跳頻信號(hào)的歸一化多普勒頻差最大似然估計(jì)

王 旭1，謝 磊，張孔明1，何子述

(1.西南電子電信技術(shù)研究所，成都610041；2.電子科技大學(xué) 電子工程學(xué)院，成都611731)

1 引 言

跳頻是最常用的擴(kuò)頻方式之一，應(yīng)用廣泛，提高跳頻通信信號(hào)的無源定位性能具有重要的意義[1]。本文研究無源雙站對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)定位涉及的跳頻信號(hào)多普勒頻差估計(jì)問題，而關(guān)于雙站情況下利用到達(dá)時(shí)間差(Time Difference of Arrival，TDOA)和多普勒頻差(Frequency Difference of Arrival，F(xiàn)DOA)對(duì)運(yùn)動(dòng)輻射源目標(biāo)進(jìn)行無源定位的機(jī)理在相關(guān)文獻(xiàn)中已有論述[2-4]。

FDOA指某一運(yùn)動(dòng)目標(biāo)相對(duì)于兩個(gè)定位站的多普勒頻率的差值。利用FDOA和TDOA可以實(shí)現(xiàn)目標(biāo)定位、跟蹤等[5-8]。對(duì)于運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的FDOA和TDOA的聯(lián)合估計(jì)，常見的算法包括基于子空間的頻域高分辨時(shí)差測(cè)量算法[9]、基于盲波束形成的方法[10-11]和Hough變換[12]等，而這些算法往往涉及到自相關(guān)矩陣的求逆或者譜分解，計(jì)算量比較大。文獻(xiàn)[13-14]中提到基于最大似然估計(jì)的TDOA和FDOA估計(jì)方法，分別針對(duì)相干短脈沖信號(hào)和弱平穩(wěn)的數(shù)字通信信號(hào)，并且是基于單基站的情形。而針對(duì)跳頻信號(hào)，國內(nèi)外有不少學(xué)者進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[15]提出了一種基于跳頻信號(hào)特征提取參考頻率點(diǎn)處的相位差求TDOA。這種方法從原理上講借鑒了譜相關(guān)擬合相位的思路，估計(jì)精度較高，但要對(duì)相位解模糊，計(jì)算復(fù)雜。文獻(xiàn)[16]基于跳頻信號(hào)模型的特征，利用不同碼元之間的相位差分來估計(jì)TDOA。這種算法計(jì)算效率高，但要求對(duì)載波差的估計(jì)足夠精確，而該精度主要依賴于符號(hào)持續(xù)時(shí)間，往往單個(gè)符號(hào)的跳頻信號(hào)持續(xù)時(shí)間較短，導(dǎo)致對(duì)載波差的估計(jì)不準(zhǔn)確，并且這種方法也存在相位模糊的問題需要解決。

對(duì)于一個(gè)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)在某時(shí)刻發(fā)出的跳頻脈沖串信號(hào)，可以認(rèn)為在跳頻脈沖串信號(hào)持續(xù)時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)相對(duì)于各個(gè)定位站的徑向速度不變，但是由于各脈沖的載波頻率不同，一個(gè)定位站接收到的跳頻脈沖串信號(hào)中各個(gè)脈沖對(duì)應(yīng)的多普勒頻率將不一致，兩個(gè)定位站各脈沖之間的多普勒頻差也將不同，為充分利用跳頻脈沖串中的信息量提高對(duì)跳頻信號(hào)的定位性能，本文提出了跳頻脈沖串信號(hào)的歸一化頻差最大似然估計(jì)算法，以跳頻脈沖中一個(gè)跳頻頻率的多普勒頻差為基準(zhǔn)，利用所有跳頻脈沖信號(hào)對(duì)該基準(zhǔn)多普勒頻差進(jìn)行估計(jì)，隨著算法中使用的脈沖信號(hào)數(shù)量增多，基準(zhǔn)多普勒頻差估計(jì)性能有明顯改善。該算法避開了矩陣的譜分解和求逆運(yùn)算，運(yùn)行速度較快。

2 基本原理

2.1 基于雙站的多普勒頻差估計(jì)算法

首先假定信號(hào)為確定性的，噪聲為白高斯噪聲，則兩個(gè)接收站接收到的信號(hào)可以表示為

(1)

式中：a為信號(hào)幅度常數(shù)，D1與D2分別表示信號(hào)源s[n]到達(dá)兩個(gè)接收站的傳播延遲，ω1與ω2分別表示兩個(gè)接收站接收信號(hào)的頻率，n為樣點(diǎn)序號(hào)，N為樣點(diǎn)總數(shù)。待估時(shí)差與多普勒頻差參數(shù)矢量定義為

θ=[D2,1,ω2,1]T。

(2)

