利用算法巧解多種交匯題型

☉山東省青島西海岸新區(qū)第一高級中學(xué) 趙洪嘉

交匯整合在算法問題中有較強(qiáng)的體現(xiàn)與滲透，往往將其他相關(guān)的數(shù)學(xué)知識點融合其中，設(shè)計背景新穎，能力要求廣泛，有效地考查了同學(xué)們靈活運用數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想的能力，體現(xiàn)了在知識交匯處命題的原則.

一、算法與函數(shù)的交匯

算法與函數(shù)交匯主要是以算法的流程圖為背景來考查函數(shù)的相關(guān)問題，解題的關(guān)鍵是通過相應(yīng)的流程圖轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的函數(shù)問題（特別是分段函數(shù)），利用函數(shù)的概念、圖像或性質(zhì)等來解決.

好題1 給定一個算法的流程圖，如圖1所示，若a是方程2x+x=0的實數(shù)根，b是方程log2x+x=0的實數(shù)根，c是方程log2x-=0的實數(shù)根，則輸出x的值是______.

分析：根據(jù)算法的流程圖確定該程序的目的是三個數(shù)逐個比較輸出最大值，借助方程與函數(shù)的關(guān)系，利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像關(guān)系來確定，通過交匯來考查相關(guān)知識.

解：根據(jù)題意知，該算法的流程圖的目的是三個數(shù)逐個比較輸出最大值，而三個方程均不能直接求解，可以借助于函數(shù)的圖像來分析.如圖2，在同一坐標(biāo)系中作出y=2x，y=log2x與y=-x的圖像，可得a＜0，0＜b＜1，而在同一坐標(biāo)系中作出y=logx與y=的圖像，可得c＞1，所以a＜b＜c，故

圖1

圖2

2輸出的是c.

好題點睛：本題主要考查算法的流程圖，函數(shù)與方程的關(guān)系，函數(shù)的圖像與性質(zhì).這是一個綜合算法、函數(shù)與方程、函數(shù)的圖像與性質(zhì)等知識的交匯試題，通過分析流程圖得出所要解決問題的實質(zhì)，增加了試題難度，在考查基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上，注重對數(shù)學(xué)思想和方法的考查，注重對數(shù)學(xué)能力的考查，堅持多角度考查數(shù)學(xué)素養(yǎng)的要求.

二、算法與不等式的交匯

算法與不等式交匯主要是以算法的流程圖為背景來考查函數(shù)、不等式的相關(guān)問題，解題的關(guān)鍵是通過相應(yīng)的流程圖來確定函數(shù)關(guān)系式，綜合不等式的相關(guān)性質(zhì)來解決創(chuàng)新問題.

好題2 圖3是由所輸入的x值計算y值的一個算法程序，若x依次取數(shù)列｝（n∈N*，n≤2018）的項，則所得y值中的最小值為______.

分析：正確理解相應(yīng)的算法程序，并將而轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的分段函數(shù)，結(jié)合基本不等式與函數(shù)式的求解來解決最值問題.

解：根據(jù)算法程序可知，

圖3

那么當(dāng)n=22時，此時x=44，y取得最小值442+2×44-6=2018.

好題點睛：本題綜合了算法初步知識，函數(shù)中的分段函數(shù)問題，以及基本不等式的應(yīng)用等，通過多個知識點的交匯與綜合來創(chuàng)新問題，達(dá)到考查能力與應(yīng)用的目的.

三、算法與概率的交匯

算法與概率交匯主要是算法的流程圖為背景考查相應(yīng)的概率相關(guān)問題，解題的關(guān)鍵是通過相應(yīng)的流程圖來處理對應(yīng)的數(shù)據(jù)，結(jié)合數(shù)據(jù)信息利用概率定義、公式等來解決概率的相關(guān)問題.

好題3 在可行域內(nèi)任取一點，規(guī)則如流程圖4所示，則能輸出數(shù)對（x，y）的概率為______.

