降低OFDM系統(tǒng)帶外泄漏和PAPR的新預編碼方法

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(1.清華大學 電子工程系 北京信息科學與技術國家研究中心，北京100084； 2.深圳清華大學研究院 廣東省(深圳市)數(shù)字電視系統(tǒng)重點實驗室，廣東 深圳 518000)

1 引 言

正交頻分復用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing,OFDM)技術是一種多載波傳輸通信技術，由于它具備極高的頻譜效率，并且可以實現(xiàn)簡單的頻域均衡，所以被廣泛應用在各種無線寬帶通信場景中[1]，如無線局域網(Wireless Local Area Network,WLAN)、長期演進技術(Long Term Evolution,LTE)等。但是，它同樣具備一些明顯的缺點，本文主要討論其中兩個問題。第一是OFDM系統(tǒng)的帶外泄漏(Out-of-Band,OOB leakage)問題。作為一種多載波通信系統(tǒng)，OFDM信號的每一個子載波波形是一個sinc函數(shù)，疊加后導致了系統(tǒng)的帶外泄漏，這種泄漏會對鄰頻帶的通信應用造成干擾，所以，為了提高通信質量，減少這樣的帶外泄漏是很有必要的。第二是OFDM系統(tǒng)的信號通常有比較高的峰均功率比(Peak-to-Average Power Ratio,PAPR)，這就要求射頻功率放大器不能只是在線性工作區(qū)工作，給射頻功放提出了一定的要求，需要較大的動態(tài)范圍[2]。通過降低PAPR可以降低整個OFDM的系統(tǒng)開銷，適當增加發(fā)射功率，從而提升整個系統(tǒng)的通信質量。

針對以上提到的兩個問題，已經有大量的解決方案被提出。對于帶外泄漏問題，經典傳統(tǒng)方法是窗函數(shù)技術[3]，即通過對時域波形進行窗函數(shù)設計來達到降低帶外泄漏的目的，比如使用升余弦窗等。這類方法需要額外的保護間隔，會降低系統(tǒng)的頻譜效率。所以，有人提出了一些新型技術[4-9]，其中消除技術和預編碼技術具有較好的性能表現(xiàn)[1,4-5,8]。PAPR降低技術目前包括星座整形[10]、部分傳輸序列(Partial Transmit Sequence,PTS)[11]、限幅濾波算法[12]、預編碼算法等[2]。以上方法一般都是用來處理帶外泄漏或者PAPR中的單一問題。考慮到它們都有使用預編碼的解決方案，本文將兩種獨立的預編碼方案[2,4]融合在一起，以實現(xiàn)同時降低帶外泄漏和PAPR的目的，即僅使用一個預編碼矩陣來實現(xiàn)兩個目標。本文提出的方案主要基于文獻[4]提出的框架，引入編碼冗余度，通過數(shù)學推導將問題轉化為矩陣Frobenius范數(shù)的最小化問題[13]，并結合文獻[2]中所表述的降低PAPR的直接預編碼矩陣進行聯(lián)合優(yōu)化，得到最終的正交預編碼矩陣。最后給出算法仿真結果，比較不同預編碼方案在帶外泄漏和PAPR抑制上的性能差異，并給出隨著冗余度變化本文所提方案的性能變化情況。

2 預編碼模型與主要框架

本節(jié)介紹預編碼OFDM系統(tǒng)模型和一個主要基于文獻[4]的主體預編碼框架，此框架主要是針對降低標準OFDM系統(tǒng)的帶外泄漏。

2.1 預編碼模型

一個典型的預編碼OFDM系統(tǒng)示意圖如圖1所示。假設采用的子載波數(shù)量為M，在星座點映射后的數(shù)據(jù)流被分為N塊，其中M≥N，定義編碼冗余度R=M-N[4]。所以在逆傅里葉變換(Inverse Fast Fourier Transform,IFFT)之前的預編碼過程的矩陣表示為

s=Pd。

(1)

式中：d是編碼前的原始符號列向量，s是編碼后的符號向量，P是一個M×N的預編碼矩陣。為了減少對于誤碼率性能的影響，本文采用正交預編碼方案，即預編碼矩陣P滿足PHP=IN。

圖1 OFDM預編碼模型Fig.1 Model of precoding a typical OFDM system

通常在一個OFDM系統(tǒng)中，每一個符號可以視為和一個矩形窗函數(shù)相乘，該窗函數(shù)可記作

(2)

式中：T表示符號周期。則第i個子載波的頻域表示為[14]

(3)

可忽略常數(shù)因子，得到

(4)

ci表示第i個子載波與頻率ω之間的影響系數(shù)。如果定義一個帶外的頻率集合Φ，其中包含K個元素，每一個元素表示頻帶外的一個頻點，那么帶外泄漏就可以用如下的矩陣形式表示：

r=Cs=CPd。

(5)

式中：C是一個K×M的影響系數(shù)矩陣，它的元素由Ci,j=C(i,j)=ci(ωj)計算，表示第k個帶外頻率點對第m個帶內頻點的影響因子。則r為一個K×1的矢量，代表了帶外頻率集Φ上所設的K個頻率點的帶外泄漏情況。