式中：時(shí)差D2,1=D2-D1，多普勒頻差ω2,1=ω2-ω1。進(jìn)而，接收信號(hào)可以等價(jià)地表示為

(3)

為了便于后續(xù)表述，首先定義觀測(cè)信號(hào)矢量：

(4)

由于信號(hào)是確定的，噪聲為復(fù)高斯白噪聲，則觀測(cè)矢量的均值滿足

μ(y)=E{y}=x。

(5)

式中：

(6)

x1和x2分別滿足

(7)

可見觀測(cè)矢量的均值與參數(shù)θ有關(guān)。相同假設(shè)下，觀測(cè)數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣可以表示為

C=E{(y-E{y})(y-E{y})H}=

(8)

顯然，觀測(cè)數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣C與參數(shù)θ無關(guān)。為了實(shí)現(xiàn)對(duì)FDOA的估計(jì)，這里首先根據(jù)信號(hào)模型建立最大似然函數(shù)：

p(y;θD1,s(t))=

(9)

可以得到其最大似然估計(jì)為

(10)

(11)

式中：μ(θ)=[x1,x2]T需要估計(jì)未知信號(hào)s[n]，這里我們采用μ(θ)的估計(jì)來近似實(shí)現(xiàn)最大似然估計(jì)，也即

(12)

這里首先采用第一個(gè)接收站接收信號(hào)作為x1的估計(jì)，則μ(θ)的估計(jì)滿足

(13)

式中：F{y1,D2,1}表示將信號(hào)y1時(shí)移D2,1，可采用時(shí)延濾波器如sinc內(nèi)插器[17-18]等實(shí)現(xiàn)；Φ(ω2,1)定義如下：

(14)

綜上，TDOA與FDOA估計(jì)為

‖Φ(ω2,1)F{y1,D2,1}‖2}。

(15)

在時(shí)延相對(duì)信號(hào)持續(xù)時(shí)間較小時(shí)，對(duì)于恒模信號(hào)可認(rèn)為‖Φ(ω2,1)F{y1,D2,1}‖為常數(shù)，則

(16)

這里θ=[D2,1,ω2,1]T，信號(hào)y1的延遲形式為

F{y1,D2,1}=[y1[0-D2,1],y1[1-D2,1],…,y1[N-1-D2,1]]T，

(17)

其中每個(gè)元素可采用如下方式實(shí)現(xiàn)：

(18)

式中：K為內(nèi)插器階數(shù)。值得注意的是，如果這里假定時(shí)差D2,1已知，則由式(16)得到頻差估計(jì)表達(dá)式：

(19)

進(jìn)一步，如果時(shí)差為零，則

(20)

在更一般的情況下，時(shí)差是未知的，可以采用二維網(wǎng)格搜索的方法得到TDOA與FDOA的解。

網(wǎng)格搜索的步驟如下：

Step1 確定二維網(wǎng)格搜索精度，將搜索區(qū)域劃分為g1,g2,…,gG，G為網(wǎng)格數(shù)。

Step2 將第i個(gè)網(wǎng)格對(duì)應(yīng)的向量gi賦值給未知參數(shù)θ，i初始化值為1。

Step4 將i+1賦值給i，也即i=i+1，并重復(fù)Step 2～4，直到i=G。

Step5 將c(θ)最大值對(duì)應(yīng)的搜索網(wǎng)格值作為參數(shù)θ的估計(jì)輸出。

2.2 跳頻信號(hào)歸一化多普勒頻差最大似然估計(jì)算法

將上面的方法應(yīng)用到跳頻脈沖信號(hào)形式，由于每個(gè)脈沖的載波頻率各不相同，所以每個(gè)脈沖的多普勒頻差也不同，于是可以將二維搜索目標(biāo)函數(shù)可改寫為如下表達(dá)式：

(21)

式中：Np為脈沖信號(hào)個(gè)數(shù)，y1,i與y2,i分別表示兩路觀測(cè)量的第i個(gè)脈沖信號(hào)矢量，

αi=fc,i/fc。

(22)

式中：fc,i表示第i個(gè)脈沖的載波頻率，fc表示參考載波頻率。算法所估計(jì)出的FDOA也是在參考載波頻率下的FDOA，而利用該已知的參考頻率與估計(jì)得到的FDOA即可計(jì)算出目標(biāo)的徑向速度差，或是直接使用下式估計(jì)TDOA與FDOA：

(23)

這里y1、y2與ΦΣ(ω2,1)由下面的定義式給出：

(24)

(25)

(26)

式中：y1,i與y2,i分別表示兩路觀測(cè)量的第i個(gè)脈沖信號(hào)矢量，對(duì)角矩陣Φ(αiω2,1)表示第i個(gè)脈沖對(duì)應(yīng)的變頻矩陣，其定義與式(14)相似。

