基于案例分析的初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)模式研究

☉江蘇省南京市浦廠中學(xué)陳華

反映數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性并概括客觀事物的數(shù)量關(guān)系、空間形式及結(jié)構(gòu)關(guān)系的理論即為數(shù)學(xué)概念，彼此聯(lián)系并因?yàn)檫壿嬯P(guān)聯(lián)而構(gòu)成的理論是數(shù)學(xué)大廈的基石，一切數(shù)學(xué)定理與法則都是在數(shù)學(xué)概念的邏輯基礎(chǔ)上得以形成與發(fā)展的.也就是說，數(shù)學(xué)定理與法則都是在數(shù)學(xué)概念這一支點(diǎn)的作用下發(fā)揮其價(jià)值的.由此可見，數(shù)學(xué)概念的理解對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握、數(shù)學(xué)判斷與推理來說是必要的前提.因此，教師應(yīng)著眼于數(shù)學(xué)概念的理解落實(shí)教學(xué)，以促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力與解題能力的真正提升，將概念教學(xué)作為數(shù)學(xué)教學(xué)的重中之重，并幫助學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)形成獨(dú)到而深刻的理解.

概念的表達(dá)形式在數(shù)學(xué)教學(xué)中是可以忽視的，不過，概念實(shí)質(zhì)上的內(nèi)涵與外延的忽略卻是萬萬不可的.因此，教師在具體教學(xué)中，應(yīng)關(guān)注概念的引入、概念的理解、概念的拓展及概念的應(yīng)用這四個(gè)方面.本文結(jié)合“二次根式”這一內(nèi)容對(duì)上述四個(gè)方面進(jìn)行具體的思考與闡述.

一、概念的引入

【片段1】

提示問題1：觀察以下式子的特點(diǎn)并進(jìn)行分組：

生：-3a2b3c、2m+1、x2-3xy+2y2.

師：將這三個(gè)式子放在一組有何理由呢？

生：都是整式，-3a2b3c是單項(xiàng)式，2m+1和x2-3xy+2y2是多項(xiàng)式.

師：大家觀察力很強(qiáng)，按照整式、分式與含有二次根號(hào)的特點(diǎn)將上述式子分成了三組，不過第三組的名稱我們還不清楚.在以前的學(xué)習(xí)中，我們遇到過類似問題嗎？

提示問題2：如何用式子將以下問題中所求的量表示出來呢？

（1）正方形的邊長為1，其對(duì)角線的長為多少？

（2）圓的面積為S，其半徑為多少？

（3）直角三角形的兩直角邊長分別為a、b，其斜邊為多少？

（4）一物體從h（m）高的地方落下需要的時(shí)間為t（s），且滿足h=5t2，如何用h表示t呢？

學(xué)生在獨(dú)立思考后給出答案：

師：我們以前學(xué)習(xí)過數(shù)的算術(shù)平方根，數(shù)的算術(shù)平方根又如何過渡到式的算術(shù)平方根呢？這就是我們今天要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.

借助數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題引入二次根式這一概念的方式令學(xué)生很快明了了這一概念的重要性與必要性，學(xué)生在明確認(rèn)知任務(wù)的同時(shí)會(huì)產(chǎn)生更加強(qiáng)烈的認(rèn)知需求.教師對(duì)這一概念的逐步引入也令學(xué)生對(duì)概念的理解更為深入.

二、概念的理解

【片段2】

師：我們今天學(xué)習(xí)了二次根式，大家結(jié)合之前學(xué)過的整式、分式來思考一下二次根式最顯著的特點(diǎn)吧.

生：有二次根號(hào).

全體學(xué)生哄堂大笑.

師：大家笑什么？

生：這個(gè)答案顯而易見，等于沒有回答.

師：尊重他人是我們每個(gè)人都必須學(xué)會(huì)的，同學(xué)們，這個(gè)同學(xué)的回答雖然淺顯，但并不像我們所理解的回答與不回答沒有區(qū)別，當(dāng)然，如果這個(gè)同學(xué)能將二次根號(hào)的性質(zhì)或要求表達(dá)出來，回答就顯得有深度了.

