如何在高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法

☉江蘇省張家港市崇真中學(xué) 錢(qián)亞琴

高考數(shù)學(xué)命題人往往會(huì)將一整套知識(shí)理論體系和思想方法融匯在整張?jiān)嚲懋?dāng)中，如果將構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的完整理論體系作為高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)的核心，那么，引導(dǎo)學(xué)生歸納、整理、提煉并體會(huì)整套思想方法則是高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)最為重要且核心的內(nèi)容.二輪復(fù)習(xí)這一承上啟下的過(guò)程是促進(jìn)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)并提升能力的關(guān)鍵時(shí)期，學(xué)生的思維水平與能力往往會(huì)在這一重要時(shí)期獲得飛速發(fā)展.因此，教師在高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)的過(guò)程中要特別重視數(shù)學(xué)思想方法的歸納與整理，使學(xué)生能夠不斷獲得思維優(yōu)化與能力提升.

一、函數(shù)與方程的思想

運(yùn)用運(yùn)動(dòng)與變化的觀點(diǎn)對(duì)數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行分析與研究并構(gòu)造函數(shù)或建立函數(shù)關(guān)系，使問(wèn)題在函數(shù)的圖像與性質(zhì)的分析與轉(zhuǎn)化中得以解決就是我們經(jīng)常運(yùn)用的函數(shù)思想.函數(shù)思想與方程思想實(shí)際上正是對(duì)函數(shù)概念與方程概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，利用函數(shù)知識(shí)或觀點(diǎn)、方程或方程組的觀點(diǎn)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析與轉(zhuǎn)化往往能令問(wèn)題順利得解.

例1 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn，已知a3=12，S12＞0，S13＜0.

（1）試求公差d的取值范圍；

（2）S1，S2，S3，…，S12中哪個(gè)最大？理由何在？

解析：（1）由a3=12，得a1=12-2d.

因?yàn)镾12=12a1+66d=144+42d＞0，S13=13a1+78d=156+52d＜0，

因?yàn)閐＜0，Sn為關(guān)于n的二次函數(shù)，

所以當(dāng)n=6時(shí)，Sn最大.

反思：用函數(shù)的觀點(diǎn)將數(shù)列的通項(xiàng)或前n項(xiàng)和看成為自變量的函數(shù)進(jìn)行解題是非常重要且有效的.

二、轉(zhuǎn)化與化歸的思想

把需要解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成已有范圍內(nèi)可以解決的問(wèn)題的思維，即我們通常所說(shuō)的轉(zhuǎn)化與化歸思想，具體說(shuō)來(lái)，轉(zhuǎn)化思想是應(yīng)用已有知識(shí)、方法、技巧將問(wèn)題規(guī)范化、模式化，化歸思想是運(yùn)用方法與手段將問(wèn)題進(jìn)行變換與轉(zhuǎn)化并使其順利得解.

例2 設(shè)m∈R，過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線x+my=0和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線mx-y-m+3=0交于點(diǎn)P（x，y），則|PA|+|PB|的取值范圍為（ ）.

解析：由題意得，定點(diǎn)為A（0，0），B（1，3），兩條直線相互垂直，其交點(diǎn)P（x，y）落在以AB為直徑的圓周上，因此|PA|2+|PB|2=|AB|2=10，

反思：應(yīng)用這一思想方法解題時(shí)應(yīng)注意“變換”的方法，應(yīng)根據(jù)題中信息探求更為有利的途徑與方法并進(jìn)行合理的選擇.

三、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合這一常用思想方法的應(yīng)用往往會(huì)令很多問(wèn)題迎刃而解，“以形助數(shù)、以數(shù)解形”的思想往往能令很多復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)單、直觀而具體，學(xué)生的思維變得形象的同時(shí)也更容易把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì).

例3若集合M={（x，y）|x=3cosθ，y=3sinθ（0＜θ＜π）}，集合N={（x，y）|y=x+b}，且M∩N≠?，則b的取值范圍是______.

解析：M={（x，y）|x2+y2=9，0＜y≤1}，即集合M表示以（0，0）為圓心、3為半徑的圓在x軸上方的部分，如圖1所示；集合N則表示一條斜率k為1、縱截距為b的直線.由圖可知：若使M∩N≠?，必須使y=x+b和半圓有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是-3＜b≤3

反思：在直角坐標(biāo)系中作出方程所表示的曲線并將所求最值轉(zhuǎn)化成直線在y軸上的截距，最后結(jié)合圖形進(jìn)行解題是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決最值問(wèn)題的主要環(huán)節(jié).