多普勒頻差估計(jì)的步驟如下：

Step1 讀取數(shù)據(jù)，包括脈沖數(shù)、采樣率、跳頻圖及中頻脈沖信號(hào)。

Step2 通過Hilbert變換將輸入中頻信號(hào)轉(zhuǎn)換為I/Q信號(hào)。

Step3 采樣復(fù)信號(hào)互相關(guān)時(shí)差估計(jì)方法測(cè)量信號(hào)到達(dá)兩個(gè)觀察站的到達(dá)時(shí)間差。通過網(wǎng)格搜索兩路復(fù)信號(hào)間的互相關(guān)峰值對(duì)應(yīng)的時(shí)延即為兩路信號(hào)間的相對(duì)延遲(到達(dá)時(shí)間差)。

Step4 將兩路信號(hào)在時(shí)延上對(duì)齊(例如，第一路信號(hào)較第二路信號(hào)延遲了200個(gè)樣本點(diǎn)，則將第二路信號(hào)的前200個(gè)樣本點(diǎn)丟棄，同時(shí)將第一路信號(hào)的后200個(gè)樣本點(diǎn)丟棄，使得后面參與多普勒頻差估計(jì)的兩路信號(hào)的起始時(shí)刻相同)。

Step5 根據(jù)Step 4，重新確定第二路信號(hào)的跳頻序列。

Step6 根據(jù)脈沖周期將兩路信號(hào)分別存儲(chǔ)為矩陣形式，矩陣的每一列表示持續(xù)時(shí)間長度為一個(gè)脈沖周期的信號(hào)樣本序列。

Step7 跳變沿檢測(cè)完成符號(hào)同步，然后取出有用信號(hào)(復(fù)觀察信號(hào))。

Step8 在Step 3中已經(jīng)粗略估計(jì)了一個(gè)頻差，在預(yù)估頻差周圍進(jìn)行兩次搜索多普勒頻差估計(jì)目標(biāo)函數(shù)峰值，使結(jié)果更精確，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)取得最大值時(shí)即得到雙站間的多普勒頻差估計(jì)結(jié)果。

Step9 由多普勒頻差計(jì)算目標(biāo)徑向速度差。

3 雙站多普勒頻差估計(jì)仿真

為仿真兩個(gè)固定觀測(cè)站實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)無源定位的多普勒頻差估計(jì)性能，假設(shè)觀測(cè)站1的坐標(biāo)為(0,-10) km，觀測(cè)站2的坐標(biāo)為(0,10) km。

設(shè)置跳頻信號(hào)頻率范圍為1～1.2 GHz，跳頻帶寬為200 MHz，跳頻的頻率間隔為5 MHz，隨機(jī)選取跳頻圖案產(chǎn)生300個(gè)跳頻脈沖信號(hào)，跳頻脈沖持續(xù)時(shí)間為10 μs，調(diào)制方式為MSK，符號(hào)率設(shè)為5 Mbit/s，瞬時(shí)帶寬為3.5 MHz。

仿真工具為Matlab 2013，電腦主要配置:Intel(R) Pentium(R) G630 @2.70 GHz CPU，4 GB RAM。

3.1 不同輸入脈沖個(gè)數(shù)下的仿真

該仿真分析算法所使用的脈沖數(shù)量與多普勒頻差估計(jì)性能的關(guān)系，并與基于子空間算法進(jìn)行對(duì)比分析。假設(shè)目標(biāo)坐標(biāo)為(215，24) km，目標(biāo)的速度向量為(257，86)m/s，通過矢量運(yùn)算，可以計(jì)算得到目標(biāo)到觀測(cè)站1的徑向速度267.278 6 m/s，目標(biāo)到觀測(cè)站2的徑向速度為262.045 0 m/s，實(shí)際徑向速度差為-5.233 5 m/s。設(shè)定信噪比為10 dB。

根據(jù)上述仿真參數(shù)，仿真數(shù)據(jù)存在41個(gè)跳頻頻點(diǎn)，設(shè)置參考載波頻率fc為1 GHz，則式(21)的αi取值為(1.000，1.005，1.010，1.015，…，1.200)，按照歸一化多普勒頻差最大似然估計(jì)的9個(gè)步驟估計(jì)出多普勒頻差。圖1和圖2給出了不同輸入脈沖個(gè)數(shù)下分別進(jìn)行100次獨(dú)立試驗(yàn)，通過公式

(27)

