一般地，形如：an+1=pan+q， an+1=pan+f（n），an+2=pan+1+qan 等形式的常見遞推關(guān)系的數(shù)列的通項均可以用“迭代法”來求解.

3.要關(guān)注以高等數(shù)學(xué)的相關(guān)理論為知識背景，來引導(dǎo)探究解決數(shù)列問題的解題策略

案例3，設(shè)數(shù)列{an}滿足an+1=a2n-nan+1，n=1，2，3….

（1）當(dāng)a1=2時，求a2，a3，a4，并由此猜出an的一個通項公式；

（2）當(dāng)a1≥3時，證明對所有的n≥1有： （i）an≥n+2；

（ii）11+a1+11+a2+…+11+an≤12.

解：這是以數(shù)列和不等式的基礎(chǔ)知識為載體，考查猜想，歸納，迭代，遞推，放縮，推理以及分析問題和解決問題能力的一道好題.此題入口較寬，（1）及（2）中的（i）不難解決，留給讀者思考.而（2）中的（ii）難到了不少考生，拉開了檔次，體現(xiàn)了高校與中學(xué)在數(shù)學(xué)能力方面的銜接的要求.

從高等數(shù)學(xué)級數(shù)的觀點來看，正項級數(shù)∑∞n=111+an的前n項和有上界，故級數(shù)∑∞n=111+an收斂，其收斂速度不大于∑∞n=112a+1的收斂速度（∑∞n=112a+1=12）.有比較判斷法可知，必有11+an≤12n+1，即1+an≥2n+1.故問題就可轉(zhuǎn)化為證明： 1+an≥2n+1.

從初等數(shù)學(xué)的角度來描述上面的過程：為了便于比較大小，應(yīng)使所研究的不等式兩邊有相同的結(jié)構(gòu). ∵11+a1≤14，又14+18+…+12n+1≤12

∴只須11+a1+11+a2+…+11+an≤14+18+…+12n+1

≤12即可.

比較兩個通項11+an與12n+1的大小，即只須證明1+an≥2n+1.

上面我們分別從高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)兩個角度出發(fā)，跟蹤追索到只須證明同樣的一個不等式：1+an≥2n+1 .下面從題設(shè)出發(fā)，來證明這個不等式.

由題設(shè)an+1=a2n-na+1得1+an+1=an（an-n）+2≥an（n+2-n）+2=2（1+an）

即：1+an+11+an≥2，累乘可得1+an1+a1≥2n-1，即1+an≥2n-1（1+a1）≥2n+1問題就解決了.

小結(jié)：此題留給我們的啟示是：在復(fù)習(xí)和備考中，要關(guān)注高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)的銜接點，培養(yǎng)學(xué)生具備把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟知問題的能力，這樣在高考中才能充分發(fā)揮出潛力來.

4.要關(guān)注特殊數(shù)列出現(xiàn)的形式特點及解題對策，以利于開闊學(xué)生視野，幫助學(xué)生提高觀察問題，分析問題，解決問題的能力

案例4，設(shè){an}是集合{2t+2s|0≤s

將數(shù)列各項按照上小下大的原則寫成如下的三角形數(shù)表：

（1）寫出這個三角形數(shù)表的第四項，第五項各數(shù)；

（2）求a100.

解： 這是一道以數(shù)列的特殊結(jié)構(gòu)形式為載體，考查學(xué)生對數(shù)列，排列組合等知識的掌握程度以及觀察，分析，解決問題的能力.

（1）由題設(shè)所給條件易得：第四項各數(shù)為 17 18 20 24.

第五項各數(shù)為 33 34 36 40 48.

（2）設(shè)n為an的下標(biāo).注意觀察三角形數(shù)表的結(jié)構(gòu)特征易得：

第t項第一個元素的下標(biāo)為t（t-1）2+1，第s個元素下標(biāo)為t（t-1）2+s，該元素等于2t+2s-1

據(jù)此判斷a100所在的項.因為14×（14-1）2<100≤15×（15-1）2所以a100是三角形數(shù)表第14行的第9個元素.故a100=214+29-1=16640