分析：通過算法的流程圖的識別，結(jié)合對平面區(qū)域的確定以及對應(yīng)面積的計算，利用幾何概型的概率公式來求解對應(yīng)的概率.

圖4

而x2+y2≤1表示單位圓及其內(nèi)部區(qū)域.

好題點睛：本題主要通過算法與概率的交匯來達(dá)到創(chuàng)新的目的.對算法、概率與統(tǒng)計知識，往往有打破知識條塊系統(tǒng)的限制，串點成線，尋找合適的知識載體來達(dá)到交匯與綜合的題目，此類問題具有方法的多樣性，思維的靈活性，能力的綜合性等，將有利于提高學(xué)習(xí)效益.

四、算法與統(tǒng)計的交匯

算法與統(tǒng)計交匯主要是以算法的流程圖為背景考查相應(yīng)的統(tǒng)計相關(guān)問題，解題的關(guān)鍵是通過相應(yīng)的流程圖來處理統(tǒng)計的相關(guān)問題.

好題4 2017年，對某公司生產(chǎn)的H7N9流感試驗疫苗種植后進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計，造成多人出現(xiàn)過敏癥狀.下面是某地區(qū)有過敏癥狀人數(shù)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

地區(qū)i 1 2 3 4 5 6 7過敏人數(shù)x i（個）9 0 9 4 8 8 9 5 8 7 8 6 9 0

為了對上述統(tǒng)計數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，對某特征數(shù)s的計算的算法流程圖如圖5所示（其中x是這7個數(shù)據(jù)的平均數(shù)），則輸出的s是______.

分析：通過算法的流程圖的識別，題目中的某特征數(shù)s實際上就是該組數(shù)據(jù)的方差，結(jié)合方差的計算公式加以處理，也可以直接根據(jù)流程圖中的循環(huán)過程加以運算.

解：由算法流程圖知，題目中的某特征數(shù)s實際上就是該組數(shù)據(jù)的方差，而=90，

好題點睛：本題綜合了統(tǒng)計與算法的相關(guān)知識，關(guān)鍵是統(tǒng)計圖表的識別、統(tǒng)計數(shù)據(jù)的分析與運算，算法流程圖的應(yīng)用等，并通過算法流程圖來確定某特征數(shù)s實際上就是該組數(shù)據(jù)的方差，進(jìn)而綜合多個知識點加以交匯與應(yīng)用.

圖5

五、算法與數(shù)列的交匯

算法與數(shù)列交匯主要是以算法的流程圖為背景來考查數(shù)列的相關(guān)問題，解題的關(guān)鍵是通過相應(yīng)的流程圖來確定數(shù)列的定義、性質(zhì)、公式等問題.

好題5 閱讀如圖6所示的算法流程圖，則輸出的S的值是______.

分析：通過算法的流程圖的識別，根據(jù)計數(shù)變量和累加變量的變化規(guī)律確定其功能是數(shù)列的求和問題，根據(jù)數(shù)列通項公式與三角函數(shù)值的規(guī)律加以運算.

圖6

好題點睛：本題主要通過算法與數(shù)列的交匯來達(dá)到創(chuàng)新的目的.由于數(shù)列中的等差數(shù)列與等比數(shù)列都是規(guī)律性比較強(qiáng)的數(shù)列，這非常適合用循環(huán)結(jié)構(gòu)設(shè)計算法，以解決有關(guān)的數(shù)列問題.注意兩者的轉(zhuǎn)化交匯點處的理解與應(yīng)用.本題融合了三角函數(shù)的周期性、三角函數(shù)值、數(shù)列求和、算法流程圖等知識，試題背景一般，綜合性強(qiáng)，難度一般，是一類比較典型的交匯問題.

算法是新課標(biāo)的一扇“窗口”，備考中應(yīng)對其應(yīng)用加以理解和掌握.算法知識與其他知識的結(jié)合與交匯將是高考的重點，也恰恰體現(xiàn)了算法的普遍性、工具性，當(dāng)然難度不會太大，重在算理、算法及其思想.W