圖1

四、分類討論思想

將比較復(fù)雜的問(wèn)題分解或分割成若干基礎(chǔ)問(wèn)題并因此獲得原問(wèn)題的解答即為分類討論思想，這就等于在題設(shè)中增添了已知條件并根據(jù)這一有效增設(shè)使得綜合性的問(wèn)題成功分解成了若干小問(wèn)題，問(wèn)題難度下降的同時(shí)也使學(xué)生的思維得到了優(yōu)化.

例4已知函數(shù)f（x）=logax在［2，π］上的最大值比最小值多1，則a等于（ ）.

分析：函數(shù)的最值問(wèn)題往往需要對(duì)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行考查才能順利得解，本題中的對(duì)數(shù)函數(shù)的增減性和底數(shù)a的取值相關(guān)，因此，對(duì)a進(jìn)行分類討論是必須的.

解：（1）當(dāng)a＞1時(shí)，（fx）在［2，π］上為增函數(shù)，最大值為（fπ），最小值為（f2），由題意可得（fπ）-（f2）=1，

即logaπ-loga2=1，a=.

（2）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，（fx）在［2，π］上為減函數(shù)，最大值為（f2），最小值為（fπ），故（f2）-（fπ）=1，

即loga2-logaπ=1，a=

由（1）（2）知，選C.

反思：題中a的取值令函數(shù)的性質(zhì)產(chǎn)生了改變，因此，解決此題首先應(yīng)該對(duì)a進(jìn)行分類討論.分類討論解題一般遵循以下步驟：（1）確定分類對(duì)象；（2）合理分類；（3）逐類討論；（4）歸納總結(jié)并寫(xiě)出結(jié)論.

五、特殊與一般的思想

人們認(rèn)識(shí)世界一般會(huì)經(jīng)歷從特殊到一般、一般到特殊的反復(fù)認(rèn)識(shí)過(guò)程，數(shù)學(xué)研究一樣會(huì)經(jīng)歷這樣的過(guò)程，這種反復(fù)認(rèn)知的過(guò)程往往能令解題者獲得準(zhǔn)確的思維方向與有效的解題策略.

例5 已知等比數(shù)列{an}中，a2=1，則其前3項(xiàng)的和S3的取值范圍為（ ）.

A.（-∞，-1］B.（-∞，0）∪（1，+∞）

C.［3，+∞）D.（-∞，-1］∪［3，+∞）

分析：已知a2=1，如果再知道公比，即可確定數(shù)列了，題中要求的是范圍，因此可取定公比來(lái)進(jìn)行分析解題.

解法1：由等比數(shù)列{an}中a2=1可知，當(dāng)公比為1時(shí)，a1=a2=a3=1，S3=3. 當(dāng)公比為-1時(shí)，a1=-1，a2=1，a3=-1，S3=-1，則選D.

解法2：等比數(shù)列{an}中a2=1，

所以S3∈（-∞，-1］∪［3，+∞），故選D.

反思：一次或多次取特殊數(shù)列進(jìn)行淘汰直至獲得正確答案，如有需要也可綜合多種方法進(jìn)行，必要時(shí)可以進(jìn)行分類討論，相比而言，取特殊值的方法比通性通法要簡(jiǎn)潔許多.特殊與一般這一重要的數(shù)學(xué)思想方法在很多一般性的、抽象的、運(yùn)動(dòng)變化的、不確定的問(wèn)題中都能運(yùn)用.運(yùn)用“歸納——猜想——證明”這一方法解決遞推數(shù)列問(wèn)題時(shí)，往往首先通過(guò)對(duì)一些特例的探索得出一些一般性的規(guī)律，然后運(yùn)用這些規(guī)律來(lái)解決一些特殊性的問(wèn)題，這是最為常用的一種應(yīng)用，對(duì)于求值、比較大小等特殊性的問(wèn)題，解題者往往需要注意其數(shù)量特征并因此發(fā)現(xiàn)其中的一般模型，繼而獲得特殊問(wèn)題的最終解決.

總之，教師在高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)教學(xué)的過(guò)程中應(yīng)重視數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)并使其逐步養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣，使學(xué)生在數(shù)學(xué)思想方法的滲透教學(xué)中不斷對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)與方法的本質(zhì)形成深刻的認(rèn)知，有效避免復(fù)習(xí)教學(xué)的盲目與隨意并獲得復(fù)習(xí)效率的大力提升.H