提升思維品質 凸顯數(shù)學本質

☉江蘇省灌云縣第一中學 吳中雙

數(shù)學教師在課堂這一主陣地中應積極引導學生將注意力全部集中在課堂活動中，使學生以最大的熱情與主動性展開知識的探索并因此獲得最大限度的思維活動.高三數(shù)學教師更是應該不斷思考怎樣才能觸及學生的情緒與意志領域這一重要問題，著眼于數(shù)學本質的凸顯并因此打造出高效優(yōu)質的數(shù)學課堂.筆者以為這一目標的實現(xiàn)可以從以下兩個方面著手.

一、一題多解

例1 已知正方形ABCD的邊長是2，AB的中點是E，以點A為圓心、AE為半徑作弧與AD相交于點F.若點P是劣弧EF上的動點，則P■→C·P■→D的最小值是______.

此題難度中等偏上，考查的知識核心是平面向量的數(shù)量積.解決此類題目一般有兩種思路.思路一，建立平面直角坐標系并將平面幾何問題代數(shù)化，比如以下即將介紹的解法1、2、3遵循的就是這一思路；思路二，選取基本已知向量來表示題中所要求的向量，學生往往會在怎樣選取已知向量上感覺困難，教師應在長度或角度這兩個方面引導學生進行已知向量的選取，解法4遵循的正是這一思路.

解法1：如圖1，建立平面直角坐標系，則C（2，2），D（0，2），圓弧EF的方程為x2+y2=1（0≤x≤1）.

設點P的坐標為（x，y），則

圖1

因為（x-1）2+（y-2）2表示圓弧EF上的動點P（x，y）到點（1，2）的距離的平方，因此（x-1）2+（y-2）2的最小值等于（的最小值為5-2.

解法2：如圖1，建立平面直角坐標系，則C（2，2），D（0，2），圓弧EF的方程為x2+y2=1（0≤x≤1）.

設點P的坐標為（x，y），則

因為點P在圓弧EF上，因此x2+y2=1.

解法3：如圖1，建立平面直角坐標系，則C（2，2），D（0，2），圓弧EF的方程為x2+y2=1（0≤x≤1）.

設點P的坐標為（cosθ，sinθ），則

圖2

二、多題一解

此題一般會作為填空題的壓軸題出現(xiàn)，難度較大，學生的得分情況往往也不容樂觀.利用不等式解決二元最值問題是此題最核心的內容，常值代換、轉化與化歸是解決此類題目最為常用的方法.事實上，這是教材中一個習題的變式.

這是基本不等式這一章節(jié)內容中比較典型的一個習題，此題的解法較多，常值代換是其中最為簡單的一個解決方法，具體過程如下：

變式1將原型題中的常數(shù)1改成了3，因此，解題時構造出系數(shù)即可解題，具體過程如下：

變式2（改變模式）：已知正數(shù)x，y滿足x+y=xy，則x+2y的最小值為______.

變式2中的此類問題一般可以借助基本不等式利用常值代換來解決，兩個和式且其中一個為分式的形式是此類題型的基本模式.因此，將已知條件的整式兩邊同除以xy即可變成我們所說的基本模型，具體過程如下：

變式3對于學生來講有一定難度，難點主要表現(xiàn)在以下兩處：難點之一是減元化簡到，這一步驟時會產生兩種想法：一種想法是運用通分轉化為分式函數(shù)，這種解法相對復雜；另一種想法是通過常數(shù)分離到難點之二是學生發(fā)現(xiàn)不了代數(shù)式+1中兩個分母之間的常數(shù)關系：（4b-1）+4（1-b）=3.具體解題如下：

所以m＞0，n＞0，且m+n=3，

變式4（改變等號）：已知實數(shù)x，y滿足x＞y＞0，且x+y≤2，則的最小值是______.

變式4將已知條件中的等號改成了不等號并對結構進行了新得構造，這是在變式3的基礎上進行的拓展與延伸，這對于基礎知識與能力比較薄弱的學生來說是一種挑戰(zhàn).具體解題如下：

三、教學反思

將高三數(shù)學教學視為某種程度上的解題教學是一點不為過的，不過，教師如果在教學中僅僅局限于就題講題那就有失偏頗了，教師不能滿足于題目得解而止步不前，而應該重視“一題多解”“多題一解”并引領學生擺脫茫茫題海，使學生在多角度、深層次的思考中開拓思路并獲得思維的拓展與發(fā)散，學生在興趣倍增的思考與探索中往往會令自身的思維品質更上一個臺階.因此，教師應重視“一題多解”“多題一解”這一重要的教學方式并引導學生展開多角度、多層次的思考，激活學生思維的發(fā)散性與創(chuàng)造性并引導學生進行逐層深入的思索，使學生能夠在知識交匯處迅速突破并獲得正確的解題思路.

不僅如此，教師在高三數(shù)學復習教學中還應該始終不忘回歸課本，對近年來的高考試題、模擬試題進行觀察與分析，我們不難發(fā)現(xiàn)很多試題都能從課本中找到原型.因此，教師在實際教學中應不忘課本典型例題與習題的研究并引導學生進行一題多解、一題多變、多題一解，使學生能夠在典型問題的探究中追根溯源并學會多角度、多層次的思考，使學生的思維不斷走向多維并因此不斷提升其思維的品質.W