幾何建模：學(xué)生高質(zhì)量思考的方式

☉江蘇省無錫市僑誼實(shí)驗(yàn)中學(xué)劉丹丹

☉江蘇省無錫市僑誼實(shí)驗(yàn)中學(xué)成宏喬

自《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將模型思想作為十個(gè)核心概念之一提出后，教師對(duì)模型思想運(yùn)用和滲透的研究更加深入，在日常的教學(xué)中也經(jīng)常灌輸，但對(duì)學(xué)生而言，建立數(shù)學(xué)模型（尤其是幾何建模）難度很大，體會(huì)和理解模型思想需要知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的積累.本文就結(jié)合一些例題談?wù)剬?duì)幾何建模教學(xué)的幾點(diǎn)思考.

一、幾何建模的常見方式

圖1

1.基于“基本事實(shí)”進(jìn)行模型創(chuàng)建

例1如圖1，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若AB=2，則PB+PE的最小值是_______.

本題的幾何背景是菱形，根據(jù)對(duì)稱性，可將線段BP轉(zhuǎn)化為線段DP，從而求線段DP＋EP的最小值.由“兩點(diǎn)之間，線段最短”，可知當(dāng)D、P、E在同一條直線上時(shí)，所求和最短.若取線段AD的中點(diǎn)M，將線段EP轉(zhuǎn)化成線段MP，同樣可以求解.

本題是典型的“將軍飲馬”問題，學(xué)生對(duì)此模型比較熟悉，有不少學(xué)生很快就能完成，但是詢問學(xué)生“為什么這么做”時(shí)，學(xué)生基本上答不上來，解決本題主要依靠解題經(jīng)驗(yàn)，即“題海戰(zhàn)”的成果.甚至有教師在教學(xué)時(shí)根據(jù)題目的條件“有兩個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”，從而把這種模型稱為“兩定一動(dòng)”，以至于還有“一定兩動(dòng)”“兩定兩動(dòng)”等模型.建議教師在進(jìn)行解題教學(xué)時(shí)，還是要考慮問題的本質(zhì)屬性.對(duì)于本題，可以引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)稱轉(zhuǎn)化，直觀地構(gòu)建“線段”.在教學(xué)中，如果對(duì)構(gòu)建“兩點(diǎn)之間，線段最短”和“垂線段最短”這兩個(gè)模型進(jìn)行分析、比較，學(xué)生可以更清晰地認(rèn)識(shí)到它們的區(qū)別，提升建立模型的能力.

圖2

2.基于“定理”進(jìn)行模型創(chuàng)建

例2如圖2，在Rt△ABC中，AB=6，BC=4，P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB=∠PBC，求線段CP長(zhǎng)的最小值.

本題由條件“AB⊥BC”和“∠PAB=∠PBC”可得∠APB=90°，由圓周角定理“90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑”構(gòu)造圓，再根據(jù)直線外一點(diǎn)與圓上各點(diǎn)的關(guān)系確定CP的最小值.或作AB邊上的中線PM，得到△PMC，再用“三角形任意兩邊之和大于第三邊”解決.

本題難度較大，上述兩種方法均需“構(gòu)造”出數(shù)學(xué)模型，主要讓學(xué)生運(yùn)用好間接條件“直角”，而在初中數(shù)學(xué)里，與“直角”有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)較多，如何使學(xué)生通過思考、判斷，運(yùn)用上述方法解決是難點(diǎn).對(duì)于一些學(xué)習(xí)能力較強(qiáng)的學(xué)生，教師可以給他們思考的時(shí)間，讓他們自己去體會(huì)和構(gòu)造.而對(duì)于學(xué)習(xí)能力一般的學(xué)生，在做本題時(shí)，教師需做好知識(shí)鋪墊，與學(xué)生一起“回憶”直角的知識(shí)，然后進(jìn)行模型構(gòu)造.

圖3

3.基于“定義”進(jìn)行模型創(chuàng)建

例3如圖3，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠A=60°，點(diǎn)M是AD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)N是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，求A′C長(zhǎng)度的最小值.

本題由于圖形翻折，得到結(jié)論AM=DM=A′M，根據(jù)圓的定義“圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合”，從而構(gòu)造圓.或者構(gòu)造△CMA′，由于線段MA′和CM的長(zhǎng)度確定，可以運(yùn)用三角形三邊關(guān)系的知識(shí)解決.

