構(gòu)造函數(shù)巧解題

張蒙蒙

函數(shù)是數(shù)學(xué)中非常有用的工具，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)可以解決一些用其他方法難以解決的問(wèn)題。常用的函數(shù)模型有：一次函數(shù)模型，二次函數(shù)模型，指數(shù)函數(shù)模型，對(duì)數(shù)函數(shù)模型，冪函數(shù)模型，三角函數(shù)模型，但更多情況下是具體情景得出的非標(biāo)準(zhǔn)模型的函數(shù)。

一、構(gòu)建函數(shù)解決問(wèn)題的一般過(guò)程如下：

1、根據(jù)具體條件和結(jié)論，通過(guò)認(rèn)真分析，思考，抽象出需要的函數(shù)模型。

2、根據(jù)需要研究函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，周期性，最值等性質(zhì)中的一項(xiàng)或幾項(xiàng)。

3、利用研究所購(gòu)建函數(shù)的性質(zhì)得出需要的結(jié)論。

二、利用函數(shù)模型解決的問(wèn)題多種多樣，下面是中學(xué)中常見(jiàn)的幾種類型：

1、利用單調(diào)性得出等式：若 在某個(gè)區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，對(duì)于該區(qū)間上的兩個(gè)實(shí)數(shù) ，則 。

2、利用單調(diào)性得出不等式：若 在某個(gè)區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，對(duì)于該區(qū)間上的兩個(gè)實(shí)數(shù) ，則 ，對(duì)于單調(diào)減函數(shù)可進(jìn)行類似的推理。

3、利用最值得出不等式：若 在某個(gè)區(qū)間上有最小值 （或最大值 ）則對(duì)于該區(qū)間上的任意實(shí)數(shù) ，都有 （或 ）。

三、例題展示：

例1、已知 ，求證：

解析：由已知得

設(shè) ，則 ，已知條件變?yōu)?/p>

又

所以 在 上是單調(diào)增函數(shù)

則由 可得 ，即 。

點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是將條件變形，然后注意到等式兩邊有相似的結(jié)構(gòu)，因此構(gòu)造函數(shù) 。

例2、定義在 上的可導(dǎo)函數(shù) ，當(dāng) 時(shí)， 恒成立， ，則 的大小關(guān)系（ ）

解析：由題可以有 ， ，

令 ，則 =

且

則 在 為增函數(shù)，可得 ，選A。

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)觀察 的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造了函數(shù) ，利用函數(shù)的單調(diào)性得出結(jié)論，特別注意對(duì) 的處理。

例3、函數(shù) 的定義域?yàn)?， ， ，則 的解集為（ ）

解：令 ，則

即 在 上單調(diào)遞增

解不等式 即解

所以有 即

點(diǎn)評(píng)：由 可以聯(lián)想到原函數(shù)可為 的形式。

四、舉一反三

1.已知函數(shù) 是定義在實(shí)數(shù)集 上的奇函數(shù)，且當(dāng) 時(shí)， 成立，（其中 是 的導(dǎo)函數(shù)）。若 ， ， ，則 的大小關(guān)系.（ ）

A. B. C. D.

2.已知 是定義在 上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足 ，對(duì)任意的正數(shù) 若 ，則必有（ ）

A. B.

C. D.

3.設(shè) 分別是定義在 上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng) 時(shí)， 則不等式 的解集是（ ）

A. B.

C. D.