2.2 主要框架

為了降低帶外泄漏，由以上模型可知，帶外泄漏功率可表示為Poob=E[rHr]，抑制帶外泄漏即最小化Poob=E[rHr]。常用的方法是利用奇異值分解(Singular Value Decomposition,SVD)。通過SVD可將CP分解為

CP=UΣVH。

(6)

式中：U、V分別是K×K和N×N的酉矩陣。那么有

(7)

根據(jù)文獻[13]的介紹，矩陣Frobenius范數(shù)具備數(shù)學特性：矩陣的Frobenius范數(shù)等于該矩陣奇異值的平方和[13]，所以式(7)可寫作

Poob=Ps‖CP‖2。

(8)

式中：Ps是原始數(shù)據(jù)d的平均功率，‖·‖代表矩陣的Frobenius范數(shù)。那么為了得到最優(yōu)的預編碼矩陣，需要解決如下最小化問題：

(9)

Popt=V1Q。

(10)

式中：V1是酉矩陣Vc的一個M×N階子矩陣，由Vc的最后N列組成，對應最小的N個奇異值；Q是任意的N×N階酉矩陣，即滿足QHQ=I。這樣，Popt就是最小化問題(9)的解，并且是正交矩陣，符合設定的要求。

以上給出了一種預編碼矩陣的設計模式用于抑制帶外泄漏，但并沒有給定矩陣Q，所以無法計算確定的Popt。針對Q矩陣，如前文所述，Q是任意的酉矩陣。考慮一個具有R個冗余子載波的OFDM系統(tǒng)，系統(tǒng)的R個冗余子載波上不搭載任何數(shù)據(jù)，即不做編碼，只是在頻帶兩側留出空閑頻點用作保護頻帶。不編碼即等效于預編碼矩陣P=B，B見式(11)。但是在上述框架下，由于引入了編碼來降低帶外泄漏，在R個冗余子載波上實際上不填充0，經過預編碼后有非零數(shù)據(jù)。所以在本框架下，考慮了帶外泄漏預編碼的Popt不嚴格等于B。而為了不改變OFDM系統(tǒng)的其他特性，問題轉化為使預編碼矩陣Popt盡可能接近這個目標矩陣B，即

(11)

式中：RL+RR=M-N=R>0，表示編碼冗余度，即不承載實際數(shù)據(jù)的子載波數(shù)量。那么為了使Popt盡量接近B，問題轉化為如下的最小化問題：求矩陣Q(QHQ=I)，使

(12)

此問題的解對應的Popt=V1Q即為與目標矩陣B最接近的正交預編碼矩陣。該最小化問題在線性代數(shù)當中已經有相關的解決方法[13]。

但是該最小化問題僅考慮了標準情況下帶外泄漏的抑制，并對PAPR進行優(yōu)化。實際上考慮到PAPR的抑制，目標矩陣B將會有針對性地改變。本文將在下一節(jié)結合PAPR的優(yōu)化，改變目標矩陣，并給出矩陣Q的計算方法。

3 針對降低PAPR的方案改進

上一節(jié)介紹了一種通用的降低帶外泄漏的預編碼方法框架，但是僅僅達到了降低帶外泄漏的目的，并沒有對PAPR進行優(yōu)化。正如上文所述，可以通過式(12)中目標矩陣B的設計，通過Popt=V1Q與目標矩陣的接近，即矩陣差值范數(shù)最小化問題的解決，來實現(xiàn)可以降低PAPR的矩陣Q的設計，從而完成最終預編碼矩陣的計算。

文獻[2]提出了一種離散余弦變換(Discrete Cosine Transform,DCT)預編碼矩陣，經過該矩陣預編碼后的信號的PAPR有明顯降低。該方法主要是將離散余弦變換矩陣D直接作為預編碼矩陣，即在式(1)中有P=D，D的元素如式(13)：

(13)

但是這種方法只針對PAPR這一個問題，于是本文將它與上文所述的預編碼框架結合起來，利用D矩陣來優(yōu)化預編碼矩陣P，將D矩陣作為目標矩陣，從而實現(xiàn)同時優(yōu)化兩個問題的目的。

與上述框架類似，本文將Popt向D矩陣近似，而不是標準OFDM系統(tǒng)即式(11)中的B矩陣，所以有

(14)

式中：DN×N是一個N×N的離散余弦變換矩陣，它的元素由式(13)計算。所以問題(12)轉化成了

(15)

由線性代數(shù)知識可知[4,13]，對于一個給定矩陣V1和Do，問題(15)的最優(yōu)解為

Qo=UoVoH。

(16)

Popt=V1UoVoH。

(17)

這樣，本文就實現(xiàn)了兩種分別解決不同問題的預編碼方案相結合，得到最終預編碼矩陣，并使用單一預編碼矩陣同時實現(xiàn)帶外泄漏和PAPR的降低，而且算法復雜度和原有的框架類似，僅增加了計算離散余弦變換矩陣的時間。

