運(yùn)用不同解法，開拓思維深度*
——以二面角的平面角常見解法為例

☉江蘇省宿遷中學(xué) 張滿成

尋求二面角的平面角是立體幾何學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)之一，解決二面角問題的關(guān)鍵是作出二面角的平面角，可使空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來解決.下面結(jié)合實例，就初學(xué)二面角的平面角時常見的求解策略加以剖析.

一、定義法

根據(jù)二面角的平面角的定義，在棱l上取一點(diǎn)A，分別在兩個半平面α，β內(nèi)作AB⊥l，AC⊥l，則∠BAC即為二面角α-l-β的平面角.

例1 在四面體ABCD中，△ABD，△ACD，△BCD，△ABC都全等，且AB=AC=，BC=2，求以BC為棱、以平面BCD和平面BCA為面的二面角的大小.

圖1

分析：關(guān)鍵是取BC的中點(diǎn)E，利用三角形中的各邊的關(guān)系，確定垂直關(guān)系，從而結(jié)合定義判定∠AED為二面角A-BC-D的平面角，進(jìn)而利用三角形全等以及直角三角形中的各邊之間的關(guān)系求解對應(yīng)的角度問題.

解：如圖1，取BC的中點(diǎn)E，連接AE，DE.

因為AB=AC，所以AE⊥BC.

又因為△ABD≌△ACD，AB=AC，AD=AE，

所以DB=DC，所以DE⊥BC.

所以∠AED為二面角A-BC-D的平面角.

又因為△ABC≌△DBC，且△ABC是以BC為底的等腰三角形，△DBC也是以BC為底的等腰三角形，

又△ABD≌△DBC，所以AD=BC=2，

所以AD2=AE2+DE2，所以∠AED=90°，

故以平面BCD和平面ABC為面的二面角的大小為90°.

點(diǎn)評：利用定義確定二面角的平面角時，關(guān)鍵是找到棱上對應(yīng)的點(diǎn)，這樣可以在相應(yīng)的兩個半平面內(nèi)準(zhǔn)確找到與棱垂直的直線，進(jìn)而確定二面角.往往此類問題與三角形問題的求解緊密結(jié)合在一起來考查.

二、垂線法

根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)，已知二面角α-l-β，若P∈α，可過P作PB⊥β于B，過B作BA⊥l于A，連接PA（或過P作PA⊥l于A，連接BA），則∠PAB為二面角α-l-β的平面角.

例2 如圖2，四邊形ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分別為AB，PC的中點(diǎn).

（1）證明：AB⊥MN；

（2）連接AC，取AC的中點(diǎn)O，證明：平面MNO⊥平面PDC.

分析：對于（1），通過線面垂直以及矩形的性質(zhì)，把線面垂直與線線垂直加以轉(zhuǎn)化證明；對于（2），關(guān)鍵是利用垂線法，確定平面PDC與平面ABCD所成的角，并結(jié)合三角形全等以及線線垂直、線面垂直來證明面面垂直問題.

證明：（1）因為N為PC的中點(diǎn)，O為AC的中點(diǎn)，

所以O(shè)N∥PA.

而PA⊥平面ABCD，所以O(shè)N⊥平面ABCD，

所以O(shè)N⊥AB.

又四邊形ABCD為矩形，M為AB的中點(diǎn)，

所以O(shè)M⊥AB，

所以AB⊥平面OMN，所以AB⊥MN.

（2）由（1）知，AB⊥平面OMN，CD∥AB，所以CD⊥平面OMN，CD?平面PCD，所以平面MNO⊥平面PCD.

圖2

點(diǎn)評：在利用垂線法求解有關(guān)二面角的平面角問題時， 關(guān)鍵是注意 “作”（即作垂線）、“連”（連線段）、“證”（證線線垂直），從而確定對應(yīng)的二面角問題.特別地，對于兩個平面相交，有過一個平面內(nèi)的一點(diǎn)與另一個平面垂直的垂線，只要過這一點(diǎn)向棱作垂線，連接兩個垂足，即找到對應(yīng)的二面角.

