“美麗的”誤會(huì)

（石河子第一中學(xué) 新疆石河子 832000）

我就打開(kāi)幾何畫板和學(xué)生一起做探索，讓點(diǎn)E在弧CD上運(yùn)動(dòng)，同時(shí)度量四邊形AMNB的面積，發(fā)現(xiàn)恒成立，隨后我給出了下面的證明：

在我?jiàn)^筆疾書時(shí),學(xué)生興奮的用鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn)E，意外發(fā)現(xiàn)不論點(diǎn)E在哪個(gè)象限，S總為定值，于是我就和學(xué)生對(duì)點(diǎn)E在第二、第三象限的情況進(jìn)行探索（此時(shí)四邊形AMNB均為凹四邊形，如圖2，圖3），發(fā)現(xiàn)這兩種情況同樣符合關(guān)系式這樣，之前的證法照樣能用，正當(dāng)我準(zhǔn)備驗(yàn)證一下第一象限的情況時(shí)，上課的預(yù)備鈴響了，我就簡(jiǎn)單的說(shuō)了句：”第一象限時(shí)同樣可證?！辈莶萁Y(jié)束了講解。

兩節(jié)課結(jié)束后，意猶未盡的我又打開(kāi)剛才的幾何畫板文件，拖動(dòng)E到第一象限時(shí)發(fā)現(xiàn)四邊形形狀很奇特，不妨稱之為“十字四邊形”，此時(shí)四邊形的面積好像不是我度量了發(fā)現(xiàn)這說(shuō)明我剛才給學(xué)生講錯(cuò)了，但為什么幾何畫板文件顯示為常數(shù)呢？我馬上在這個(gè)圖中探索了的幾何意義，

這樣就解決了第一個(gè)困惑，但是另一個(gè)問(wèn)題又來(lái)了：“十字四邊形”的面積這樣算合理嗎？有沒(méi)有一般情況下的四邊形面積公式？

我百度了好一會(huì)兒，居然找不到以坐標(biāo)形式呈現(xiàn)的任意四邊形面積公式，只好自行探究：

如圖5：

如圖6：

考慮到：凸四邊形的兩點(diǎn)若要具有對(duì)稱輪換性，須滿足：兩個(gè)點(diǎn)的下標(biāo)互換后不影響任何一邊的圖形位置，故只有對(duì)角線上兩點(diǎn)具有對(duì)稱輪換性，但此時(shí)上式中S四邊形ABCD取相反數(shù)，故面積須加絕對(duì)值，

這應(yīng)該就是幾何畫板軟件默認(rèn)的任意四邊形面積公式。

3.下面檢驗(yàn)凹四邊形和“十字四邊形”：

如圖8中的凹四邊形：引用圖5和圖6的公式

如圖9中的“十字四邊形”：引用圖5和圖6的公式

圖8中的SΔABD和圖9中的SΔABD同號(hào)，圖8中的SΔBCD和圖9中的SΔBCD異號(hào)，

套用之前的四邊形面積公式此時(shí)將會(huì)得出：

原來(lái)這才是之前出錯(cuò)的根源。而且我們順帶著得到一個(gè)結(jié)論：之前的面積公式適用于一般的凸四邊形和凹四邊形，但對(duì)“十字四邊形”不適用。還有一個(gè)小小的遺憾，暫時(shí)沒(méi)找到這個(gè)問(wèn)題的純平面幾何證法。

最后，我要感謝來(lái)問(wèn)題的學(xué)生，給了我一個(gè)這么好的研究素材；同時(shí)，我也慶幸：對(duì)于“十字四邊形”多看了一會(huì)兒，才有了后續(xù)的這些發(fā)現(xiàn)。