4 仿真分析

為了評價本文所提出的預編碼方案的性能，使用Matlab進行仿真。本文假設這是一個對稱的OFDM系統(tǒng)，即RL=RR=R/2，使用總共M=64個子載波和正交相移鍵控(Quadrature Phase Shift Keying,QPSK)的調制方式。由前文算法所述，計算式(5)中矩陣C的元素C(i,j)需要設定特定的帶外頻率集Φ，本文將Φ設置為

Φ=[ωL-96Δω,ωL-16Δω]∪[ωR+16Δω,ωR+96Δω]。

式中：[ωL,ωR]為頻帶范圍，Δω為子載波間隔。

圖2給出了4種OFDM系統(tǒng)在R=4時帶外泄漏情況的對比。直接DCT預編碼方法[4]由于僅考慮了PAPR優(yōu)化，沒有考慮帶外泄漏情況，所以帶外抑制效果是最差的。在本文所設置的條件下，帶外泄漏在-30 dB左右；標準OFDM系統(tǒng)(即無編碼)的帶外泄漏情況比前者略優(yōu)，但由于標準系統(tǒng)同樣沒有考慮抑制帶外泄漏，數(shù)量級上并沒有差距，性能基本相當。本文所提方案在R=4的情況下，帶外泄漏比前兩者降低15 dB，抑制效果明顯；與此同時由于考慮了PAPR抑制，本文提出的方案比僅抑制帶外泄漏的標準框架方案在帶外抑制上雖然性能稍差，但是差距很小，而對PAPR卻有明顯的優(yōu)化作用。

圖2 R=4時4個不同的OFDM帶外泄漏情況Fig.2 Out-of-band emission performance comparison among different OFDM systems with R=4

圖3表示了R=4的情況下上述4個不同OFDM系統(tǒng)在PAPR性能上的對比，表現(xiàn)形式為PAPR的互補累計分布函數(shù)(Complementary Cumulative Distribution Function，CCDF)。為方便比較，以10-3量級作為比較基準。標準框架方案只考慮帶外泄漏的抑制，其PAPR性能是最差的，PAPR閾值要超過10.5 dB才能達到10-3比率；標準的OFDM系統(tǒng)(即無編碼)沒有進行帶外抑制，所以PAPR性能也比前者略好，但差距很小，同樣在10.5 dB左右。本文提出的預編碼方案在PAPR抑制上也有明顯效果，在R=4的情況下，在10-3量級比率進行截斷，相比標準OFDM系統(tǒng)，有超過1.5 dB的性能提升；而直接DCT預編碼方案由于僅針對了PAPR優(yōu)化，在PAPR抑制的效果上雖然比本文提出方案有大約0.5 dB的提升，但是正如前面的圖2對比，帶外泄漏非常高，沒有抑制效果。

圖3 R=4時不同OFDM系統(tǒng)的PAPR性能比較Fig.3 PAPR performance comparison among different OFDM systems with R=4

圖4和圖5分別給出了帶外泄漏情況和PAPR在不同冗余度R下的性能比較，可以看出，隨著冗余度R的增加，帶外泄漏抑制效果也在提升，相反地，PAPR則是相對在惡化，這也是由本文所采用的框架所決定的。R越大表示框架引入的用于降低帶外泄漏編碼的冗余子載波越多，但同時也會拉低信號平均功率，影響PAPR。本文所提出的方案可以達到同時降低帶外泄漏和PAPR的效果，但是不可能同時達到最好；而且R的增大表示冗余子載波增多，這也會降低頻譜效率，因此R的值需要在應用中進行權衡。

圖4 本文方案在不同冗余度R下的帶外泄漏情況Fig.4 Out-of-band emission performance with different R for the proposed method

圖5 本文方案在不同冗余度R下的PAPR情況Fig.5 PAPR performance with different R for the proposed method

最后，由于本文始終是基于正交矩陣的原則在進行方案的優(yōu)化，所以至少在加性高斯白噪聲信道(Additive White Gaussian Noise,AWGN)上，誤碼率性能不會有很大影響。

5 結束語

本文基于兩種分別解決OFDM系統(tǒng)中帶外泄漏和PAPR問題的預編碼方案，提出了一種聯(lián)合的預編碼方法。該方法基于已有的用以降低帶外泄漏的框架，針對PAPR的降低進行優(yōu)化，實現(xiàn)了僅使用一個預編碼矩陣來同時解決OFDM系統(tǒng)中常見的兩個問題，并且沒有引入額外的高復雜度，在兩個問題的解決之間實現(xiàn)了一定程度上的平衡。仿真結果表明，少量的頻譜冗余度就可以同時在帶外泄漏和PAPR問題的解決上取得較好的結果，并且由于是正交矩陣編碼，在加性高斯白噪聲信道上對誤碼率性能沒有明顯影響。除此之外，該方法的效果僅與采取的子載波數(shù)量、頻譜冗余量以及帶外頻率集的選擇有關，即預編碼矩陣與基帶數(shù)據(jù)沒有關系，所以接收機的解碼器設計也變得非常容易。但是本文提出的算法在子載波數(shù)量非常多的情況下時間復雜度也會變得很高，還有進一步優(yōu)化的空間。