深入理解數(shù)學(xué)定義尤為重要，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).翻折作為全等變換的一種，學(xué)生可從中得到很多信息，如全等、對(duì)稱等，教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生在眾多的信息中找出“AM=A′M”是解題的關(guān)鍵.應(yīng)該根據(jù)條件之間的關(guān)系進(jìn)行思考，結(jié)合條件“點(diǎn)M是AD邊的中點(diǎn)”，得到“AM=DM”，因?yàn)檫@兩個(gè)結(jié)論均和線段AM有關(guān)，所以聯(lián)系起來的可能性很大.運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決問題中最關(guān)鍵的一步就是建立正確、合理的數(shù)學(xué)模型，這需要在繁多的條件及復(fù)雜的關(guān)系中找出最基本的特征和規(guī)律，并用最簡(jiǎn)單、最基本的方式刻畫出來.

4.基于“常見圖形、特定方法”進(jìn)行模型創(chuàng)建

例4 （1）如圖4，已知△ABC，以AB、AC為邊分別向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE，連接BE、CD，請(qǐng)你完成圖形（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡），并證明：BE=CD；

圖4

圖5

（2）如圖5，利用（1）中的方法解決如下問題：在四邊形ABCD中，AD=3，CD=2，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，求BD的長(zhǎng).

本題第（1）問考查學(xué)生的閱讀理解能力及作圖水平，由等邊三角形邊角的相等關(guān)系，通過“SAS”可得△ADC≌△ABE，進(jìn)而得到BE=CD.第（2）問中由隱含條件“AC=AB；∠CAB=90°”，再聯(lián)系第（1）問的解法，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE，線段BD轉(zhuǎn)化成CE，在Rt△CDE中，運(yùn)用勾股定理求出線段CE（即BD）的長(zhǎng).

由兩個(gè)有公共端點(diǎn)的等邊三角形構(gòu)造出全等模型，即“手拉手三角形”模型，該模型比較常見，大多數(shù)學(xué)生能輕松解決.在第（2）問中，思維要求較高，首先根據(jù)“∠ABC=∠ACB=45°”得到等腰三角形，有了可以旋轉(zhuǎn)的條件，按照第（1）問的解題方法構(gòu)造“手拉手三角形”模型.這樣的解題方式和思考方法受到老師們的青睞，在很多數(shù)學(xué)題中有所涉及，它主要考查學(xué)生的思維邏輯及模型思想，從“建”模型到“用”模型，對(duì)學(xué)生而言，是思維上質(zhì)的飛躍，長(zhǎng)此以往，學(xué)生的創(chuàng)新能力及解決問題的能力會(huì)大幅度提升.

二、幾何建模的教學(xué)建議

1.明確并落實(shí)教學(xué)目標(biāo)

幾何建模由于形式靈活、問題開放，在教學(xué)實(shí)施過程中首先要制定好教學(xué)目標(biāo)，充分考慮學(xué)生已有水平進(jìn)行備課，建模是一種高階的思考方法，對(duì)學(xué)生而言要求不低，教學(xué)中需要學(xué)生理解、感悟，教學(xué)設(shè)計(jì)中應(yīng)充分實(shí)現(xiàn)“師生交流”“生生交流”，通過交互式教學(xué)讓學(xué)生“想一想”“跳一跳”，獲得知識(shí)及興趣.對(duì)于每個(gè)學(xué)段的學(xué)生，教學(xué)要求需有差異.基于學(xué)生的學(xué)習(xí)能力設(shè)計(jì)課堂教學(xué)，多一些有質(zhì)量的思考，切實(shí)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).幾何建模的教學(xué)也要避免重復(fù)訓(xùn)練，多一些思考方法的傳授，才是聰明的教學(xué).如在上述例題中，讓學(xué)生感受到線段和最小值的問題往往通過對(duì)稱將圖形“拉直”；而定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)之間的距離則需探索動(dòng)點(diǎn)所形成的軌跡，從而才能進(jìn)一步解決問題.這些都是通過“思考”形成的“方法”，就是數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這才是數(shù)學(xué)教學(xué)的追求.