得到的多普勒頻差估計(jì)RMSE，然后比較RMSE及運(yùn)行時(shí)間與所使用的脈沖個(gè)數(shù)的關(guān)系。

仿真基于子空間算法時(shí)，分別在每一個(gè)跳頻頻點(diǎn)上估計(jì)出對(duì)應(yīng)的多普勒頻差，然后由式(22)換算成參考載波頻率1 GHz上的頻差，可得到41個(gè)多普勒頻差，取平均值得到最終的參考載波頻率多普勒頻差估計(jì)值。

圖1 雙站下多普勒頻差估計(jì)均方根誤差與脈沖個(gè)數(shù)間關(guān)系Fig.1 The relationships between MSE of Doppler frequency estimation and the number of pulse on double-base situation

從圖1中可以得到以下結(jié)論：

(1)當(dāng)所使用的脈沖數(shù)越來越多的時(shí)候，多普勒頻差估計(jì)的均方根誤差越來越小，這說明脈沖數(shù)越多為多普勒頻差估計(jì)提供的信息量越大；

(2)當(dāng)脈沖數(shù)量較少時(shí)(比如少于100個(gè)脈沖)，歸一化多普勒頻差最大似然估計(jì)算法好于基于子空間的算法，這主要是式(21)使用了不同跳頻頻點(diǎn)的所有脈沖信號(hào)對(duì)參考載波頻率上的多普勒頻差進(jìn)行估計(jì)，而基于子空間算法是在不同跳頻頻點(diǎn)上分別估計(jì)出相應(yīng)的多普勒頻差，可以認(rèn)為歸一化多普勒頻差最大似然估計(jì)算法具有全局最優(yōu)性；

(3)當(dāng)脈沖數(shù)量達(dá)到一定數(shù)量后(比如200個(gè)脈沖)，算法所用脈沖數(shù)量的增加對(duì)性能的改善不明顯，這對(duì)實(shí)際工程中選取脈沖數(shù)量具有指導(dǎo)意義。

圖2給出了所提算法與文獻(xiàn)[7]中所提算法的效率的比較，可以看出在使用脈沖數(shù)量大于200時(shí)，所提算法效率逐漸提升，當(dāng)脈沖數(shù)量為240時(shí)，效率提升在30%以上。因?yàn)槲墨I(xiàn)[7]中所提基于子空間的算法涉及到自相關(guān)矩陣的譜分解，會(huì)帶來較大的計(jì)算量，而所提基于最大似然估計(jì)的算法避開了這些計(jì)算。

圖2 所提算法與基于子空間的算法效率比較Fig.2 The efficiency comparison between the proposed algorithm and the subspace algorithm

3.2 不同SNR下的仿真

在不同SNR下分別進(jìn)行200次獨(dú)立試驗(yàn)，圖3給出了多普勒頻差估計(jì)RMSE與速度差估計(jì)RMSE仿真結(jié)果。仿真中采用128個(gè)脈沖數(shù)據(jù)進(jìn)行一次多普勒測(cè)量，觀測(cè)站位置設(shè)置與前面雙站仿真案例相同。目標(biāo)位置坐標(biāo)(220,30) km，目標(biāo)速度(-228,-186)m/s，仿真了SNR為[0∶2∶20]dB時(shí)的估計(jì)精度。

圖3 雙站下多普勒頻差及速度差估計(jì)精度與SNR間關(guān)系Fig.3 The relationship between the accuracy of Doppler frequency difference estimation and velocity difference estimation and SNR on double-base situation

對(duì)于雙站仿真，圖中仿真結(jié)果與預(yù)計(jì)結(jié)果接近，隨著SNR的增大，估計(jì)的均方根誤差越來越小。

4 結(jié)束語

本文針對(duì)兩個(gè)觀測(cè)站估計(jì)跳頻脈沖信號(hào)多普勒頻差問題，先構(gòu)造一個(gè)關(guān)于FDOA的似然函數(shù)，然后用網(wǎng)格搜索的辦法找到使似然函數(shù)最大的頻差。從仿真結(jié)果可以看出，這種方法具有很高精度，充分利用了跳頻脈沖串中不同頻率的多普勒頻差信息提高了對(duì)速度差的估計(jì)性能；隨著利用的跳頻脈沖數(shù)量增多估計(jì)性能越高，并且基于這種多輪搜索的算法與基于子空間的算法相比較在使用脈沖數(shù)較多時(shí)效率提升較為明顯。在后續(xù)研究中，一方面應(yīng)考慮對(duì)所提算法的實(shí)現(xiàn)過程進(jìn)行進(jìn)一步優(yōu)化，提高執(zhí)行效率；另一方面，在三站以上的多站定位系統(tǒng)中，應(yīng)研究利用所有接收站的接收信號(hào)實(shí)現(xiàn)對(duì)多個(gè)FDOA的估計(jì)算法，提升FDOA估計(jì)精度用于更精確的目標(biāo)定位。