三、垂面法

根據(jù)二面角的棱垂直于二面角的平面角所在的平面，可過空間任意一點(diǎn)作平面γ⊥l交l于P點(diǎn)，則γ與兩個半平面α，β的交線，即射線PA，PB所成的∠APB即為二面角α-l-β的平面角.

例3 如圖3，在三棱錐S-ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.

（1）求證：AB⊥BC；

（2）若設(shè)二面角S-BC-A為45°，SA=BC，求二面角A-SC-B的大小.

分析：對于（1），通過面面垂直、線面垂直、線線垂直三者之間的轉(zhuǎn)化加以分析與證明；對于（2），結(jié)合平面SAB同時垂直于相應(yīng)的兩個平面加以判定對應(yīng)的二面角的平面角問題，再結(jié)合垂線法來求解對應(yīng)的二面角問題.

解：（1）證明：作AH⊥SB于H.

因為平面SAB⊥平面SBC，所以AH⊥平面SBC.

又SA⊥平面ABC，所以SA⊥BC，SA在平面SBC上的射影為SH，所以BC⊥SB.

又SA∩SB=S，所以BC⊥平面SAB，所以BC⊥AB.

（2）因為SA⊥平面ABC，所以平面SAB⊥平面ABC.

又平面SAB⊥平面SBC，所以∠SBA為二面角S-BCA的平面角，所以∠SBA=45°.

設(shè)SA=AB=BC=a，作AE⊥SC于E，連接EH，

圖3

所以sin，二面角A-SC-B為60°.

點(diǎn)評：以上求解二面角的平面角問題中，尋找二面角S-BC-A的平面角時用的是垂面法，而在尋找二面角A-SC-B的平面角時用的是垂線法，關(guān)鍵是結(jié)合題目中的相關(guān)條件，數(shù)形結(jié)合并結(jié)合相關(guān)的方法處理相應(yīng)的二面角的平面角問題.

四、射影法

例4 如圖4，已知圓錐P-ABC的軸截面PAB是等腰直角三角形，O為底面圓的圓心，C是底面圓周上異于A，B的任意一點(diǎn).若二面角A-OP-C的平面角大小為90°，試求二面角A-PC-B的余弦值.

分析：根據(jù)二面角的定義先來確定∠AOC就是二面角的平面角，則∠AOC=90°，即OC⊥AB.根據(jù)對稱性，通過設(shè)置圓O的半徑R，結(jié)合射影面積公式的轉(zhuǎn)化與求解，并利用二倍角公式來分析與轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到求解二面角的平面角的目的.

圖4

解：由已知條件可得PO⊥平面ABC，

而二面角A-OP-C的大小為90°，根據(jù)二面角的定義可得∠AOC=90°，則有OC⊥AB.

根據(jù)立體幾何中的對稱性，可得二面角A-PC-B的平面角為θ.

設(shè)底面圓O的半徑為R，根據(jù)題目條件可得PA=PB=PC=AC=R，

點(diǎn)評：在涉及方便求解二面角的一個半平面內(nèi)某個多邊形（一般為三角形）的面積的前提條件下，只要通過條件求解該多邊形在另一個半平面內(nèi)射影的面積，利用射影法來解決有關(guān)二面角的平面角問題，往往可以簡化求解過程，快捷處理問題.

綜上分析，定義法、垂線法、垂面法和射影法是四類比較常見的求解二面角的平面角的幾何方法.其實隨著后繼學(xué)習(xí)的深入，還有其他的方法可以用來解決此類問題.解決立體幾何中的二面角問題，要善觀察，勤動腦，多總結(jié)，抓住問題的特征，尋找轉(zhuǎn)化途徑，找出適當(dāng)?shù)姆椒ǎP(guān)于二面角的平面角的求解問題就會迎刃而解.W