2.靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)基本模型

數(shù)學(xué)基本模型很多，像使用方程模型、函數(shù)模型、概率模型等解決問題還“有跡可循”，但幾何模型的問題比較獨(dú)立，甚至一種思考方法就可以編制一道試題，正因?yàn)榇?，我們?cè)诮虒W(xué)過程中要考慮學(xué)生的負(fù)擔(dān)，把基本模型使用好，不能一味地提升難度，學(xué)生解題水平取決于對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解.在日常幾何模型教學(xué)中，我們應(yīng)以圖形的性質(zhì)、定義、定理及基本事實(shí)為主.如例3中，模型“圓”的出現(xiàn)不是因?yàn)榉?，而是翻折過程中的結(jié)論AM=DM=A′M，根據(jù)圓的定義得到的.因?yàn)榉鄣慕Y(jié)論有很多，如對(duì)稱、全等、等腰三角形……如果要全部記住，學(xué)生還有什么精力學(xué)習(xí)更有意義的事呢？更有甚者，有教師在平時(shí)的教學(xué)中給學(xué)生傳授“12345”“阿氏圓”等高難度模型，個(gè)人認(rèn)為，這些內(nèi)容老師研究即可，對(duì)大多數(shù)學(xué)生而言，這些內(nèi)容不會(huì)提升他們的數(shù)學(xué)水平，只會(huì)讓他們對(duì)數(shù)學(xué)“望而卻步”.

圖6

3.以學(xué)生課堂收獲衡量教學(xué)

幾何建模的理解和運(yùn)用對(duì)學(xué)生而言，思維要求較高.在平時(shí)的教學(xué)中，教師所做的不僅僅是通過講解讓學(xué)生聽懂，僅僅學(xué)會(huì)模仿遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，在“深度學(xué)習(xí)”“能力為重”的教學(xué)評(píng)價(jià)的背景下，我們的數(shù)學(xué)課堂要“活”，衡量課堂教學(xué)效果的好或不好，主要是看學(xué)生收獲多少、提升多少.模型教學(xué)不是傳授給學(xué)生“套路”，要應(yīng)該傳授“解題方法”和“數(shù)學(xué)思想”，尤其在高年級(jí)的教學(xué)實(shí)施中，需要少一些機(jī)械模仿，多一些創(chuàng)新思考，甚至要故意打破表面的“模型”，探究數(shù)學(xué)的本質(zhì).如在完成例1后，可以讓學(xué)生完成下題：如圖6，P為正方形ABCD的對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，若AB=2，求AP+BP+CP的最小值.本題的背景還是求線段和的最值，但解決的方法不是通過對(duì)稱轉(zhuǎn)化，而是通過旋轉(zhuǎn)變換進(jìn)行線段的轉(zhuǎn)化，但本質(zhì)還是運(yùn)用“兩點(diǎn)之間，線段最短”，且難度不小，可作為一節(jié)課思維的“高潮”，在學(xué)生學(xué)會(huì)“模型”后解決才有一定的價(jià)值，這才真是高質(zhì)量的創(chuàng)新和思考.

三、寫在最后

數(shù)學(xué)建模教學(xué)既是課程發(fā)展的需要，也是課堂實(shí)施的需求.數(shù)學(xué)建模就是運(yùn)用數(shù)學(xué)思想、方法和知識(shí)解決實(shí)際問題的過程.在幾何模型教學(xué)中，建立幾何模型的能力取決于對(duì)數(shù)學(xué)的理解，這種思維方式可以內(nèi)化為學(xué)生解決問題的能力.對(duì)學(xué)生而言，這方面的學(xué)習(xí)很難，教學(xué)中要經(jīng)常滲透，需引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真體會(huì)、思考.幾何建模教學(xué)中，要讓學(xué)生主動(dòng)參與和積極思考，這樣可以緩解“教”與“學(xué)”的矛盾，在激發(fā)學(xué)生“學(xué)”的同時(shí)，還需關(guān)注學(xué)生應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)的提升.

需要再次表述的是：基礎(chǔ)教學(xué)不是競(jìng)賽培訓(xùn)，不能一味地提升難度，基本思想、基本方法更需要認(rèn)真對(duì)待、慎重處理，這樣才能用好“基本模型”.另外，在上述一些例題中，缺少了實(shí)際背景，也就少了“找”的過程，考慮到字?jǐn)?shù)，本文呈現(xiàn)的更多的是根據(jù)條件“構(gòu)造”模型的過程.

幾何建模思想的滲透是一個(gè)長(zhǎng)期的過程，需要一線教師堅(jiān)守，才能提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模的水平，真正地實(shí)現(xiàn)從“思考”到“創(chuàng)造”.F