生：（舉手，表現(xiàn)得很急切）老師，被開方數(shù)不能小于0.

師：為什么？

生：因?yàn)樨?fù)數(shù)沒有平方根.

引導(dǎo)學(xué)生在獲得概念之后對(duì)其進(jìn)行去粗存精、由表及里的思維加工，并對(duì)概念的內(nèi)涵進(jìn)行抽象化與形式化，能使學(xué)生廓清概念外延的同時(shí)知其所以然并促進(jìn)對(duì)概念的深化理解.

三、概念的拓展

【片段3】

生：有的，運(yùn)算的順序不同.

生：不過從兩式的運(yùn)算結(jié)果來看兩者沒有區(qū)別，雖然它們的表達(dá)形式是不一樣的（.其他學(xué)生表示贊同）

師：那么，大家得出的結(jié)論就是形式上是有區(qū)別的，不過結(jié)果沒有區(qū)別，對(duì)不對(duì)？

學(xué)生思考了片刻.

學(xué)生思路的開闊、智力的開發(fā)、對(duì)知識(shí)的理解、探究的熱情都會(huì)因?yàn)閿?shù)學(xué)概念的適度拓展而一一實(shí)現(xiàn).不過，值得教師注意的是，那些盲目超脫課程標(biāo)準(zhǔn)與教材的行為是極不科學(xué)的，教師應(yīng)根據(jù)教材內(nèi)容的特點(diǎn)及學(xué)生的能力進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)的挖掘與拓展，盲目拔高或加深對(duì)于學(xué)生概念體系的順利建構(gòu)是會(huì)有很大負(fù)面影響的.

四、概念的應(yīng)用

【片段4】

出示例題：觀察以下代數(shù)式，并考慮其可否作為二次根式的被開方數(shù).若可以，請(qǐng)嘗試求出字母的取值范圍；若不能求出，請(qǐng)嘗試說明理由.

生：a2+1始終是非負(fù)數(shù)，因此，a2+1也是可以的，a可取任意實(shí)數(shù).

生：-2a2-1是無法成為二次根式的被開方數(shù)的，因?yàn)?2a2-1始終是個(gè)負(fù)數(shù).

師：很好，大家始終能夠緊緊抓住 二次根式這一概念的本質(zhì)進(jìn)行解題，由此可見，大家對(duì)這一概念的理解還是比較到位的.大家再來思考下面的問題.

師：解決此題主要借助的是什么知識(shí)呢？

生：二次根式和完全平方式都是非負(fù)數(shù)這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)是解決此題的根本，根據(jù)非負(fù)數(shù)之和等于0可以推斷出各加數(shù)都等于0，再建立方程組令此題得解.

師：歸納得很到位！同學(xué)們應(yīng)該在上述兩個(gè)例題的解決中感受到了二次根式的基本特征在解題中的具體應(yīng)用，大家在以后的解題中也要像今天我們這樣進(jìn)行解題并及時(shí)反思與總結(jié)，相信大家一定能積累更多的解題經(jīng)驗(yàn)并逐漸提升自主解題的能力.

概念的形成過程從思維方式這一角度來看可以說是一個(gè)聚斂性思維的過程，而概念的應(yīng)用則表現(xiàn)得與之相對(duì)，是鍛煉學(xué)生發(fā)散性思維的過程.理解概念、掌握概念、應(yīng)用概念這一過程應(yīng)該說是一個(gè)積極思考、體會(huì)與感悟的過程，教師在具體教學(xué)中可以借助問題來鞏固概念并在這一過程中形成更多的動(dòng)態(tài)生成，使學(xué)生能夠在概念的正用、反用、變用過程中準(zhǔn)確攫取問題的本質(zhì)特征并對(duì)概念的理解進(jìn)行升華.