巧用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性問題

☉江蘇省江都中學(xué) 陳澤民

在解決一些函數(shù)單調(diào)性問題時，往往可以利用導(dǎo)數(shù)這一有效工具，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)取值情況來解決與之相關(guān)的函數(shù)單調(diào)性問題.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性問題，可以解決函數(shù)值的大小比較，確定單調(diào)區(qū)間，處理相應(yīng)的圖像與參數(shù)問題，以及證明不等式等，同時也是解決函數(shù)的極值與最值的理論基礎(chǔ)所在.

一、函數(shù)值大小的比較

在解決一些函數(shù)值大小的比較關(guān)系中，經(jīng)常采用函數(shù)的構(gòu)造，通過求導(dǎo)，結(jié)合函數(shù)在給定區(qū)間的單調(diào)性，進(jìn)而確定相應(yīng)函數(shù)值的大小，達(dá)到解決問題的目的.

例1若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（0）=-1，其導(dǎo)函數(shù)f′（x）滿足f′（x）＞k＞1，則下列結(jié)論中一定錯誤的是（ ）.

分析：從條件f′（x）＞k＞1入手，分別構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-kx，h（x）=f（x）-x，利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合選項中自變量x的取值加以賦值，進(jìn)而判斷函數(shù)值大小不等關(guān)系的真與假.

解：由已知條件f′（x）＞k，構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-kx，則有g(shù)′（x）=f′（x）-k＞0，即g（x）是R上的增函數(shù).

所以結(jié)論中一定錯誤的是選項C，選項D不確定.

由已知條件f′（x）＞1，構(gòu)造h（x）=f（x）-x，則有h′（x）=f′（x）-1＞0，即h（x）是R上的增函數(shù).

故選C.

點評：本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性，考查推理論證能力，運算能力等.結(jié)合題目條件，通過不同函數(shù)的構(gòu)造，利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合選項中具體自變量的值加以賦值，進(jìn)而判斷函數(shù)值大小不等關(guān)系的正確性，達(dá)到解決問題的目的.

二、函數(shù)圖像的判斷

高考中經(jīng)常涉及函數(shù)圖像的考查，根據(jù)原函數(shù)與其對應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系：導(dǎo)函數(shù)大于零的區(qū)間是原函數(shù)的增區(qū)間，小于零的區(qū)間是原函數(shù)的減區(qū)間；而導(dǎo)函數(shù)的增減性與函數(shù)增減性沒有關(guān)系，但它刻畫函數(shù)圖像上點的切線斜率變化趨勢，導(dǎo)函數(shù)遞減，函數(shù)“上凸”；導(dǎo)函數(shù)遞增，函數(shù)“下凸”.

例2函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖像如圖1所示，則函數(shù)y=f（x）的圖像可能是圖2中的（ ）.

圖1

圖2

分析：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖像在三個零點的兩邊導(dǎo)數(shù)值的符號確定原函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，從而得以正確判斷.

解：根據(jù)題中導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖像可知其有三個零點，記導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的零點從左到右分別為x1＜0＜x2＜x3.

又在（-∞，x1）上f′（x）＜0，在（x1，x2）上f′（x）＞0，在（x2，x3）上f′（x）＜0，在（x3，+∞）上f′（x）＞0，所以函數(shù)y=f（x）在（-∞，x1）上單調(diào)遞減，在（x1，x2）上單調(diào)遞增，在（x2，x3）上單調(diào)遞減，在（x3，+∞）上單調(diào)遞增，則只有選項D中的圖像滿足條件.

故選D.

點評：本題考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的圖像、導(dǎo)數(shù)的實際意義等知識，重點考查的是識圖能力與邏輯推理能力，以及對數(shù)學(xué)的探究能力和應(yīng)用能力.巧妙地把函數(shù)的圖像與零點加以綜合，交匯函數(shù)的圖像與性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)與零點等相關(guān)知識來達(dá)到考查能力、提升應(yīng)用的目的.

三、參數(shù)取值范圍的確定

利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性來求解相關(guān)參數(shù)的取值范圍問題，關(guān)鍵是利用導(dǎo)函數(shù)在對應(yīng)區(qū)間上的正負(fù)不等關(guān)系式來分析，進(jìn)而把對應(yīng)的參數(shù)轉(zhuǎn)化為含有自變量x的不等式，利用對應(yīng)函數(shù)在給定區(qū)間上的值域問題來確定相關(guān)參數(shù)問題.其思路是先求導(dǎo)，再利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系來解決.

例3設(shè)函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c，設(shè)a=b=4，若函數(shù)f（x）有三個不同零點，求c的取值范圍.

分析：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，依據(jù)單調(diào)性和零點存在定理確定參數(shù)c的取值范圍.

解：當(dāng)a=b=4時，f（x）=x3+4x2+4x+c，

所以f′（x）=3x2+8x+4.

令f′（x）=0，得3x2+8x+4=0，解得x=-2或

f（x）與f′（x）隨x的變化情況列表如下：

x （-∞，-2） -2 -2，-2（ ） -2 33 -2（ ）3，+∞f′（x）+0-0+f（x）↗c↘c-32 27 ↗

點評：本題主要考查常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)運算法則，函數(shù)的零點，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖像與性質(zhì)，考查運算求解能力，分類討論思想等.通過導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性的判定，結(jié)合函數(shù)的圖像及零點存在定理來解決有關(guān)函數(shù)中的零點個數(shù)問題，知識交匯創(chuàng)新巧妙.

四、不等式的證明

在解決一些有關(guān)函數(shù)的不等式證明問題，往往通過函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)在對應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性來證明即可.導(dǎo)數(shù)與不等式證明的綜合是常見的高考題型，經(jīng)常涉及分類討論、化歸轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等思想等.

例4設(shè)a∈Z，已知定義在R上的函數(shù)f（x）=2x4+3x3-3x2-6x+a在區(qū)間（1，2）內(nèi)有一個零點x0，g（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù).

（1）求g（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)m∈［1，x0）∪（x0，2］，函數(shù)h（x）=g（x）（m-x0）-f（m），求證：h（m）h（x0）＜0.

分析：（1）先對f（x）求導(dǎo)，從而得到g（x），再對g（x）求導(dǎo)并令其為0，最后列表求出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間；（2）通過分析h（m）與h（x0）的特征，構(gòu)造函數(shù)H1（x）=g（x）（x-x0）-f（x），H2（x）=g（x0）（x-x0）-f（x），通過判斷相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性確定h（m）＞0，h（x0）＜0，從而得以證明對應(yīng)的不等式成立.

解：（1）由f（x）=2x4+3x3-3x2-6x+a，可得g（x）=f′（x）=8x3+9x2-6x-6，進(jìn)而可得g′（x）=24x2+18x-6.

x （-∞，-1） -1，1（）1 4（ ）4，+∞g′（x）+-+g（x） ↗ ↘ ↗

所以g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-1），（-∞，-1），單調(diào)遞減區(qū)間是

（2）證明：由h（x）=g（x）（m-x0）-f（m），得h（m）=g（m）（m-x0）-f（m），h（x0）=g（x0）（m-x0）-f（m）.

令函數(shù)H1（x）=g（x）（x-x0）-f（x），

則H1′（x）=g′（x）（x-x0）.

由（1）知，當(dāng)x∈［1，2］時，g′（x）＞0.

故當(dāng)x∈［1，x0）時，H1′（x）＜0，H1（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈（x0，2］時，H1′（x）＞0，H1（x）單調(diào)遞增.

因此，當(dāng)x∈［1，x0）∪（x0，2］，H1（x）＞H1（x0）=-f（x0）=0，可得H1（m）＞0，即h（m）＞0.

令函數(shù)H2（x）=g（x0）（x-x0）-f（x），

則H2′（x）=g（x0）-g（x）.

由（1）知，g（x）在［1，2］上單調(diào)遞增.

故當(dāng)x∈［1，x0）時，H2′（x）＞0，H2（x）單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈（x0，2］時，H2′（x）＜0，H2（x）單調(diào)遞減.

因此，當(dāng)x∈［1，x0）∪（x0，2］，H2（x）＜H2（x0）=0，可得H2（m）＜0，即h（x0）＜0.

所以h（m）h（x0）＜0.

點評：利用導(dǎo)數(shù)的方法來證明有關(guān)的不等式問題時，經(jīng)常通過不等式的轉(zhuǎn)化、函數(shù)的設(shè)置等方法，利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性來處理，方法巧妙易懂，簡便靈活.H